बहुभुज चित्र हैं फ्लैट ज्यामितीय और formed द्वारा गठित बंद सीधे खंड. बहुभुजों को दो समूहों में बांटा गया है, उत्तल और यह उत्तल नहीं. जब एक बहुभुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं और फलस्वरूप, सभी कोणों आंतरिक बराबर, यह एक बहुभुज है नियमित. नियमित बहुभुजों को उनके पक्षों की संख्या के अनुसार नामित किया जा सकता है।
यह भी देखें: परिबद्ध बहुभुजों का निर्माण
बहुभुज के तत्व
बहुभुज एक सपाट, बंद आकृति है जो एक सीमित संख्या में सीधी रेखा के खंडों के मिलन से बनती है। तो, किसी भी बहुभुज पर विचार करें:
अंक ए, बी, सी, डी, ई, एफ, जी और एच हैं कोने बहुभुज के और खंडों AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH और HA के मिलने से बनते हैं, जिन्हें कहा जाता है पक्षों बहुभुज का।
खंड AF, AE, AD और BG हैं विकर्णों बहुभुज का। (ध्यान दें कि ये विकर्णों के कुछ उदाहरण हैं, पिछले बहुभुज में हमारे पास इनमें से अधिक हैं।) विकर्ण हैं रेखा खंड जो बहुभुज के शीर्षों को "कनेक्ट" करते हैं.
बहुभुज का नामकरण
हम बहुभुजों को उनके अनुसार नाम दे सकते हैं पक्षों की संख्या. नीचे दी गई तालिका में मुख्य बहुभुजों के नाम देखें।
पक्षों की संख्या (एन) |
शब्दावली |
3 |
त्रिकोण |
4 |
अहाता |
5 |
पंचकोण |
6 |
षट्भुज |
7 |
सातकोणक |
8 |
अष्टकोना |
9 |
एननेगॉन |
10 |
दसभुज |
11 |
अण्डाकार |
12 |
बारहकोना |
15 |
पेंटाडेकेगन |
20 |
विंशतभुज |
ध्यान दें कि टेबल को सजाने के लिए नहीं, बल्कि इसे समझने के लिए जरूरी है। त्रिभुज और चतुर्भुज के अपवाद के साथ, शब्द निर्माण है:
पक्षों की संख्या + गोनो
उदाहरण के लिए, जब हमारे पास. का बहुभुज होता है पाँच भुजाएँ, स्वचालित रूप से उपसर्ग याद रखें पेंटा प्लस प्रत्यय गोनो: पंचकोण.
उदाहरण
निम्नलिखित बहुभुज का नाम निर्धारित करें:
बहुभुज वर्गीकरण
बहुभुजों को वर्गीकृत किया जाता है अपने कोणों का माप तथा पक्षों. एक बहुभुज को समबाहु तब कहा जाता है जब उसकी भुजाएँ सर्वांगसम हों, अर्थात सभी भुजाएँ समान हों; और इसे समकोण तभी कहा जाएगा जब इसके सर्वांगसम कोण हों, अर्थात सभी समान कोण हों।
यदि एक बहुभुज समबाहु और समबाहु है, तो वह होगा a नियमित बहुभुज.
प्रत्येक नियमित बहुभुज में, केंद्र भुजाओं से समान दूरी पर होता है, अर्थात्, यह पक्षों से समान दूरी पर है। बहुभुज का केंद्र भी बहुभुज में अंकित वृत्त का केंद्र होता है, अर्थात that परिधि जो परिधि के अंदर "अंदर" है।
अधिक पढ़ें: बहुभुज समानता: देखें कि शर्तें क्या हैं
एक बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग
होमैं एक नियमित n-पक्षीय बहुभुज का एक आंतरिक कोण, हम इन आंतरिक कोणों के योग को S. द्वारा निरूपित करेंगेमैं.
इस प्रकार, आंतरिक कोणों का योग निम्न द्वारा दिया जाता है:
रोंमैं = (एन - 2) · १८०°
प्रत्येक आंतरिक कोण के मान की गणना करने के लिए, बस आंतरिक कोणों का योग लें और पक्षों की संख्या से विभाजित करें, अर्थात:
मैं = रोंमैं
नहीं न
उदाहरण 1
आंतरिक कोणों का योग और फिर एक समद्विभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण का माप ज्ञात कीजिए।
हम जानते हैं कि एक समद्विबाहुभुज की बीस भुजाएँ होती हैं, इसलिए n = 20। रिश्तों की जगह, हमारे पास है:
रोंमैं = (एन - 2) · १८०°
रोंमैं = (20 - 2) · 180°
रोंमैं = 18 · 180°
रोंमैं = 3240°
अब, प्रत्येक आंतरिक कोण का मान निर्धारित करने के लिए, बस प्राप्त मान को भुजाओं की संख्या से विभाजित करें:
मैं = 3240°
20
मैं = 162°
उदाहरण 2
एक समबहुभुज के अंत: कोणों का योग 720° है, बहुभुज ज्ञात कीजिए।
सूत्र में कथन की जानकारी को प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है:
720° = (n - 2) · 180°
720° = 180n - 360°
180n = 720° + 360°
180n = 1080° 1080
एन = 1080°
180°
एन = 6 पक्ष
इस प्रकार, वांछित बहुभुज षट्भुज है।
बहुभुज के बाहरी कोणों का योगum
बहुभुज के बाहरी कोणों का योग हमेशा होता है 360°. के बराबर.
