बहुपद अपघटन प्रमेय

बीजगणित के लिए मौलिक प्रमेय बहुपद समीकरण गारंटी देता है कि "हर डिग्री बहुपद नंबर 1 कम से कम एक जटिल जड़ है". इस प्रमेय का प्रमाण गणितज्ञ फ्रेडरिक गॉस ने 1799 में दिया था। इससे, हम प्रदर्शित कर सकते हैं बहुपद अपघटन प्रमेय, जो गारंटी देता है कि किसी भी बहुपद को प्रथम-डिग्री कारकों में विघटित किया जा सकता है। निम्नलिखित बहुपद लें पी (एक्स) ग्रेड का एन 1 और_{नहीं न} ≠ 0:

पी (एक्स) = ए_{नहीं न} एक्स^{नहीं न} + द_एन-1 एक्स^एन-1 + … +₁एक्स¹ + द₀

बीजगणित के मौलिक प्रमेय के माध्यम से, हम कह सकते हैं कि इस बहुपद में कम से कम एक जटिल जड़ है। तुम₁, ऐसा है कि पी(यू₁) = 0. हे डी'अलेम्बर्ट की प्रमेय तक बहुपदों का विभाजन कहता है कि अगर पी(यू₁) = 0, तब फिर पी (एक्स) से विभाज्य है (एक्स - यू₁), जिसके परिणामस्वरूप एक भागफल होता है क्या भ₁(एक्स), जो एक घात बहुपद है (एन - 1), जो हमें यह कहने के लिए प्रेरित करता है:

पी (एक्स) = (एक्स - यू₁). क्या भ₁(एक्स)

इस समीकरण से, दो संभावनाओं को उजागर करना आवश्यक है:

यदि आप = 1 तथा क्या भ₁(एक्स) घात का बहुपद है is (एन - 1), तब फिर क्या भ₁(एक्स) डिग्री है 0. के प्रमुख गुणांक के रूप में

पी (एक्स) é _{नहीं न}, क्या भ₁(एक्स) प्रकार का एक निरंतर बहुपद है is क्या भ₁(एक्स)=_{नहीं न}. तो हमारे पास:

पी (एक्स) = (एक्स - यू₁). क्या भ₁(एक्स)
(एक्स) = (एक्स - यू₁)._{नहीं न}
पी (एक्स) = ए_{नहीं न} . (एक्स - यू₁)

लेकिन अगर आप 2, फिर बहुपद क्या भ₁ डिग्री है एन - 1 1 और बीजगणित का मौलिक प्रमेय धारण करता है। हम कह सकते हैं कि बहुपद क्या भ₁ कम से कम एक जड़ है नहीं न₂, जो हमें यह कहने के लिए प्रेरित करता है कि क्या भ₁ के रूप में लिखा जा सकता है:

क्या भ₁(एक्स) = (एक्स - यू₂). क्या भ₂(एक्स)

पर कैसे पी (एक्स) = (एक्स - यू₁). क्या भ₁(एक्स), हम इसे फिर से लिख सकते हैं:

पी (एक्स) = (एक्स - यू₁). (एक्स - यू₂). क्या भ₂(एक्स)

इस प्रक्रिया को क्रमिक रूप से दोहराते हुए, हमारे पास होगा:

पी (एक्स) = ए_{नहीं न}. (एक्स - यू₁). (एक्स - यू₂)... (एक्स - यू_{नहीं न})

इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि प्रत्येक बहुपद या बहुपद समीकरण पी (एक्स) = 0 ग्रेड का नंबर 1 बिल्कुल अपना नहीं न जटिल जड़ें।​

उदाहरण: होना पी (एक्स) डिग्री का एक बहुपद 5, जैसे कि इसकी जड़ें हैं – 1, 2, 3, – 2 तथा 4. इस बहुपद को प्रथम अंश के गुणनखंडों में विघटित करते हुए लिखिए प्रमुख गुणांक के बराबर 1. इसे विस्तारित रूप में लिखा जाना चाहिए:

अगर – 1, 2, 3, – 2 तथा 4 बहुपद के मूल हैं, इसलिए differences के अंतरों का गुणनफल एक्स इन जड़ों में से प्रत्येक के लिए परिणाम पी (एक्स):

पी (एक्स) = ए_{नहीं न}(एक्स + 1)। (एक्स - 2)। (एक्स - 3)। (एक्स + 2)। (एक्स - 4)

यदि प्रमुख गुणांक _{नहीं न} = 1, अपने पास:

पी (एक्स) = 1. (एक्स + 1)। (एक्स - 2)। (एक्स - 3)। (एक्स + 2)। (एक्स - 4)
पी (एक्स) = (एक्स + 1)। (एक्स - 2)। (एक्स - 3)। (एक्स + 2)। (एक्स - 4)
पी (एक्स) = (एक्स² - एक्स - 2)। (एक्स - 3)। (एक्स + 2)। (एक्स - 4)
पी (एक्स) = (एक्स³ - 4x² + एक्स + 6)। (एक्स + 2)। (एक्स - 4)
पी(एक्स) = (एक्स⁴ - 2x³ - 7x² + 8x + 12) (x - 4)
पी (एक्स) = एक्स⁵ - 6x⁴ + x³ + 36x² - 20x - 48

अमांडा गोंसाल्वेस द्वारा
गणित में स्नातक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm