उलटा मैट्रिक्स: यह क्या है, अभ्यास कैसे खोजें

इसकी अवधारणा उलटा मैट्रिक्स एक संख्या के व्युत्क्रम की अवधारणा के बहुत करीब आता है। आइए याद रखें कि किसी संख्या का व्युत्क्रम नहीं न संख्या है नहीं न^-1, जहां दोनों के बीच का उत्पाद के तटस्थ तत्व के बराबर है गुणा, यानी नंबर 1। पहले से मैट्रिक्स M का व्युत्क्रम मैट्रिक्स M. है^-1, जहां उत्पाद एम · एम^-1पहचान मैट्रिक्स के बराबर है I_{नहीं न,}जो मैट्रिक्स गुणन के तटस्थ तत्व से ज्यादा कुछ नहीं है।

मैट्रिक्स का व्युत्क्रम होने के लिए, यह वर्गाकार होना चाहिए और इसके अलावा, इसका निर्धारक शून्य से भिन्न होना चाहिए, अन्यथा कोई व्युत्क्रम नहीं होगा। व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए, हम मैट्रिक्स समीकरण का उपयोग करते हैं।

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एक आव्यूह का व्युत्क्रम होने के लिए, यह वर्गाकार होना चाहिए।

पहचान मैट्रिक्स

यह समझने के लिए कि व्युत्क्रम मैट्रिक्स क्या है, पहले पहचान मैट्रिक्स को जानना आवश्यक है। हम एक पहचान मैट्रिक्स के रूप में जानते हैं वर्ग मैट्रिक्स I_{नहीं न} जहाँ मुख्य विकर्ण के सभी अवयव 1 के बराबर हैं और अन्य पद 0 के बराबर हैं।

पहचान मैट्रिक्स मैट्रिक्स के बीच गुणन का तटस्थ तत्व है।

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, अर्थात्, दिया गया मुख्यालय क्रम n का M, मैट्रिक्स M और मैट्रिक्स I. के बीच का गुणनफल_{नहीं न} मैट्रिक्स एम के बराबर है।

एम · आई_{नहीं न} = एम

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना कैसे करें

एम के व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए, मैट्रिक्स समीकरण को हल करना आवश्यक है:

एम · एम^-1 = मैं_{नहीं न}

उदाहरण

M का व्युत्क्रम मैट्रिक्स ज्ञात कीजिए।

चूँकि हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स को नहीं जानते हैं, आइए इस मैट्रिक्स को बीजगणितीय रूप से प्रस्तुत करें:

हम जानते हैं कि इन आव्यूहों के बीच का गुणनफल I के बराबर होना चाहिए₂:

अब मैट्रिक्स समीकरण को हल करते हैं:

समस्या को दो भागों में विभाजित करना संभव है के सिस्टम समीकरण. पहला मैट्रिक्स M ·M. के पहले कॉलम का उपयोग करता है^-1 और पहचान मैट्रिक्स का पहला स्तंभ। तो, हमें करना होगा:

सिस्टम को हल करने के लिए, आइए अलग करें₂₁ समीकरण II में और समीकरण I में स्थानापन्न करें।

समीकरण I में प्रतिस्थापित करते हुए, हमें यह करना होगा:

हम a. का मान कैसे ज्ञात करते हैं₁₁, तो हम a. का मान ज्ञात करेंगे₂₁:

a. का मान जानना₂₁ और यह₁₁, अब हम दूसरी प्रणाली स्थापित करके अन्य पदों का मान ज्ञात करेंगे:

अलग करना₂₂ समीकरण III में, हमें यह करना होगा:

3₁₂ + 1₂₂= 0

₂₂ = - तीसरा₁₂

समीकरण IV में प्रतिस्थापित करना:

5 वीं₁₂ + दूसरा₂₂=1

5 वीं₁₂ + 2·( - 3rd₁₂) = 1

5 वीं₁₂ - छठा₁₂ = 1

- ए₁₂ = 1 ( – 1)

₁₂ = – 1

a. का मान जानना₁₂, हम a. का मान पाएंगे₂₂:

₂₂ = - तीसरा₁₂

₂₂ = – 3 · ( – 1)

₂₂ = 3

अब जब हम मैट्रिक्स M. के सभी पदों को जानते हैं^-1, इसका प्रतिनिधित्व करना संभव है:

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उलटा मैट्रिक्स गुण

ऐसे गुण हैं जो एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स को परिभाषित करने के परिणामस्वरूप होते हैं।

पहली संपत्ति: मैट्रिक्स M. का व्युत्क्रम^-1 मैट्रिक्स एम के बराबर है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स का व्युत्क्रम हमेशा मैट्रिक्स ही होता है, अर्थात (M .)^-1)^-1 = एम, क्योंकि हम जानते हैं कि एम^-1 · एम = मैं_{नहीं न}, इसलिए एम^-1 M का विलोम है और M भी M का विलोम है^-1.
दूसरी संपत्ति: पहचान मैट्रिक्स का व्युत्क्रम स्वयं होता है: I^-1 = I, क्योंकि पहचान मैट्रिक्स का उत्पाद स्वयं ही पहचान मैट्रिक्स में परिणत होता है, अर्थात I_{नहीं न} · मैं_{नहीं न} = मैं_{नहीं न}.
तीसरी संपत्ति: का विलोम दो मैट्रिक्स का उत्पादक्या आप हैं प्रतिलोमों के गुणनफल के बराबर है:

(एम × एच)^-1 = एम^-1· ए^-1.

चौथी संपत्ति: एक वर्ग मैट्रिक्स का व्युत्क्रम होता है यदि और केवल यदि इसका सिद्ध 0 से भिन्न है, अर्थात्, det(M) 0।

हल किए गए व्यायाम

1) मैट्रिक्स ए और मैट्रिक्स बी दिया गया है, यह जानते हुए कि वे व्युत्क्रम हैं, तो x+y का मान है:

ए) 2.

बी) 1.

ग) 0.

घ) -1।

ई) -2।

संकल्प:

वैकल्पिक डी.

समीकरण का निर्माण:

ए · बी = आई

दूसरे कॉलम से, शर्तों को बराबर करते हुए, हमें यह करना होगा:

3x + 5y = 0 → (I)

2x + 4y = 1 → (II)

एक्स को I में अलग करना:

में बदल रहा है समीकरण द्वितीय, हमें करना होगा:

y का मान जानने पर हम x का मान ज्ञात करेंगे:

अब x + y की गणना करते हैं:

प्रश्न 2

एक मैट्रिक्स में केवल एक व्युत्क्रम होता है जब इसका सारणिक 0 से भिन्न होता है। नीचे दिए गए मैट्रिक्स को देखते हुए, x मान क्या हैं जो मैट्रिक्स को उलटा समर्थन नहीं करते हैं?