परिमेय संख्याएँ क्या हैं?

हे सेट से नंबरयुक्तिसंगत उन सभी तत्वों से बनता है जिन्हें के रूप में लिखा जा सकता है अंश. अतः यदि किसी संख्या को भिन्न द्वारा निरूपित किया जा सकता है, तो वह एक परिमेय संख्या होती है।

की परिभाषा को पूरी तरह से समझने के लिए नंबरयुक्तिसंगत और सभी संभावनाएं कि यह परिभाषा और यह सेटसंख्यात्मक शामिल करें, आपको की परिभाषा याद रखनी चाहिए अंश, जिसके बारे में नीचे चर्चा की जाएगी।

अंश क्या है?

एक अंश के बीच एक विभाजन है पूर्ण संख्या, निम्नानुसार दर्शाया गया है:

ख

तो, यह होने के लिए a अंश, संख्याएं "ए" और "बी" पूर्णांक होनी चाहिए और संख्या "बी" हमेशा शून्य नहीं होगी।

परिमेय संख्या की औपचारिक परिभाषा

की परिभाषा से अंशों, का समूह नंबरयुक्तिसंगत निम्नानुसार प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:

इस परिभाषा में हम कहते हैं कि सेट से नंबरयुक्तिसंगत "ए" से "बी" के सभी अंशों से बना है, जहां "ए" ए है संख्यापूरा का पूरा और "बी" एक गैर-शून्य पूर्णांक है।

वे संख्याएँ जिन्हें भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है

यह जानते हुए कि सेटसेयुक्तिसंगत उन सभी संख्याओं से बनता है जिन्हें के रूप में लिखा जा सकता है अंश, यह दिखाने के लिए कि कोई संख्या परिमेय है, बस यह दिखाएँ कि इसे उस रूप में लिखने का एक तरीका है। निम्नलिखित संख्याओं को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है:

1 - भिन्न स्वयं

कोई भिन्न a. है संख्यायुक्तिसंगत, क्योंकि यह स्वाभाविक रूप से इसके लिए आवश्यक रूप में पहले से ही लिखा हुआ है

2 - पूर्ण संख्या

कोई भी संख्यापूरा का पूरा के रूप में लिखा जा सकता है अंश. ऐसा करने के लिए, बस इसे 1 से विभाजित करें, क्योंकि 1 से विभाजित प्रत्येक संख्या स्वयं के बराबर होती है।

संख्या - 7, उदाहरण के लिए, एक पूर्णांक है। इसे भिन्न के रूप में लिखने के लिए, बस करें:

– 7
1

ध्यान दें कि सभी अंशों इसके समकक्ष लिखने का एक और तरीका है - 7 भिन्न रूप में।

3 - परिमित दशमलव

कोई भी दशमलवसीमितअर्थात इसमें दशमलव स्थानों की सीमित संख्या होती है, जिसे के रूप में लिखा जा सकता है अंश. इसके लिए बस इतना याद रखें कि प्रत्येक परिमित दशमलव आधार 10 की किसी घात से भाग देने का परिणाम होता है।

उदाहरण: २.४५५ a. है दशमलवसीमित जिसमें तीन दशमलव स्थान हैं। इसका मतलब यह है कि इसके समतुल्य भिन्नों में से एक का हर 10. के बराबर होता है³. यह अंश है:

2,455 = 2455
10³

इस तरह, अल्पविराम समाप्त हो जाता है और इस संख्या को आधार 10 की शक्ति और संख्या के बराबर एक घातांक से विभाजित किया जाता है मकानोंदशमलव.

4 - आवधिक दशमांश

एक कनसामयिक एक अनंत दशमलव है जिसमें एक अवधि होती है, अर्थात, के भीतर एक पुनरावृत्ति होती है दशमलव. उदाहरण:

1,3333….

है कनसामयिक अवधि 3.

1,454545…

है कनसामयिक अवधि 45.

0,4562626262…

है कनसामयिक अवधि 62 और एंटीपीरियोड 45।

एक आवर्त दशमलव को हमेशा के रूप में लिखा जा सकता है अंश. इसके लिए २.५६५६५६ दशमांश का उदाहरण लें...

ध्यान दें कि इस दशमांश की अवधि 56 है, अर्थात इसके आवर्त में दो अंक हैं। इसका मिलान करें कन से x और इस समीकरण को 10. से गुणा करें². ध्यान दें कि आधार १० घात का घातांक हमेशा आवर्त में अंकों की संख्या के बराबर होगा।

एक्स = २.५६५६५६…

100x = 256.5656...

अब, पहले समीकरण को दूसरे से घटाएँ:

100x - x = 256.5656... - 2.565656...

ध्यान दें कि घटाया जाने वाला दशमलव भाग बराबर है, इसलिए इस घटाव के लिए दशमलव भागों का परिणाम शून्य होगा। जल्द ही:

99x = 256 - 2

99x = 254

समीकरण को हल करने पर, हम पाएंगे अंशजेनरेट्रिक्स:

99x = 254

एक्स = 254
99

लुइज़ पाउलो मोरेरा. द्वारा
गणित में स्नातक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-racionais.htm