अभाज्य संख्याएँ: वे क्या हैं, वे क्या हैं, व्यायाम

का समूह अभाज्य सँख्या में अध्ययन का उद्देश्य है गणित प्राचीन ग्रीस से। यूक्लिड ने अपने महान काम "द एलिमेंट्स" में पहले ही इस विषय पर चर्चा की, यह प्रदर्शित करने के लिए प्रबंध सेट यह अनंत है। जैसा कि हम जानते हैं, अभाज्य संख्याएँ वे होती हैं जिनकी संख्या 1 भाजक के रूप में होती है और स्वयं, इस प्रकार, बहुत बड़े अभाज्य संख्याएँ खोजना कोई आसान काम नहीं है, और एराटोस्थनीज की छलनी इसे आसान बनाती है। मुलाकात।

1 और 100 के बीच की अभाज्य संख्याएँ।

आपको कैसे पता चलेगा कि कोई संख्या अभाज्य है?

हम जानते हैं कि एक अभाज्य संख्या एक होती हैजिसके पास है विभक्त नंबर 1 और खुद, इसलिए एक संख्या, जिसके भाजक की सूची में, 1 के अलावा अन्य संख्याएँ हैं और स्वयं अभाज्य नहीं होगी, देखें:

11 और 30 डिवाइडर को सूचीबद्ध करके, हमारे पास है:

डी(११) = {१, ११}

डी (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}

ध्यान दें कि संख्या 11 में केवल संख्या 1 है और वह स्वयं भाजक के रूप में है, इसलिए संख्या 11 एक अभाज्य संख्या है. अब, संख्या 30 के भाजक को देखें, इसमें संख्या 1 और स्वयं के अलावा, भाजक के साथ संख्या 2, 3, 5, 6 और 10 है। इसलिए, संख्या 30 अभाज्य नहीं है.

→ उदाहरण: 15 से कम अभाज्य संख्याओं की सूची बनाएं।

इसके लिए हम 2 और 15 के बीच की सभी संख्याओं के विभाजकों को सूचीबद्ध करेंगे।

डी(2) = {1, 2}

डी(3) = {1,3}

डी(4) = {1, 2, 4}

डी(5) = {1, 5}

डी(6) = {1, 2, 3, 6}

डी (7) = {1, 7}

डी(8) = {1, 2, 4, 8}

डी (9) = {1, 3, 9}

डी(१०) ​​= {१, २, ५, १०}

डी(११) = {१, ११}

डी(१२) = {१, २, ३, ४, ६, १२}

डी(13) = {1, 13}

डी(14) = {1, 2, 7, 14}

डी(15) = {1, 3, 5, 15}

इस प्रकार, 15 से छोटे अभाज्य अभाज्य हैं:

2, 3, 5, 7, 11 और 13

आइए इसका सामना करते हैं, यह कार्य बहुत सुखद नहीं होगा, उदाहरण के लिए, यदि हम 2 और 100 के बीच के सभी अभाज्य संख्याओं को लिख लें। इससे बचने के लिए हम अगले विषय में इरेटोस्थनीज की चलनी का उपयोग करना सीखेंगे।

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एराटोस्थनीज की छलनी

एराटोस्थनीज की छलनी है a उपकरण जिसका उद्देश्य अभाज्य संख्याओं के निर्धारण को सुविधाजनक बनाना है। छलनी में चार चरण होते हैं, और उन्हें समझने के लिए, उन्हें ध्यान में रखना आवश्यक है विभाज्यता मानदंड. चरण दर चरण शुरू करने से पहले, हमें संख्या 2 से वांछित संख्या तक एक तालिका बनानी चाहिए, क्योंकि संख्या 1 अभाज्य नहीं है। फिर:

→ चरण 1: विभाज्यता मानदंड से 2 से, हमारे पास यह है कि सभी सम संख्याएं इसके द्वारा विभाज्य हैं, अर्थात संख्या 2 भाजक की सूची में दिखाई देगी, इसलिए ये संख्याएँ अभाज्य नहीं होंगी और हमें इन्हें से बाहर करना होगा मेज। क्या वो:

4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …

→ चरण दो: 3 से विभाज्यता की कसौटी से, हम जानते हैं कि एक संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि योग इसके अंकों का भी है। इस प्रकार, हमें इन संख्याओं को तालिका से बाहर करना चाहिए, क्योंकि वे अभाज्य नहीं हैं क्योंकि भाजक की सूची में 1 और स्वयं के अलावा कोई अन्य संख्या है। इसलिए, हमें संख्याओं को बाहर करना चाहिए:

6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …

→ चरण 3: 5 से विभाज्यता की कसौटी से, हम जानते हैं कि 0 या 5 में समाप्त होने वाली सभी संख्याएँ 5 से विभाज्य हैं, इसलिए हमें उन्हें तालिका से बाहर करना चाहिए।

10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…

→ चरण 4: इसी तरह, हमें उन संख्याओं को बाहर करना चाहिए जो तालिका से 7 के गुणज हैं।

14, 21, 28, …, 546, …

- एराटोस्थनीज की छलनी को जानने के बाद, आइए 2 और 100 के बीच के अभाज्य संख्याओं को निर्धारित करें।

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

→ चचेरे भाई नहीं हैं
→ अभाज्य सँख्या

तो 2 और 100 के बीच की अभाज्य संख्याएँ हैं:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}

यह भी पढ़ें: एमएमसी और एमडीसी गणना: इसे कैसे करें?

प्रधान कारक अपघटन

प्रमुख कारक अपघटन औपचारिक रूप से जाना जाता है अंकगणित का मौलिक प्रमेय। यह प्रमेय बताता है कि कोई भी पूर्णांक 0 से भिन्न और 1 से अधिक को अभाज्य संख्याओं के गुणन द्वारा दर्शाया जा सकता है। एक पूर्णांक के गुणनखंडित रूप को निर्धारित करने के लिए, हमें तब तक क्रमिक विभाजन करना चाहिए जब तक कि हम 1 के बराबर परिणाम तक नहीं पहुंच जाते। उदाहरण देखें:

→ संख्याओं 8, 20 और 350 का गुणनखंडित रूप ज्ञात कीजिए।

संख्या 8 का गुणनखंड करने के लिए, हमें इसे पहली संभावित अभाज्य संख्या से विभाजित करना होगा, इस मामले में 2 से। फिर, हम संभावित अभाज्य द्वारा एक और विभाजन भी करते हैं, यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक हम विभाजन के उत्तर के रूप में नंबर 1 तक नहीं पहुंच जाते। देखो:

8: 2 = 4

4: 2 = 2

2: 2 = 1

इसलिए, संख्या 8 का गुणनखंड रूप 2 · 2 · 2 = 2. है³. इस प्रक्रिया को सुविधाजनक बनाने के लिए, हम निम्नलिखित विधि अपनाएंगे:

इसलिए, संख्या 8 को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 2³.

→ संख्या २० का गुणनखंड करने के लिए, हम उसी विधि का उपयोग करेंगे, अर्थात्: इसे अभाज्य संख्याओं से विभाजित करें।

तो संख्या २०, इसके गुणनखंड रूप में, है: २ · २ · ५ या २² · 5.

→ इसी तरह, हम संख्या 350 के साथ करेंगे।

इसलिए, संख्या ३५०, इसके गुणनखंड रूप में है: २ · ५ · ५ · ७ या २ · ५² · 7.

यह भी देखें: वैज्ञानिक संकेतन: यह किस लिए है?

हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1 - अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

समाधान

सबसे पहले, आइए अभिव्यक्ति को आसान बनाने के लिए इसे कारक बनाएं।

अत: 1024 = 2¹⁰, और इसलिए हम व्यायाम अभिव्यक्ति में एक को दूसरे के लिए स्थानापन्न कर सकते हैं। इस प्रकार:

रॉबसन लुइज़ो द्वारा
गणित अध्यापक