परफेक्ट स्क्वायर का ट्रिनोमियल। परफेक्ट स्क्वायर का ट्रिनोमियल

पूर्ण वर्ग त्रिपद बीजीय व्यंजक गुणनखंडन का तीसरा मामला है। इसका उपयोग केवल तभी किया जा सकता है जब बीजीय व्यंजक एक त्रिपद (तीन एकपदी वाला बहुपद) हो और यह त्रिपद एक पूर्ण वर्ग बनाता है।
त्रिपद क्या है?
त्रिपद एक बहुपद है जिसमें समान पदों के बिना तीन एकपदी हैं, उदाहरण देखें:
3x² + 2x + 1
20x³ + 5x - 2x²
2ab +5b + 3c
उपरोक्त सभी त्रिपदों को पूर्ण वर्ग का उपयोग करके नहीं निकाला जा सकता है।
पूर्ण वर्ग क्या है
पूर्ण वर्ग क्या होता है, इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए देखें:
क्या हम किसी संख्या को पूर्ण वर्ग मान सकते हैं? हां, यह काफी है कि यह संख्या एक और संख्या के वर्ग का परिणाम है, उदाहरण के लिए: 25 एक पूर्ण वर्ग है, क्योंकि 5² = 25.
अब हमें इसे बीजीय व्यंजक पर लागू करना चाहिए, नीचे के वर्ग को x + y भुजाओं वाले वर्ग में देखें, उस भुजा का मान एक बीजीय व्यंजक है।

इस वर्ग के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए हम दो अलग-अलग तरीकों का अनुसरण कर सकते हैं:
पहला रास्ता: गणना करने का सूत्र formula वर्ग क्षेत्र ए = साइड. है², इसलिए चूँकि इस वर्ग की भुजा x + y है, इसे केवल वर्गाकार करें।
₁ = (एक्स + वाई)²
इस क्षेत्र का परिणाम A

₁ = (एक्स + वाई)² यह एक पूर्ण वर्ग है।
दूसरा रास्ता: इस वर्ग को चार आयतों में विभाजित किया गया था जहाँ प्रत्येक का अपना क्षेत्रफल है, इसलिए इन सभी क्षेत्रों का योग सबसे बड़े वर्ग का कुल क्षेत्रफल है, इस प्रकार:
₂ = एक्स² + xy + xy + y², क्योंकि xy और xy समान हैं, हम उन्हें जोड़ सकते हैं
₂ = एक्स² +2xy + y²
क्षेत्र A. का परिणाम₂ = एक्स² +2xy + y² एक त्रिपद है।
पाए गए दो क्षेत्र एक ही वर्ग के क्षेत्रफल का प्रतिनिधित्व करते हैं, इसलिए:
₁ = ए₂
(एक्स + वाई)² = एक्स² +2xy + y²
तो त्रिपद x² +2xy + y² पूर्ण वर्ग है (x + y)².
जब हमारे पास एक बीजीय व्यंजक होता है और यह पूर्ण वर्ग का त्रिपद होता है, तो इसका गुणनखंड रूप एक पूर्ण वर्ग के रूप में दर्शाया जाता है, देखें:
त्रिपद x² +2xy + y² गुणनखंड है (x + y)².
एक पूर्ण वर्ग त्रिपद की पहचान कैसे करें
जैसा कि पहले ही कहा जा चुका है, प्रत्येक त्रिपद को एक पूर्ण वर्ग के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। अब, जब एक त्रिपद दिया जाता है तो हम कैसे पहचानेंगे कि कौन सा पूर्ण वर्ग है या नहीं?
एक त्रिपद एक पूर्ण वर्ग होने के लिए, इसकी कुछ विशेषताएं होनी चाहिए:
• त्रिपद के दो पद (एकपद) वर्ग होने चाहिए।
• त्रिपद का एक पद (मोनोमियम) अन्य दो पदों के वर्गमूल का दोगुना होना चाहिए।
एक उदाहरण देखें:
देखें कि क्या 16x ट्रिनोमियल² + 8x + 1 एक पूर्ण वर्ग है, इसलिए ऊपर दिए गए नियमों का पालन करें:

ट्रिनोमियल के दो सदस्यों के वर्गमूल हैं और उनका मध्य पद दोगुना है, इसलिए 16x ट्रिनोमियल² +8x + 1 पूर्ण वर्ग है।
तो त्रिपद का गुणनखंड रूप है form 16x² + 8x + 1 है (4x + 1)², क्योंकि यह वर्गमूलों का योग है।
कुछ उदाहरण देखें:
उदाहरण 1:
त्रिपद m. को देखते हुए² - एम एन + एन², हमें शब्दों को जड़ से मिटा देना चाहिए m² और नहीं², जड़ें m और n होंगी, इन जड़ों का दोगुना 2 होगा। म। n जो m पद n (मध्य पद) से भिन्न है, इसलिए यह त्रिपद एक पूर्ण वर्ग नहीं है।
उदाहरण 2:
4x त्रिपद को देखते हुए Given² - 8xy + y², हमें 4x. पदों के मूल लेने चाहिए² और तुम², मूल क्रमशः 2x और y होंगे। इन जड़ों की दुगुनी होनी चाहिए 2. 2x। y = 4xy, जो कि 8xy पद से भिन्न है, इसलिए पूर्ण वर्ग का उपयोग करके इस त्रिपद का गुणनखंड नहीं किया जा सकता है।
उदाहरण 3:
1 + 9वीं त्रिपद को देखते हुए² - ६.
हमें पूर्ण वर्ग के नियमों का उपयोग करने से पहले, त्रिपद को घातांक के आरोही क्रम में रखना चाहिए, इस प्रकार:
9² - ६ वां + १।
अब, हम पदों का मूल लेते हैं 9a² और 1, जो क्रमशः 3a और 1 होगा। ये दोगुने मूल 2 होंगे। तीसरा। 1 = 6a, जो मध्य पद (6a) के बराबर है, इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि त्रिपद पूर्ण वर्ग है और इसका गुणनखंड रूप (3a - 1) है².

डेनिएल डी मिरांडा द्वारा
गणित में स्नातक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/trinomio-quadrado-perfeito.htm