एक अंकगणितीय प्रगति (पीए) एक है अनुक्रम संख्यात्मक जिसमें प्रत्येक पद एक अचर द्वारा पिछले एक का योग है, जिसे अनुपात कहा जाता है। वे जीवित हैं गणितीय अभिव्यक्ति पीए की अवधि निर्धारित करने के लिए और इसके योग की गणना करने के लिए नहीं न पहली शर्तें।
गणना करने के लिए प्रयुक्त सूत्र शर्तों का योग एक परिमित PA या का योग नहीं न पीए की पहली शर्तें इस प्रकार हैं:
रोंनहीं न = पर1 + दनहीं न)
2
*n BP शब्दों की संख्या है;1 पहला पद है, औरनहीं न आखिरी है।
पीए की शर्तों के योग की उत्पत्ति
ऐसा कहा जाता है कि जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस, लगभग 10 वर्ष की आयु में, स्कूल में अपनी कक्षा से दंडित किए गए थे। शिक्षक ने छात्रों से कहा कि वे सभी संख्याओं को जोड़ दें जो में दिखाई देते हैं अनुक्रम 1 से 100 तक।
गॉस न केवल बहुत कम समय में समाप्त करने वाले पहले व्यक्ति थे, बल्कि सही परिणाम (5050) प्राप्त करने वाले वे एकमात्र व्यक्ति भी थे। इसके अलावा, यह कोई गणना नहीं दिखाता है। उसने जो किया वह निम्नलिखित संपत्ति की मरम्मत कर रहा था:
एक परिमित PA के चरम से समदूरस्थ दो पदों का योग उन चरमों के योग के बराबर होता है।
के बारे में कोई जानकारी नहीं थी
कड़ाही उस समय, लेकिन गॉस ने संख्याओं की सूची देखी और महसूस किया कि पहले को अंतिम में जोड़ने पर परिणाम 101 होगा; दूसरे को अंतिम से जोड़ने पर, परिणाम भी 101 होगा और इसी तरह। पदों के सभी युग्मों के योग के रूप में समान दूरी चरम सीमा 101 पर आ गई, गॉस को 5050 परिणाम खोजने के लिए केवल उस संख्या को आधे से गुणा करना पड़ा।ध्यान दें कि संख्या 1 से संख्या 100 तक, ठीक 100 संख्याएँ हैं। गॉस ने महसूस किया कि यदि वह उन्हें दो बटा दो जोड़ देता है, तो उसे 101 के बराबर 50 परिणाम प्राप्त होंगे। इसलिए, यह गुणन कुल पदों के आधे से किया गया था।
PA. की शर्तों के योग का प्रदर्शन
इस उपलब्धि ने गणना करने के लिए प्रयुक्त अभिव्यक्ति को जन्म दिया की राशि नहीं न पीए की पहली शर्तें. इस अभिव्यक्ति तक पहुँचने के लिए जिस युक्ति का प्रयोग किया गया है वह इस प्रकार है:
एक दिया कड़ाही कोई भी, हम इसके पहले n शब्द जोड़ेंगे। गणितीय रूप से, हमारे पास होगा:
रोंनहीं न = द1 + द2 + द3 + … +एन - 2 + दएन - 1 + दनहीं न
इसके ठीक नीचे शर्तों का योग, हम एक और लिखेंगे, पिछले वाले के समान शब्दों के साथ, लेकिन घटते अर्थों में। ध्यान दें कि पहले में पदों का योग दूसरे में पदों के योग के बराबर है। इसलिए, दोनों की तुलना S. से की गईनहीं न.
रोंनहीं न = द1 + द2 + द3 + … +एन - 2 + दएन - 1 + दनहीं न
रोंनहीं न = दनहीं न + दएन - 1 + दएन - 2 + … +3 + द2 + द1
ध्यान दें कि ये दो भाव एक ही से प्राप्त किए गए थे कड़ाही और यह कि समदूरस्थ पद लंबवत रूप से संरेखित हैं। इसलिए, हम प्राप्त करने के लिए भाव जोड़ सकते हैं:
रोंनहीं न = द1 + द2 + द3 + … +एन - 2 + दएन - 1 + दनहीं न
+ रोंनहीं न = दनहीं न + दएन - 1 + दएन - 2 + … +3 + द2 + द1
2एसनहीं न = (द1 + दनहीं न) + (ए2 + दएन - 1) + … + (ए .)एन - 1 + द2) + (एनहीं न + द1)
याद रखें कि चरम से समदूरस्थ पदों का योग अतियों के योग के बराबर होता है। इसलिए, प्रत्येक कोष्ठक को चरम सीमाओं के योग से बदला जा सकता है, जैसा कि हम आगे करेंगे:
2एसनहीं न = (द1 + दनहीं न) + (ए1 + दनहीं न) +... + (द1 + दनहीं न) + (ए1 + दनहीं न)
गॉस का विचार अनुक्रम के समान दूरी वाले पदों को जोड़ना था। तो उसे शर्तों की आधी राशि मिली कड़ाही परिणाम 101 में। हमने इसे इसलिए बनाया ताकि प्रारंभिक बीपी के प्रत्येक पद को इसके समदूरस्थ मान में जोड़ा जाए, इसके संरक्षण को बरकरार रखा जाए शर्तों की संख्या. इस प्रकार, जैसा कि PA में n पद थे, हम ऊपर दिए गए व्यंजक में योग को गुणा करके बदल सकते हैं और हल कर सकते हैं समीकरण ढूँढ़ने के लिए:
2एसनहीं न = (द1 + दनहीं न) + (ए1 + दनहीं न) +... + (द1 + दनहीं न) + (ए1 + दनहीं न)
2एसनहीं न = एन (ए1 + दनहीं न)
रोंनहीं न = पर1 + दनहीं न)
2
यह वास्तव में को जोड़ने के लिए प्रयोग किया जाने वाला सूत्र है नहीं न पीए की पहली शर्तें।
उदाहरण
दिया गया P.A (1, 2, 3, 4), इसके प्रथम 100 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
समाधान:
हमें शब्द a को खोजना होगा100. इसके लिए हम उपयोग करेंगे सामान्य शब्द सूत्र एक पीए का:
नहीं न = द1 + (एन - 1)आर
100 = 1 + (100 – 1)1
100 = 1 + 99
100 = 100
अब पहले n पदों के योग का सूत्र:
रोंनहीं न = पर1 + दनहीं न)
2
रों100 = 100(1 + 100)
2
रों100 = 100(101)
2
रों100 = 10100
2
रों100 = 5050
लुइज़ पाउलो मोरेरा. द्वारा
गणित में स्नातक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm
