उलटा कार्य: यह क्या है, ग्राफ, अभ्यास

उलटा काम करना, जैसा कि नाम से पता चलता है, यह है फलन f(x)^-1, जो फलन f(x) के ठीक विपरीत करता है। किसी फ़ंक्शन के लिए व्युत्क्रम का समर्थन करने के लिए, यह होना चाहिए बायजेक्टर, यानी एक ही समय में इंजेक्टर और सर्जेक्टर। प्रतिलोम फलन का निर्माण नियम, फलन f(x) के विपरीत कार्य करता है।

उदाहरण के लिए, यदि फ़ंक्शन से मान लेता है डोमेन और 2 जोड़ता है, व्युत्क्रम फ़ंक्शन, जोड़ने के बजाय, घटाता है 2. खोजें उलटा कार्य गठन कानून यह हमेशा एक आसान काम नहीं होता है, क्योंकि अज्ञात x और y को उल्टा करना आवश्यक है, साथ ही नए समीकरण में y को अलग करना भी आवश्यक है।

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फ़ंक्शन उलटा समर्थन कब करता है?

किसी फ़ंक्शन और उसके व्युत्क्रम फ़ंक्शन का ग्राफिक प्रतिनिधित्व।

एक भूमिका है उलटी, यानी, इसका एक उलटा कार्य है, अगर, और केवल अगर, यह है बायजेक्टर. यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि क्या बायजेक्टर फंक्शन, जो एक फ़ंक्शन है सुई लगानेवाला, अर्थात्, छवि के प्रत्येक तत्व में एक एकल डोमेन संवाददाता होता है। इसका मतलब है कि सेट ए में अलग-अलग तत्वों को अलग-अलग तत्वों के साथ जोड़ा जाना चाहिए समुच्चय B, अर्थात् समुच्चय A के दो या दो से अधिक अवयव नहीं हो सकते हैं जिनका संगत में समान हो सेट बी.

एक भूमिका है विशेषण अगर छवि काउंटरडोमेन के बराबर हैअर्थात् समुच्चय B में ऐसा कोई अवयव नहीं है जिससे समुच्चय A में कोई अवयव संबद्ध न हो।

मान लीजिए कि फलन f: A → B है, जहाँ A डोमेन है और B काउंटरडोमेन है, f का व्युत्क्रम फलन f द्वारा वर्णित फलन होगा।^-1 : B→ A, यानी डोमेन और काउंटरडोमेन उल्टे हैं।

उदाहरण:

फलन f: A → B विशेषण है, क्योंकि यह इंजेक्शन है (आखिरकार, A में अलग-अलग तत्व जुड़े हुए हैं बी में अलग तत्व) और यह भी विशेषण है, क्योंकि सेट बी में कोई तत्व नहीं बचा है, अर्थात, काउंटरडोमेन समान है सेट छवि.

इसलिए, यह फ़ंक्शन उलटा है, और इसका व्युत्क्रम है:

प्रतिलोम फलन निर्माण नियम का निर्धारण किस प्रकार किया जाता है?

प्रतिलोम फलन निर्माण नियम ज्ञात करने के लिए हमें चाहिए अज्ञात को उलट दें, अर्थात्, x को y और y को x से प्रतिस्थापित करना, और फिर अज्ञात y को अलग करना। इसके लिए यह जरूरी है कि फलन उलटा हो, यानी बायजेक्टर।

→ उदाहरण 1

f (x) = x + 5 के प्रतिलोम फलन के निर्माण का नियम ज्ञात कीजिए।

संकल्प:

हम जानते हैं कि f(x) = y, इसलिए y = x + 5। x और y का व्युत्क्रमण करते हुए, हम निम्नलिखित पाएंगे समीकरण:

एक्स = वाई + 5

अब, y को अलग करते हैं:

- 5 + एक्स = वाई
वाई = एक्स - 5

स्पष्ट रूप से, यदि f(x) x के मान में 5 जोड़ता है, तो इसका प्रतिलोम f(x) ^{- 1} रिवर्स करेगा, यानी x माइनस 5।

→ उदाहरण 2

उस फलन को देखते हुए जिसका गठन नियम f(x) = 2x - 3 है, इसके प्रतिलोम का निर्माण नियम क्या होगा?

→ उदाहरण 3

फलन y = 2. के प्रतिलोम के निर्माण नियम की गणना कीजिए^एक्स.

संकल्प:

वाई = 2^एक्स
वाई के लिए एक्स बदलना:
एक्स = 2^आप

आवेदन करने वाले लोगारित्म दोनों तरफ:

लॉग₂एक्स = लॉग₂2^आप
लॉग₂एक्स = यलोग₂2
लॉग₂एक्स = वाई · 1
लॉग₂एक्स = वाई
वाई = लॉग₂एक्स

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उलटा कार्य ग्राफ

प्रतिलोम फलन का आलेख f ^-1 यह रेखा y = x के संबंध में हमेशा फलन f के ग्राफ के सममित होगा, जो इनके व्यवहार का विश्लेषण करने की अनुमति देता है कार्य, हालांकि हम कुछ मामलों में उलटा कार्य गठन कानून का वर्णन नहीं कर सकते हैं, इसके कारण जटिलता।

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हल किए गए व्यायाम

१) यदि f^-1 f का प्रतिलोम फलन है, जो R से R तक जाता है, जिसका गठन नियम f (x) = 2x - 10, f का संख्यात्मक मान है। ^-1(2) é:

1. तक

बी) 3

ग) 6

घ) -4

ई) -6

संकल्प:

→ पहला कदम: f का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।

→ दूसरा चरण: f. में x के स्थान पर 2 को बदलें ^-1(एक्स)।

वैकल्पिक सी.

2) मान लीजिए f: A → B एक फलन है जिसका गठन नियम f (x) = x² + 1 है, जहां A {-2, -1, 0, 1, 2} और B = {1,2,5}, यह कहना सही है:

ए) फ़ंक्शन उलटा है, क्योंकि यह बायजेक्टर है।

बी) फ़ंक्शन उलटा नहीं है, क्योंकि यह इंजेक्शन नहीं दे रहा है।

सी) फ़ंक्शन उलटा नहीं है, क्योंकि यह विशेषण नहीं है

डी) फ़ंक्शन उलटा नहीं है, क्योंकि यह न तो प्रक्षेपण है और न ही इंजेक्शन है।

ई) फ़ंक्शन उलटा नहीं है, क्योंकि यह बायजेक्टर है।

संकल्प:

फ़ंक्शन को उलटा होने के लिए, इसे विशेषण, यानी, विशेषण और इंजेक्शन लगाने की आवश्यकता होती है। आइए पहले विश्लेषण करें कि क्या यह विशेषण है।

कार्य विशेषण होने के लिए, बी के सभी तत्वों में ए में समकक्ष होना चाहिए। यह जानने के लिए, आइए इसके प्रत्येक संख्यात्मक मान की गणना करें।

च (-2) = (-2)² +1 = 4+1=5

च (-1) = (-1)² +1 = 1+1=2

च (0) = 0² +1 = 0+1=1

च(1) = 1² +1 = 1+1=2

f(2) = 2² +1 = 4+1=5

ध्यान दें कि B {1,2,5} के सभी अवयव A में संगत हैं, जो फलन बनाता है विशेषण.

इस फ़ंक्शन को इंजेक्ट करने के लिए, A से अलग तत्वों के B में अलग-अलग चित्र होने चाहिए, जो नहीं होता है। ध्यान दें कि f(-2) = f (2) और यह भी कि f(-1) = f (1), जो फलन करता है इंजेक्शन मत लगाओ. चूंकि यह एक इंजेक्टर नहीं है, यह भी उलटा नहीं है; इसलिए, वैकल्पिक बी.

राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा द्वारा
गणित अध्यापक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-inversa.htm