परिवर्तन के अनुशासन में चर्चा किए गए विषयों में से एक है संयुक्त विश्लेषण गणित में। अलग-अलग तत्वों की "एन" संख्या के साथ किसी भी क्रमबद्ध अनुक्रम को हाथ में रखते हुए, उसी "एन" पुन: व्यवस्थित तत्वों द्वारा गठित किसी अन्य अनुक्रम को कहा जाता है परिवर्तन.
इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि यदि A, B का क्रमचय है, तो A और B समान तत्वों से बने हैं, लेकिन अलग-अलग क्रम में हैं।
क्रमपरिवर्तन कहाँ से आते हैं?
क्रमपरिवर्तन के पृथक मामले हैं cases सरल व्यवस्था. ये तत्वों के समुच्चय A के क्रमित समूह हैं, जैसे कि समूहों में समुच्चय A की तुलना में तत्वों की संख्या कम या समान होती है।
समुच्चय A = {X, Y, Z}, {X, Y} और {Y, X} एक है सरल व्यवस्था A से 2 से 2 तक के तत्वों में से ए के तत्वों की संख्या "एन" अक्षर द्वारा दर्शायी जाती है। हे क्रम संख्या, या वर्ग संख्या, "के" है। यह संख्या प्रत्येक साधारण सरणी में तत्वों की संख्या है (उदाहरण के मामले में, यह संख्या 2 है)।
ए के तीन तत्वों की सभी सरल व्यवस्थाओं के साथ 3 से 3 तक की सूची इस प्रकार है:
XYZ, XZY, ZXY, ZYX, YZX और YXZ
यह सूची क्रमपरिवर्तन का नाम प्राप्त करने वाली व्यवस्थाओं का विशेष मामला है।
साधारण व्यवस्थाओं की गणना
समुच्चय A की साधारण व्यवस्थाओं की संख्या, जिसमें नहीं न तत्वों को लिया क ओह, निम्नलिखित सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है:
नहीं, ठीक है = नहीं न!
(एन - के)!
क्रमपरिवर्तन परिभाषा
मान लीजिए कि A एक समुच्चय है नहीं न अलग तत्व। आप सरल व्यवस्था इन तत्वों में से n से n तक ले जाने वाले तत्व कहलाते हैं सरल क्रमपरिवर्तन के ए. इस प्रकार, यह एक क्रमपरिवर्तन होने के लिए, यह आवश्यक है कि क्रम संख्या क संख्या के बराबर हो नहीं न ए के तत्वों की इससे निम्नलिखित गणना परिणाम प्राप्त होता है:
सरल सरणियों के लिए प्रयुक्त सूत्र और क्रम संख्या k = n को लेते हुए, हमारे पास होगा:
यह सेट ए के तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या की गणना करने के लिए उपयोग किया जाने वाला सूत्र है, जिसे आमतौर पर पी. द्वारा दर्शाया जाता हैनहीं न. जल्द ही:
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पीनहीं न = एनहीं - नहीं = एन!
पीनहीं न = एन!
उदाहरण
LOVE शब्द के अक्षरों के क्रमपरिवर्तन की संख्या की गणना करें।
समाधान:
ध्यान दें कि LOVE शब्द में 4 अलग-अलग तत्व हैं। इस शब्द के क्रमपरिवर्तन की संख्या की गणना करने के लिए, हम उपरोक्त सूत्र का उपयोग करेंगे:
पीनहीं न = एन!
पी4 = 4!
पी4 = 4·3·2·1
पी4 = 24
इसलिए, LOVE शब्द के अक्षरों के 24 विभिन्न क्रमपरिवर्तन बनाना संभव है। शब्द क्रमपरिवर्तन भी कहा जाता है विपर्यय.
दोहराए गए तत्वों के साथ क्रमपरिवर्तन
किसी भी सेट में दोहराए गए तत्व हो सकते हैं। पर क्रमपरिवर्तन उस सेट को इन तत्वों की पुनरावृत्ति पर विचार करना चाहिए, क्योंकि जिस क्रम में वे दिखाई देते हैं, वह सेट के अन्य तत्वों के क्रम के विपरीत मायने नहीं रखता। यदि हम AMAR शब्द में केवल दो “A” के स्थान को बदल दें, तो हमें वही शब्द प्राप्त होगा। एक जैसे शब्द नहीं हैं क्रमपरिवर्तन, इसलिए, इस दोहराव को क्रमपरिवर्तन के सूत्र में घटाया जाना चाहिए।
तत्वों की सभी संभावित पुनरावृत्तियों को एक में घटाना दोहराए गए तत्वों के साथ क्रमपरिवर्तन, हमें निम्नलिखित करना चाहिए:
मान लीजिए कि A एक समुच्चय है नहीं न तत्व, जिनमें से क तत्व खुद को दोहराते हैं। ए के क्रमपरिवर्तन की गणना करने का सूत्र है:
पीनहीं नक = नहीं न!
क!
अगर सेट ए, के साथ नहीं न तत्व, अधिकारी क एक तत्व की पुनरावृत्ति और जे दूसरे की पुनरावृत्ति, गणना इस प्रकार होगी:
पीनहीं नहाहा = नहीं न!
कश्मीर!·जे!
यदि एक सेट ए, के साथ नहीं न तत्व, है क एक तत्व की पुनरावृत्ति, जे दूसरे की पुनरावृत्ति,…, म दूसरे की पुनरावृत्ति, सूत्र निम्नलिखित रूप लेता है:
पीनहीं नके, जे,..., एम = नहीं न!
कश्मीर!·जे!·... ·म!
उदाहरण
एंटोनिया शब्द के विपर्यय की संख्या की गणना करें।
समाधान:
उदाहरण को हल करने के लिए, बस गणना करें दोहराए गए तत्वों के साथ क्रमपरिवर्तन एंटोनिया शब्द का। अक्षर A और अक्षर N दोनों को 2 बार दोहराया जाता है। घड़ी:
पी72,2 = 7!
2!·2!
पी72,2 = 7·6·5·4·3·2·1
2·1·2·1
पी72,2 = 5040
4
पी72,2 = 1260
लुइज़ पाउलो मोरेरा. द्वारा
गणित में स्नातक
