पर बीजीय व्यंजक वे गणितीय व्यंजक हैं जो संख्याएं और अक्षर हैं, जिसे चर के रूप में भी जाना जाता है। हम अक्षरों का उपयोग अज्ञात मूल्यों का प्रतिनिधित्व करने के लिए या यहाँ तक कि इस चर के मूल्य के अनुसार अभिव्यक्ति के व्यवहार का विश्लेषण करने के लिए भी करते हैं। बीजीय व्यंजक के अध्ययन में काफी सामान्य हैं समीकरण और गणित और संबंधित क्षेत्रों में सूत्र लिखने में।
यदि बीजीय व्यंजक में एकल बीजीय पद हो, तो इसे it के रूप में जाना जाता है एकपद; जब उसके एक से अधिक हों, तो उसे कहते हैं बहुपद. बीजीय संक्रियाओं की गणना करना भी संभव है, जो बीजीय व्यंजकों के बीच संक्रियाएँ हैं।
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बीजगणितीय व्यंजक क्या है?
हम बीजीय व्यंजक a. के रूप में परिभाषित करते हैं अभिव्यक्ति जिसमें अक्षर और संख्याएँ होती हैं, जिन्हें बुनियादी गणित संचालन द्वारा अलग किया जाता है जैसे जोड़ और गुणा। गणित के सबसे उन्नत अध्ययन के लिए बीजगणितीय अभिव्यक्तियों का बहुत महत्व है, जिससे समीकरणों में अज्ञात मूल्यों की गणना या यहां तक कि कार्यों का अध्ययन संभव हो जाता है। आइए बीजीय व्यंजकों के कुछ उदाहरण देखें:
ए) 2x²b + 4ay² + 2
बी) 5m³n8
ग) x² +2x - 3
बीजीय व्यंजकों को उनके कितने बीजीय पदों के आधार पर विशेष नाम दिए गए हैं।
एकपदीयों
एक बीजीय व्यंजक एक मोनोमियम के रूप में जाना जाता है, जब उसके पास सिर्फ एक बीजीय शब्द. एक बीजगणितीय शब्द वह है जिसमें अक्षरों और संख्याओं को केवल उनके बीच गुणा करके अलग किया जाता है।
एक मोनोमियम को दो भागों में बांटा गया है: o गुणक, वह संख्या जो अक्षर को गुणा कर रही है, और शाब्दिक भाग, जो अपने घातांक के साथ चर है।
उदाहरण:
a) 2x³ → गुणांक 2 के बराबर होता है और शाब्दिक भाग x³ के बराबर होता है।
b) 4ab → गुणांक 4 के बराबर होता है और शाब्दिक भाग ab के बराबर होता है।
c) m²n → गुणांक 1 के बराबर है और शाब्दिक भाग m²n के बराबर है।
जब दो एकपदी के शाब्दिक भाग समान होते हैं, तो उन्हें समान एकपदी के रूप में जाना जाता है।
उदाहरण:
a) 2x³ और 4x³ समान हैं।
बी) 3ab² और -7ab² समान हैं।
ग) 2mn और 3mn² नहीं न समान है।
डी) 5y और 5x नहीं न समान है।
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बहुपदों
जब बीजीय व्यंजक में कई बीजीय पद होते हैं, तो इसे बहुपद के रूप में जाना जाता है। एक बहुपद से अधिक कुछ नहीं है एकपदी के बीच का योग या अंतर. इसका उपयोग करना काफी आम है बहुआयामी पद समीकरणों और कार्यों के अध्ययन में, या में विश्लेषणात्मक ज्यामिति, ज्यामिति के तत्वों के समीकरणों का वर्णन करने के लिए।
उदाहरण:
क) 2x² + 2x + 3
बी) 2ab - 4ab² + 2a - 4b + 1
सी) 5 एमएन - 3
घ) 4y² + x³ - 4x + 8
बीजीय व्यंजकों का सरलीकरण
बीजीय व्यंजक में, जब समान पद हों, तो इस व्यंजक को सरल बनाना संभव है। समान पदों के गुणांकों के साथ संचालन के माध्यम से।
उदाहरण:
5xy² + 10x - 3xy + 4x²y - 2x²y² + 5x - 3xy + 9xy² - 4x²y + y
सरलता के लिए, आइए समान शब्दों की पहचान करें, अर्थात वे शब्द जिनका शाब्दिक भाग समान है।
5xy²+ 10x- 3xy+ 4x²y - २x²y² + 5x- 3xy+ 9xy² – 5x²y
हम समान शर्तों के बीच संचालन करेंगे, फिर:
5xy² + 9xy² = 14xy²
10x + 5x = 15x
-3xy - 3xy = -6xy
4x²y -5x²y = -1x²y= -x²y
शब्द -2x²y term में इसके समान कोई पद नहीं है, इसलिए सरलीकृत बीजीय व्यंजक होगा:
-2x²y² + 14xy² + 15x - 6xy -x²y
बीजगणितीय संचालन
बीजीय व्यंजकों को जोड़ना या घटाना व्यंजक को सरल बनाने के अलावा और कुछ नहीं है, इसलिए केवल बीजीय शब्दों के साथ काम करना संभव है जो समान हैं. गुणा में, हालांकि, शर्तों के बीच वितरण संपत्ति का उपयोग करना आवश्यक है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरणों में दिखाया गया है:
अतिरिक्त उदाहरण:
(2x² + 3xy - 5) + (3x² - xy + 2)
जैसा कि यह एक अतिरिक्त है, हम किसी भी शब्द को बदले बिना केवल कोष्ठक हटा सकते हैं:
2x² + 3xy - 5 + 3x² - xy + 2
आइए अब अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:
5x² +2xy - 3
घटाव उदाहरण:
(2x² + 3xy - 5) - (3x² - xy + 2)
कोष्ठकों को हटाने के लिए, दूसरे व्यंजक में प्रत्येक बीजीय पद के चिह्न को उल्टा करना आवश्यक है:
2x² + 3xy - 5 -3x² + xy - 2
आइए अब अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:
- x² + 4xy - 7
गुणन उदाहरण:
(2x² + 3xy - 5) (3x² - xy + 2)
वितरण संपत्ति को लागू करने पर, हम पाएंगे:
6x4 - 2x³y + 4x² + 9x³y - 3x²y² +6xy - 15x² - 5xy + 10
आइए अब अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:
6x4 + 7x³y - 11x² -3x²y² + xy + 10
साथ ही पहुंचें: बीजीय भिन्नों को सरल कैसे करें?
बीजीय व्यंजकों का संख्यात्मक मान
जब हम किसी बीजीय व्यंजक का चर मान जानते हैं, तो हम उसका संख्यात्मक मान ज्ञात कर सकते हैं। जब हम चर को किसी मान से बदलते हैं तो बीजीय व्यंजक का संख्यात्मक मान अंतिम परिणाम से अधिक कुछ नहीं होता है।
उदाहरण:
व्यंजक x³ + 4x² + 3x - 5 को देखते हुए, x = 2 होने पर व्यंजक का सांख्यिक मान क्या होगा?
व्यंजक के मान की गणना करने के लिए, आइए x को 2 से बदलें।
2³ + 4 · 2² + 3 · 2 – 5
8 + 4 · 4 + 6 – 5
8 + 16 + 6 – 5
30 – 5
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हल किए गए व्यायाम
प्रश्न 1 - निम्नलिखित आयत के परिमाप को दर्शाने वाला बीजीय व्यंजक है:
ए) 5x - 5
बी) 10x - 10
सी) 5x + 5
डी) 8x - 6
ई) 3x - 2
संकल्प
वैकल्पिक बी.
परिमाप की गणना करने के लिए, आइए चारों भुजाओं को एक साथ जोड़ दें। यह जानते हुए कि समांतर भुजाएँ समान हैं, हमें यह करना होगा:
पी = 2(2x - 4) + 2 (3x - 1)
पी = 4x - 8 + 6x - 2
पी = 10x - 10
प्रश्न 2 - (एनेम २०१२) एक आयताकार कपड़े के अस्तर के लेबल पर यह जानकारी होती है कि यह पहले धोने के बाद सिकुड़ जाएगा, हालाँकि, इसका आकार बना रहेगा। निम्नलिखित आंकड़ा मूल छत माप और संकोचन आकार (x) लंबाई और (y) चौड़ाई में दिखाता है। बीजीय व्यंजक जो धोने के बाद छत के क्षेत्रफल को दर्शाता है वह है (5 - x) (3 - y)।
इन शर्तों के तहत, पहले धोने के बाद अस्तर का खोया क्षेत्र, द्वारा व्यक्त किया जाएगा:
ए) 2xy
बी) 15 - 3x
सी) 15 - 5 वर्ष
डी) -5y - 3x
ई) 5y + 3x - xy
संकल्प
वैकल्पिक ई.
a. के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए आयत, हम आयत के आधार और ऊँचाई के बीच का गुणनफल ज्ञात करके क्षेत्रफल की गणना करते हैं। छत के लापता हिस्से का विश्लेषण करते हुए, इसे दो आयतों में विभाजित करना संभव है, लेकिन एक ऐसा क्षेत्र है जो दो आयतों से संबंधित है, इसलिए हमें इस क्षेत्र से क्षेत्रफल घटाना होगा।
सबसे बड़े आयत का आधार 5 और ऊँचाई y है, इसलिए इसका क्षेत्रफल 5y है। दूसरे त्रिभुज का आधार x और ऊँचाई 3 है, इसलिए इसका क्षेत्रफल 3x है। जो क्षेत्र एक साथ दो आयतों से संबंधित है उसका आधार x और ऊँचाई y है, इसलिए चूंकि इसे दो आयतों में गिना जा रहा है, आइए इसे क्षेत्रों के योग से घटाएँ। इस प्रकार, खोया हुआ क्षेत्र बीजीय व्यंजक द्वारा दिया जाता है:
5y + 3x - xy
राउल रॉड्रिक्स ओलिवेरा द्वारा
गणित अध्यापक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/expressao-algebrica.htm