त्रिकोणमितीय वृत्त: यह क्या है, उदाहरण, अभ्यास

त्रिकोणमितीय वृत्त त्रिज्या 1 का एक वृत्त है जिसे में दर्शाया गया है कार्तीय विमान. इसमें क्षैतिज अक्ष कोज्या अक्ष है और ऊर्ध्वाधर अक्ष ज्या अक्ष है। इसे त्रिकोणमितीय चक्र भी कहा जा सकता है।

इसका उपयोग त्रिकोणमितीय अनुपातों के अध्ययन के लिए किया जाता है। इसके साथ, मुख्य त्रिकोणमितीय कारणों को बेहतर ढंग से समझना संभव है कोणों 180º से अधिक, अर्थात्: ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा।

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त्रिकोणमितीय वृत्त बनाने के लिए कदम दर कदम

त्रिकोणमितीय वृत्त बनाने के लिए, हम दो अक्षों का उपयोग करते हैं, एक ऊर्ध्वाधर और एक क्षैतिज, एक कार्तीय तल की तरह। क्षैतिज अक्ष को के रूप में जाना जाता है कोज्या अक्ष, और ऊर्ध्वाधर अक्ष को के रूप में जाना जाता है ज्या अक्ष.

ऊर्ध्वाधर अक्ष ज्या अक्ष है और क्षैतिज अक्ष कोज्या अक्ष है।

कुल्हाड़ियों के निर्माण के साथ, आइए एक वृत्त का ग्राफ बनाएं जिसकी त्रिज्या 1 है।

त्रिकोणमितीय वृत्त जो त्रिज्या माप को दर्शाता है 1.

वृत्त में त्रिकोणमितीय अनुपात

हम वृत्त का उपयोग का मान ज्ञात करने के लिए करते हैं ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा, कोण मान के अनुसार। में होना

ऊर्ध्वाधर अक्ष ज्या मान और क्षैतिज अक्ष पर कोज्या मानत्रिकोणमितीय वृत्त पर एक कोण का निर्धारण करके, का विश्लेषण करके साइन और कोसाइन का मान ज्ञात करना संभव है उस बिंदु के निर्देशांक जहां रेखा खंड वृत्त के केंद्र और परिधि को जोड़ता है, जिसे छवि में P द्वारा दर्शाया गया है a का पालन करें। यदि हम बिंदु (1.0) पर वृत्त की स्पर्श रेखा खींचते हैं, तो हम छवि के अनुसार विश्लेषणात्मक रूप से इस कोण की स्पर्शरेखा की गणना भी कर सकते हैं:

बिंदु P के निर्देशांक P(cosα, sinα) हैं।

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त्रिकोणमितीय वृत्त रेडियन

डिग्री में माप के साथ त्रिकोणमितीय चक्र

हम जानते हैं कि एक चाप को दो अलग-अलग माप इकाइयों का उपयोग करके मापा जा सकता है: माप डिग्री में और माप in रेडियंस. हम जानते हैं कि परिधि 360º. है और आपके चाप की लंबाई 2π है:

रेडियन में त्रिकोणमितीय चक्र माप

त्रिकोणमितीय वृत्त के चतुर्थांश

चाहे रेडियन में हो या डिग्री में, उस चतुर्थांश को परिभाषित करना संभव है जिसमें कोई चाप उसके माप के अनुसार स्थित होता है।

चतुर्भुजों के संकेत के साथ त्रिकोणमितीय वृत्त

चक्र का विश्लेषण करते हुए, हमें यह करना होगा:

• पहला चतुर्थांश: कोण जो 0 से 90° या 0 और π/2 रेडियन के बीच हों;

• दूसरा चतुर्थांश: कोण जो 90° और 180° या /2 और π रेडियन के बीच हों;

• तीसरा चतुर्थांश: कोण जो 180º और 270º या और 3 π/2 रेडियन के बीच हैं;

• चौथा चतुर्थांश: कोण जो 270° और 360° या 3π/2 और 2π रेडियन के बीच हों।

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त्रिकोणमितीय वृत्त में उल्लेखनीय कोण

के अध्ययन की शुरुआत में त्रिकोणमिति, हमने सीखा कि उल्लेखनीय कोण 30º, 45º और 60º के कोण हैं, जिनमें ज्ञात साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा का मान होता है। हालांकि, त्रिकोणमितीय चक्र की समरूपता के कारण, इन कोणों और सममित कोणों के लिए साइन और कोसाइन मान ज्ञात करना संभव है प्रत्येक चतुर्थांश में उसके लिए।

