आयत त्रिभुज: यह क्या है, क्षेत्रफल, परिमाप

हे सही त्रिकोण यह नाम मिलता है क्योंकि इसके एक कोण का माप 90º. हैअर्थात् यह एक समकोण है। में सबसे अधिक अध्ययन किए गए बहुभुजों में से एक होने के नाते समतल ज्यामिति, कोणों के बीच और इस आकृति की भुजाओं के बीच भी कुछ संबंधों को देखना संभव था।

हे पाइथागोरस प्रमेय, उदाहरण के लिए, यह इस अहसास के बाद विकसित किया गया था कि त्रिभुज की भुजाओं की माप के बीच एक संबंध है। इस प्रकार त्रिभुज की दो भुजाओं की माप जानकर तीसरी भुजा का मान ज्ञात करना संभव है। पाइथागोरस की प्रमेय कहती है कि टाँगों के वर्ग का योग हमेशा कर्ण के वर्ग के बराबर होता है।

पाइथागोरस प्रमेय के अलावा, इस त्रिभुज के अध्ययन के माध्यम से विकसित एक अन्य महत्वपूर्ण क्षेत्र था त्रिकोणमिति, जिसमें साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा के रूप में ज्ञात त्रिभुज की भुजाओं के बीच के अनुपात विकसित होते हैं। इन कारणों से, यह देखा गया कि समान कोणों वाले समकोण त्रिभुजों की भुजाओं के माप के बीच अनुपात होता है।

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समकोण त्रिभुज की विशेषताएं

एक समकोण त्रिभुज के आकार की वस्तु

दायां त्रिभुज a. है बहुभुज जिसकी तीन भुजाएँ हैंऔर तीन कोण

, और इनमें से एक कोण सीधा है, अर्थात इसमें 90º है। अन्य दो कोण न्यून हैं, अर्थात 90º से कम हैं। सबसे लंबी भुजा, जो हमेशा 90° के कोण के विपरीत होती है, कहलाती है कर्ण, और अन्य दो को कहा जाता है पेकेरीज़.

समकोण त्रिभुज उभयनिष्ठ त्रिभुज के सभी ज्ञात गुणों को संरक्षित करता है, जैसे कि तथ्य यह है कि आंतरिक कोणों का योग 180º. के बराबर हो. चूंकि योग हमेशा 180º होता है और इसके एक कोण में पहले से ही 90º होता है, हम कह सकते हैं कि अन्य दो कोण हमेशा पूरक होते हैं, अर्थात उनका योग भी 90º के बराबर होता है।

ए और बी → स्तन

सी → कर्ण

समकोण त्रिभुज का परिमाप

किसी भी बहुभुज का परिमाप है इसके सभी पक्षों के योग की लंबाई। तो, समकोण त्रिभुज की परिधि की गणना करने के लिए, बस इसकी भुजाएँ जोड़ें।

पी = ए + बी + सी

समकोण त्रिभुज क्षेत्र

त्रिभुज क्षेत्र आयत, साथ ही a त्रिकोण कोई भी, आधार और ऊंचाई के बीच का आधा उत्पाद है। समकोण त्रिभुज की खास बात यह है कि इसका एक पैर इसकी ऊंचाई के साथ मेल खाता है, क्योंकि वे एक दूसरे के लंबवत हैं, इसलिए क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम पैरों को गुणा करते हैं और परिणाम को दो से विभाजित करते हैं.

उदाहरण:

नीचे दिए गए समकोण त्रिभुज का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यह जानते हुए कि इसकी भुजाएँ सेंटीमीटर में दी गई हैं।

पी = 8 + 15 + 17

पी = 40 सेमी

अब क्षेत्रफल की गणना करते हैं:

यह भी देखें: कोणों का उपयोग करके त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करना

पाइथागोरस प्रमेय

गणित में सबसे अच्छा ज्ञात प्रमेय, निस्संदेह, पाइथागोरस प्रमेय है। इस प्रमेय से, यह देखना संभव था कि एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ निम्न प्रकार से संबंधित हैं: किसी भी समकोण त्रिभुज को देखते हुए, पैरों के वर्ग का योग कर्ण वर्ग के बराबर है.