रोंतथा = 360°
तथा = रोंतथा
नहीं न
तथा = 360°
नहीं न
बहुभुज विकर्ण
एक n-पक्षीय बहुभुज पर विचार करें। विकर्णों की संख्या (डी) निर्धारित करने के लिए, हम निम्नलिखित संबंध का उपयोग करते हैं:
डी = एन · (एन - 3)
2
उदाहरण
एक पंचभुज में विकर्णों की संख्या ज्ञात कीजिए और उनका आलेखन कीजिए।
हम जानते हैं कि एक पंचभुज की पाँच भुजाएँ होती हैं, इसलिए n = 5। अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हुए, हमें यह करना होगा:
डी = 5 · (5 - 3)
2
डी = 5 · 2
2
डी = 5
बहुभुजों का क्षेत्रफल और परिमाप
हे परिमाप बहुभुज के द्वारा परिभाषित किया गया है सभी तरफ से योग। बहुभुज के क्षेत्रफल की गणना बहुभुज को ऐसे आंकड़ों में विभाजित करके की जाती है जो क्षेत्र की गणना करने में आसान होते हैं, जैसे कि त्रिभुज और वर्ग।
Δ = आधार · ऊंचाई
2
वर्ग = आधार · ऊंचाई
उदाहरण
एक गणितीय अभिव्यक्ति निर्धारित करें जो एक नियमित षट्भुज के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है।
समाधान:
प्रारंभ में, एक नियमित षट्भुज और सभी सीधी रेखा खंडों पर विचार करें जो बहुभुज के केंद्र को प्रत्येक शीर्ष से जोड़ते हैं। इस प्रकार:
ध्यान दें, इस तथ्य के कारण कि षट्भुज नियमित है, इसे विभाजित करते समय, हम छह पाते हैं त्रिभुज समबाहु, इसलिए षट्भुज का क्षेत्रफल समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का छह गुना है, अर्थात्:
षट्भुज = 6 · एΔ
षट्भुज = 6 · ली2 · √3
4
षट्भुज = 3 · ली2 · √3
2
षट्भुज = 3 · ली2·√3
2
यह भी पढ़ें:समबाहु त्रिभुज क्षेत्र
हल किए गए व्यायाम
प्रश्न 1 - (एनेम) एक पूल एक नियमित बहुभुज के आकार का होता है जिसका आंतरिक कोण बाहरी कोण का साढ़े तीन गुना होता है। बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग क्या है जिसका आकार इस पूल के समान है?
क) 1800°
बी) १६२०वीं
सी) 1440 डिग्री
घ) 1260°
ई) 1080 डिग्री
समाधान
चूँकि हम बहुभुज की भुजाओं की संख्या नहीं जानते हैं, आइए इस बहुभुज के केवल एक शीर्ष की कल्पना करें।
छवि से हम देख सकते हैं कि:
मैं + दतथा = १८०° (मैं)
कथन से हमारे पास है कि:
मैं = 3.5 · एतथा (द्वितीय)
समीकरण (II) को समीकरण (I) में प्रतिस्थापित करने पर हमें यह करना होगा:
3.5 · एतथा + दतथा = 180°
४,५ · अतथा = 180°
तथा = 180°
4,5
तथा = 40°
हालाँकि, हम जानते हैं कि एक आंतरिक कोण बहुभुज की भुजाओं की संख्या से 360° का भाग होता है। इस प्रकार:
तथा = 360°
नहीं न
40° = 360°
नहीं न
४०एन = ३६०°
एन = 360°
40°
एन = 9
इसलिए, पूल के आंतरिक कोणों का योग है:
रोंमैं = (एन - 2) · १८०°
रोंमैं = (9 - 2) · 180°
रोंमैं = 7 · 180°
रोंमैं = 1260°
रॉबसन लुइज़ो द्वारा
गणित अध्यापक
