अंकगणितीय प्रगति क्या है?

अरिमेटिक प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है जिसमें एक पद और उसके पूर्ववर्ती के बीच का अंतर हमेशा परिणाम होता है एक ही मूल्य, बुला हुआ कारण. उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अनुक्रम पर विचार करें:

(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20...)

आइए देखें कि किसी पद को उसके पूर्ववर्तियों द्वारा घटाने पर क्या होता है:

20 – 18 = 2

18 – 16 = 2

16 – 14 = 2

14 – 12 = 2

.

.

.

4 – 2 = 2

तब हम कह सकते हैं कि कारण (आर) इस संख्या का क्रम है 2. निम्नलिखित संख्यात्मक अनुक्रम पर विचार करें:

(द₁, ए₂, ए₃, ए₄,..., थे_एन-1, ए_{नहीं न},...)

इस संख्यात्मक अनुक्रम को इस प्रकार वर्गीकृत किया जा सकता है: अंकगणितीय प्रगति (एपी) यदि अनुक्रम के किसी भी तत्व के लिए:

_{नहीं न} = द_एन-1 + आर, यह कि आर और यह कारण पीए के

एक अंकगणितीय प्रगति को इस प्रकार वर्गीकृत किया जा सकता है:

1. आरोही पीए

एक PA को आरोही कहा जाता है यदि अनुक्रम में प्रत्येक पद है बड़ा पिछले कार्यकाल की तुलना में। ऐसा हमेशा होता है जब कारण शून्य से बड़ा है. उदाहरण:

(१, २, ३, ४, ५, ६,…) → आर = १

(-20, -10, 0, 10, 20, 30,...) → आर = 10

1. लगातार पीए

एक PA को स्थिर माना जाता है यदि अनुक्रम में प्रत्येक पद पिछले या बाद के पद के बराबर है। ऐसा हमेशा होता है जब अनुपात शून्य के बराबर है. उदाहरण:

(1, 1, 1, 1, 1, 1, ...) → आर = 0

(३०, ३०, ३०, ३०, ३०, ३०,...) → आर = ०

1. अवरोही पीए

हम कहते हैं कि यदि अनुक्रम में प्रत्येक पद है तो एक PA घट रहा है छोटे पिछले कार्यकाल की तुलना में। ऐसा हमेशा होता है जब अनुपात शून्य से कम है. उदाहरण:

(-5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, ...) → r = -1

(15, 10, 5, 0, -5, -10,...) → r = -5

किसी भी अंकगणितीय प्रगति को देखते हुए, अनुक्रम के पहले पद और प्रगति के कारण को जानकर, हम इस बीपी के किसी अन्य तत्व की पहचान करने में सक्षम थे। ध्यान दें कि अपने पूर्ववर्ती से घटाया गया शब्द हमेशा कारण बनता है। एक PA में, हम लिख सकते हैं नहीं नसमानताएं जो इस पैटर्न का पालन करती हैं, जो समीकरणों की एक प्रणाली की विधानसभा की अनुमति देती है। जोड़ना (एन - 1) साथ-साथ समीकरण, हमारे पास होगा:

₂ – ₁ = आर

₃ - ए₂ = आर

₄ - ए₃ = आर

₅ - ए₄ = आर

.

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.

_{नहीं न} - ए_एन-1 = आर
_{नहीं न} - ए₁ = (एन - 1)। आर

_{नहीं न} = द₁ + (एन - 1)। आर

इस सूत्र को कहा जाता है एक पीए की सामान्य अवधि और इसके माध्यम से हम समांतर श्रेणी के किसी भी पद की पहचान कर सकते हैं।

अगर हम पहचानना चाहते हैं एक परिमित PA की शर्तों का योग, हम देख सकते हैं कि, किसी भी परिमित अंकगणितीय प्रगति में, पहले और अंतिम पद का योग दूसरे पद और अंतिम पद के योग के बराबर होता है, और इसी तरह आगे भी। आइए इस तथ्य को स्पष्ट करने के लिए नीचे एक योजना देखें। रों_{नहीं न}शर्तों के योग का प्रतिनिधित्व करता है।

रों_{नहीं न} = द₁ + द₂ + द₃ + … +_एन-2 + द_एन-1 + द_{नहीं न,}

₁ + द_{नहीं न}= द₂ + द_एन-1 = द₃ + द_एन-2

प्रत्येक जोड़े को जोड़ने पर, हम हमेशा समान मान पाते हैं। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि का मान रों_{नहीं न} यह इस योग का गुणनफल होगा कि पीए के पास दो से विभाजित तत्वों की मात्रा है, क्योंकि हम "दो बटा दो" तत्वों को जोड़ रहे हैं। फिर हमारे पास निम्न सूत्र शेष रहता है:

रों_{नहीं न} = (द₁ + द_{नहीं न}).n
2

अमांडा गोंसाल्वेस द्वारा
गणित में स्नातक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-progressao-aritmetica.htm