ए² + बी² = सी²

ए और बी → स्तन

सी → कर्ण

इस प्रमेय से, एक समकोण त्रिभुज की दोनों भुजाओं का मान ज्ञात करना संभव है, जब तक कि अन्य दो ज्ञात हों।

उदाहरण:

नीचे दिए गए समकोण त्रिभुज के कर्ण का मान क्या है, यह जानते हुए कि इसकी माप सेंटीमीटर में दी गई है?

पाइथागोरस प्रमेय को लागू करते हुए, हमें यह करना होगा:

6² + 8² = x²

३६ + ६४ = x²

१०० = x²

एक्स² = १००

एक्स = √100

एक्स = 10 सेमी

इस महत्वपूर्ण संबंध के बारे में अधिक जानने के लिए पाठ पढ़ें: टीपाइथागोरस का प्रमेय.

समकोण त्रिभुज में त्रिकोणमिति

त्रिकोणमिति नाम पहले से ही इसके अध्ययन के उद्देश्य को संदर्भित करता है:

• त्रि → तीन;
• गोनो → कोण;
•  मेट्रिक्स → मीट्रिक या माप।

इस प्रकार त्रिकोणमिति गणित का वह क्षेत्र है जो त्रिभुज के कोणों की माप के बीच संबंध का अध्ययन करता है और यहाँ हम समकोण त्रिभुज से चिपके रहेंगे। त्रिकोणमिति त्रिभुज की भुजाओं के बीच के अनुपात का अध्ययन उसके के अनुसार करती है कोण. इससे महत्वपूर्ण अवधारणाओं को विकसित करना संभव हुआ, जो कारण हैं ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा. उल्लेखनीय है कि त्रिकोणमितीय वृत्त में त्रिकोणमिति के अध्ययन के गहन होने से अन्य त्रिकोणमितीय कारणों का विकास हुआ।

यह समझने से पहले कि इनमें से प्रत्येक अनुपात क्या है, यह समझना महत्वपूर्ण है कि एक त्रिभुज के कोण पर एक विपरीत भुजा क्या है और एक आसन्न भुजा क्या है।

जैसा कि हमने देखा है, कर्ण खंड AB द्वारा दर्शाया गया पक्ष है, क्योंकि यह हमेशा त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा होती है और 90º कोण. का सामना करना पड़ पक्ष. अन्य पक्षों को पैर के रूप में जाना जाता है। कोण के आधार पर हम संदर्भ के रूप में लेते हैं, पक्ष विपरीत या आसन्न हो सकता है।

जब यह कोण का सामना करता है तो पेकेरी को विपरीत के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए, विपरीत कोण, भुजा AC है; दूसरी ओर, जो पक्ष विपरीत कोण लाडो है वह भुजा BC है।

हे पेकेरी को आसन्न के रूप में जाना जाता है जब वह कर्ण के निकट कोण बनाता है। ध्यान दें कि कोण भुजा BC और AB के बीच है। चूँकि AB समकोण त्रिभुज का कर्ण है, इसलिए AB कोण से लगा हुआ एक पैर है। इसी तर्क का प्रयोग करते हुए, यह देखना संभव है कि lado AC कोण. की आसन्न भुजा है.

त्रिभुज की प्रत्येक भुजा को समझने से यह समझा जा सकता है कि त्रिकोणमितीय अनुपात.