त्रिकोणमिति के मुख्य कोणों के लिए साइन और कोसाइन मान

त्रिकोणमितीय वृत्त चिन्ह

यह समझने के लिए कि चक्र में प्रत्येक त्रिकोणमितीय अनुपात का चिन्ह क्या है, कार्तीय तल में अक्ष मानों का विश्लेषण करने के लिए पर्याप्त है।

आइए कोसाइन से शुरू करते हैं। चूंकि यह क्षैतिज अक्ष है, ऊर्ध्वाधर अक्ष के दाईं ओर शामिल कोणों की कोज्या धनात्मक है, और ऊर्ध्वाधर अक्ष के बाईं ओर शामिल कोणों की कोज्या ऋणात्मक है।

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोसाइन धनात्मक है और दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में ऋणात्मक है।

अब, कोण के साइन साइन को समझने के लिए, बस याद रखें कि लंबवत अक्ष साइन अक्ष है, इसलिए क्षैतिज अक्ष के ऊपर वाले कोण की साइन सकारात्मक होती है; लेकिन यदि कोण क्षैतिज अक्ष के नीचे है, तो इस कोण की ज्या ऋणात्मक होती है, जैसा कि निम्न चित्र में दिखाया गया है:

ज्या पहले और दूसरे चतुर्थांश में धनात्मक और तीसरे और चौथे चतुर्थांश में ऋणात्मक होती है।

हम जानते हैं कि स्पर्शरेखा ज्या और कोज्या के बीच का अनुपात है, फिर, प्रत्येक चतुर्भुज के लिए स्पर्शरेखा का चिह्न खोजने के लिए, हम साइन गेम खेलते हैं, जो विषम चतुर्भुज में स्पर्शरेखा को सकारात्मक और सम चतुर्भुज में नकारात्मक बनाता है:

पहले और चौथे चतुर्थांश में स्पर्श रेखा धनात्मक होती है और दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में ऋणात्मक होती है।

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सर्कल में समरूपता

त्रिकोणमितीय चक्र का विश्लेषण, पहले चतुर्थांश में साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा को कम करने का एक तरीका बनाना संभव है. इस कमी का अर्थ है पहले चतुर्थांश में ऐसा कोण खोजना जो अन्य चतुर्थांशों के कोण के सममित हो, क्योंकि, जब हम एक सममित कोण के साथ काम करते हैं, तो त्रिकोणमितीय अनुपातों का मान समान होता है, केवल उसका परिवर्तन होता है संकेत।

• दूसरे चतुर्थांश में स्थित कोण को पहले चतुर्थांश में घटाना

दूसरे चतुर्थांश में कोणों से शुरू करते हुए, हमें यह करना होगा:

जैसा कि हम जानते हैं, पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या धनात्मक होती है। तो, दूसरे चतुर्थांश से प्रथम चतुर्थांश तक ज्या की कमी की गणना करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

पाप x = पाप (180º - x)

दूसरे चतुर्थांश में कोसाइन और स्पर्शरेखा ऋणात्मक हैं। कोसाइन को दूसरे चतुर्थांश से पहले चतुर्थांश तक कम करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

cosx = - cos (180º - x)

टीजी एक्स = - टीजी (180º - एक्स)

उदाहरण:

120° के कोण की ज्या तथा कोज्या का मान क्या होता है?

120° कोण एक चतुर्थांश दूसरा कोण है क्योंकि यह 90° और 180° के बीच है। इस कोण को पहले चतुर्थांश तक कम करने के लिए, हम गणना करते हैं:

पाप 120° = पाप (180° - 120°)

पाप १२०º = पाप ६०º

६०° कोण एक उल्लेखनीय कोण है, इसलिए इसका ज्या मान ज्ञात होता है, इसलिए:

अब आपकी कोज्या की गणना करते हैं:

cos 120º = - cos (180 - 120)

cos 120º = - cos 60º

जैसा कि हम ६०वें कोज्या जानते हैं, हमें यह करना होगा:

• तीसरे चतुर्थांश में एक कोण का घटाकर पहले चतुर्थांश तक

दूसरे चतुर्थांश की तरह, तीसरे चतुर्थांश में कोणों और पहले चतुर्थांश में कोणों के बीच समरूपता है।

