बहुपदों का विभाजन: तरीके और चरण दर चरण

इसका विभाग बहुआयामी पद विभिन्न संकल्प विधियां हैं। हम इस विभाजन के लिए तीन विधियाँ प्रस्तुत करेंगे: डेसकार्टेस विधि (निर्धारित किए जाने वाले गुणांक), प्रमुख विधि और व्यावहारिक ब्रियोट-रफिनी उपकरण।

अधिक पढ़ें: बहुपद समीकरण: फॉर्म और कैसे हल करें

बहुपद विभाजन

एक बहुपद P (x) को एक गैर-शून्य बहुपद D (x) से विभाजित करते समय, जहाँ P की घात D से अधिक होती है (_पी > _घ), का अर्थ है कि हमें एक बहुपद Q (x) और R (x) ज्ञात करना चाहिए, ताकि:

ध्यान दें कि यह प्रक्रिया लिखने के बराबर है:

पी (एक्स) → लाभांश

डी (एक्स) → भाजक

क्यू (एक्स) → भागफल

आर (एक्स) → शेष

के गुणों से क्षमता, हमें करना ही होगा भागफल डिग्री लाभांश और भाजक डिग्री के बीच के अंतर के बराबर है।

_{क्यू = पी - डी}

साथ ही, जब P(x) और D(x) के बीच का शेष भाग शून्य के बराबर होता है, तो हम कहते हैं कि P(x) है भाज्य डी (एक्स) द्वारा।

बहुपदों के विभाजन को विभिन्न विधियों से हल किया जा सकता है।

बहुपद विभाजन नियम

• गुणांक निर्धारित करने की विधि — की विधि छोड देता है

बहुपद पी (एक्स) और डी (एक्स) के बीच विभाजन करने के लिए, डी की डिग्री से अधिक पी की डिग्री के साथ, हम चरणों का पालन करते हैं:

चरण 1 - भागफल बहुपद क्यू (एक्स) की डिग्री निर्धारित करें;

चरण दो - भाग R(X) के शेष भाग के लिए यथासंभव अधिक से अधिक डिग्री लें (याद रखें: R(x) = 0 या _आर < _घ);

चरण 3 - Q और R बहुपदों को शाब्दिक गुणांकों के साथ लिखें, ताकि P(x) = D(x) · Q(x) + R(x) हो।

• उदाहरण

यह जानते हुए कि पी (एक्स) = 4x³ - एक्स² + 2 और वह डी (एक्स) = एक्स² + 1, भागफल बहुपद और शेष ज्ञात कीजिए।

भागफल की घात 1 है क्योंकि:

_क्यू =_{पी - डी}

_क्यू =3 – 2

_क्यू = 1

तो बहुपद Q(x) = a·x +b में, शेष R(x) एक बहुपद है जिसकी उच्चतम घात 1 हो सकती है, इसलिए: R(x) = c ·x +d. चरण 3 की स्थिति में डेटा की जगह, हमारे पास है:

बहुपदों के गुणांकों की तुलना करने पर, हमारे पास है:

अत: बहुपद Q (x) = 4x-1 और R (x) = -4x + 3.

• सी विधिहै

इसमें निम्नलिखित बहुपदों के बीच विभाजन करना शामिल है: दो संख्याओं को विभाजित करने का एक ही विचार, कॉल विभाजन एल्गोरिथ्म. निम्नलिखित उदाहरण देखें।

आइए फिर से बहुपदों पर विचार करें P(x) = 4x³ - एक्स² + 2 और डी (एक्स) = एक्स² +1, और अब हम कुंजी विधि का उपयोग करके उन्हें विभाजित करने जा रहे हैं।

चरण 1 - यदि आवश्यक हो, तो अशक्त गुणांकों के साथ लाभांश बहुपद को पूरा करें।

पी (एक्स) = 4x³ - एक्स² + 0x + 2

चरण दो - भाजक के पहले पद को भाजक के पहले पद से विभाजित करें और फिर भागफल को प्रत्येक भाजक से गुणा करें। देखो:

चरण 3 - चरण 2 से शेष भाग को भागफल से विभाजित करें और इस प्रक्रिया को तब तक दोहराएं जब तक कि शेष की डिग्री भागफल की डिग्री से कम न हो जाए।

इसलिए, क्यू (एक्स) = 4x-1 और आर (एक्स) = -4x +3।

साथ ही पहुंचें: बहुपदों का जोड़, घटाव और गुणा

• ब्रिट का व्यावहारिक उपकरणरफिनी

के लिए इस्तेमाल होता है बहुपदों को द्विपद से विभाजित करें.

आइए बहुपदों पर विचार करें: P(x) = 4x³ + 3 और डी (एक्स) = 2x + 1।

इस विधि में दो खंड, एक क्षैतिज और एक लंबवत, और इन खंडों पर शामिल हैं हम भाजक के गुणांक और भाजक बहुपद की जड़ डालते हैं, इसके अलावा, पहले दोहराया जाता है गुणांक। देखो:

ध्यान दें कि सबसे छोटा माध्य भाजक का मूल है और पहले गुणांक को विभाजित किया गया है।

अब, हमें भाजक के मूल को दोहराए गए पद से गुणा करना चाहिए और इसे अगले में जोड़ना चाहिए, देखें:

व्यावहारिक युक्ति में पाई जाने वाली अंतिम संख्या शेषफल है, और शेष भागफल बहुपद के गुणांक हैं। हमें इन संख्याओं को भाजक के पहले गुणांक से विभाजित करना चाहिए, इस स्थिति में 2 से। इस प्रकार:

बहुपदों को विभाजित करने की इस विधि के बारे में अधिक जानने के लिए, यहाँ जाएँ: ब्रियोट-रफिनी डिवाइस का उपयोग करके बहुपदों का विभाजन.

हल किए गए व्यायाम

प्रश्न 1 (यूएफएमजी) बहुपद पी (एक्स) = 3x⁵ - 3x⁴ -2x³ + एमएक्स² D से विभाज्य है (x) = 3x² - 2x। एम का मान है:

समाधान

चूँकि बहुपद P, D से विभाज्य है, तो हम विभाजन एल्गोरिथ्म लागू कर सकते हैं। इस प्रकार,

चूँकि यह दिया गया था कि बहुपद विभाज्य होते हैं, तो शेषफल शून्य के बराबर होता है। जल्द ही,

रॉबसन लुइज़ो द्वारा
गणित अध्यापक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/divisao-de-polinomios.htm