त्रिकोणमितीय अनुपातों को लागू करने के लिए, हमें उल्लेखनीय कोणों, यानी 30º, 45º और 60º के कोणों को जानना चाहिए। अधिकांश परीक्षा और प्रवेश परीक्षा की समस्याएं इन कोणों से जुड़ी हुई हैं, और इसलिए उनमें से प्रत्येक के कारणों के मूल्यों को जानना आवश्यक है।

उल्लेखनीय कोणों के लिए ज्या, कोसाइन और स्पर्शरेखा मानों वाली तालिका देखें:

एक भुजा और एक कोण के माध्यम से त्रिभुज के त्रिकोणमितीय अनुपातों का मान जानने के बाद, त्रिकोणमिति से समकोण त्रिभुज की सभी भुजाएँ ज्ञात करना संभव है।

उदाहरण:

एक्स का मान ज्ञात करें।

x का मान ज्ञात करने के लिए, आइए दिए गए कोण को देखें। ध्यान दें कि यह उस भुजा के निकट है जिससे हम माप जानते हैं, अर्थात AC 30° कोण के निकट है। फिर, हम स्पर्शरेखा अनुपात लागू करेंगे, जो आसन्न पक्ष और कर्ण से संबंधित है। साथ ही, तालिका को देखने पर, हम जानते हैं कि 30वें कोज्या 3/2 के बराबर है।

साथ ही पहुंचें: बुनियादी त्रिकोणमिति में 4 सबसे आम गलतियाँ

हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1 - (आईएफजी) थियोडोलाइट निर्माण कार्य में उपयोग किए जाने वाले क्षैतिज कोणों और लंबवत कोणों को मापने के लिए एक सटीक उपकरण है। चार मंजिला इमारत को पेंट करने के लिए एक कंपनी को काम पर रखा गया था। पेंट किए जाने वाले कुल क्षेत्रफल का पता लगाने के लिए, उसे भवन की ऊंचाई ज्ञात करनी होगी। एक व्यक्ति उपकरण को 1.65 मीटर ऊँचे स्थान पर रखता है, 30° का कोण ज्ञात करता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। यह मानते हुए कि थियोडोलाइट इमारत से 13√3 मीटर दूर है, पेंट की जाने वाली इमारत की ऊंचाई, मीटर में क्या है?

ए) 11.65

बी) 12.65

सी) 13.65

डी) 14.65

ई) 15.65

संकल्प

वैकल्पिक डी.

चूँकि हम ३०° कोण के सम्मुख भुजा ज्ञात करना चाहते हैं, यह जानते हुए कि १३√३ दूरी, जो थियोडोलाइट से भवन की दूरी है, ३०° कोण के निकट की भुजा है, इसलिए हम स्पर्शरेखा का उपयोग करेंगे:

अब हम 13 + 1.65 = 14.65 मीटर ऊंचा जोड़ेंगे।

प्रश्न 2 - अपनी संपत्ति पर रोपण करने के लिए, एक किसान ने अपनी खेती योग्य भूमि को दो समकोण त्रिभुजों का निर्माण करते हुए, उसके विकर्ण पर, आयताकार आकार में आधे में विभाजित किया। इस संभाग में 4 तारों का प्रयोग कर आधी जमीन को तार से घेरा जाएगा। यह जानते हुए कि जमीन के आयाम 20 मीटर चौड़े और 21 मीटर लंबे हैं, तार पर कितना खर्च होगा?

ए) 29 मीटर

बी) 70 मीटर

सी) 140 मीटर

डी) 210 मीटर

ई) 280 मीटर

संकल्प

वैकल्पिक ई.

आइए पहले भूभाग का विकर्ण ज्ञात करें, जो समकोण त्रिभुज का कर्ण है। इसे आसान बनाने के लिए, हम स्थिति की एक तस्वीर बनाएंगे:

तो, हमें करना होगा:

डी² = 20² + 21²

डी² = ४०० + ४४१

डी² = ८४१

डी = √841

घ = 29

चारों ओर जाने के लिए, हमें २९ + २० + २१ = ७० मीटर, जैसे ४ मोड़ होंगे, ७० · ४ = २८० मीटर।

राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा. द्वारा
गणित अध्यापक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-retangulo.htm