तीसरे चतुर्थांश में ज्या और कोज्या ऋणात्मक हैं। इसलिए, ज्या और कोज्या को तीसरे चतुर्थांश से घटाकर प्रथम चतुर्थांश में लाने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

पाप x = - पाप (x - 180º)

cosx = - cos (x - 180º)

तीसरे चतुर्थांश में स्पर्शरेखा धनात्मक है। इसे कम करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

टीजी एक्स = टीजी (एक्स - 180º)

उदाहरण:

225º की ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा की गणना करें।

पाप 225º = - पाप (225º - 180º)

पाप 225º = - पाप 45º

चूंकि 45º एक उल्लेखनीय कोण है, तालिका से परामर्श करते समय, हमें यह करना होगा:

अब, कोज्या की गणना करते हुए, हमें यह करना होगा:

टीजी 225º = टीजी (225º - 180º)

टीजी 225º = टीजी 45º

हम जानते हैं कि tg45º = 1, इसलिए:

टीजी 225º = 1

• चौथे चतुर्थांश से पहले चतुर्थांश में कोण का घटाना

पिछली कटौती के समान तर्क के साथ, चौथे और पहले चतुर्थांश के बीच एक समरूपता है:

चौथे चतुर्थांश में ज्या और स्पर्शरेखा मान ऋणात्मक होते हैं। इसलिए, चौथे से पहले चतुर्थांश में कमी करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

पाप x = - पाप (360º - x)

टीजी एक्स = - टीजी (360º - एक्स)

चौथे चतुर्थांश में कोसाइन धनात्मक है। तो, पहले चतुर्थांश को कम करने के लिए, सूत्र है:

cos x = cos (360º - x)

उदाहरण:

330º के ज्या और कोज्या के मान की गणना करें।

साइन से शुरू:

अब कोसाइन की गणना:

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त्रिकोणमितीय वृत्त हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1 - वृत्ताकार क्षण के अध्ययन के दौरान एक भौतिक विज्ञानी ने अपने चारों ओर घूमने वाली एक वस्तु का विश्लेषण करते हुए 15,240º का कोण बनाया। इस कोण का विश्लेषण करते हुए, इसके द्वारा बनाया गया चाप है:

ए) चतुर्थांश I।

बी) चतुर्थांश II।

सी) चतुर्थांश III।

डी) चतुर्थांश चतुर्थ।

ई) कुल्हाड़ियों में से एक के ऊपर।

संकल्प

वैकल्पिक बी.

हम जानते हैं कि इस वस्तु ने प्रत्येक 360° पर अपने चारों ओर एक वृत्त पूरा किया है। प्रदर्शन करते समय विभाजन १५,२४० गुणा ३६०, हम पाएंगे कि इस वस्तु ने अपने चारों ओर कितने पूर्ण चक्कर लगाए हैं, लेकिन हमारा मुख्य हित बाकी में है, जो उस कोण का प्रतिनिधित्व करता है जिस पर वह रुका था।

15.240: 360 = 42,333…

परिणाम से पता चलता है कि उसने अपने चारों ओर ४२ चक्कर लगाए, लेकिन ३६० · ४२ = १५.१२०, इसलिए उसने एक कोण छोड़ा:

15.240 – 15.120 = 120º

हम जानते हैं कि 120° एक चतुर्थांश द्वितीय कोण है।

प्रश्न 2 - कृपया निम्नलिखित कथनों का न्याय करें:

I → tg 140º की गणना करते समय, मान ऋणात्मक होगा।

II → 200° का कोण दूसरे चतुर्थांश का कोण है।

III → सेन 130º = पाप 50º।

सही विकल्प को चिह्नित करें:

ए) केवल I झूठा है।

बी) केवल II झूठा है।

सी) केवल III झूठा है।

डी) सभी सच हैं।

संकल्प

वैकल्पिक बी.

I → सत्य, क्योंकि 140º कोण दूसरे चतुर्थांश से संबंधित है, जिसमें स्पर्शरेखा हमेशा ऋणात्मक होती है।

II → असत्य, क्योंकि 200° का कोण तीसरे चतुर्थांश का कोण होता है।

III → सच है, क्योंकि कोण को दूसरे से पहले चतुर्थांश तक कम करने के लिए, बस 180° - x के अंतर की गणना करें, फिर:

पाप 130° = पाप (180° - 130°)

पाप १३०वाँ = पाप ५०वाँ

राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा द्वारा
गणित अध्यापक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm