सेट के साथ संचालन: वे क्या हैं, उदाहरण

तक सेट के साथ संचालन वे मिलन, प्रतिच्छेदन और भिन्नता हैं। इनमें से प्रत्येक ऑपरेशन का परिणाम एक नया सेट है। समुच्चयों के बीच मिलन को इंगित करने के लिए, हम प्रतीक ∪ का उपयोग करते हैं; चौराहे के लिए, प्रतीक ∩; और अंतर के लिए, का प्रतीक घटाव\(-\). अंतर की स्थिति में, उस क्रम का पालन करना आवश्यक है जिसमें ऑपरेशन किया जाएगा। दूसरे शब्दों में, यदि A और B समुच्चय हैं, तो A और B के बीच का अंतर B और A के बीच के अंतर से भिन्न होता है।

यह भी पढ़ें: वेन आरेख - सेटों और उनके बीच संचालन का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व

सेट के साथ संचालन का सारांश

• सेट के साथ संचालन हैं: संघ, प्रतिच्छेदन और अंतर।

• समुच्चय A और B का मिलन (या मिलन) समुच्चय A ∪ B है, जो उन तत्वों से बनता है जो A से संबंधित हैं या B से संबंधित हैं।

\(A∪B=\{x; x∈A\ या\ x∈B\}\)

• सेट ए और बी का प्रतिच्छेदन सेट ए ∩ बी है, जो उन तत्वों से बनता है जो ए से संबंधित हैं और बी से संबंधित हैं।

\(A∩B=\{x; x∈A\ और\ x∈B\}\)

• सेट ए और बी के बीच का अंतर सेट ए - बी है, जो उन तत्वों से बनता है जो ए से संबंधित हैं और बी से संबंधित नहीं हैं।

\(ए-बी =\{x; x∈A\ e\ x ∉B\}\)

• यदि यू (ब्रह्मांड सेट के रूप में जाना जाता है) एक सेट है जिसमें किसी दिए गए संदर्भ में सभी सेट शामिल हैं, तो ए ⊂ यू के साथ यू - ए का अंतर, ए का पूरक कहा जाता है। A का पूरक उन तत्वों से बनता है जो A से संबंधित नहीं हैं और इन्हें दर्शाया जाता है

  एडब्ल्यू.

\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)

सेट के साथ संचालन पर वीडियो पाठ

सेट के साथ तीन ऑपरेशन क्या हैं?

तीन ऑपरेशन सेट के साथ हैं: मिलन, प्रतिच्छेदन और अंतर।

• समुच्चयों का संघ

समुच्चय A और B का मिलन (या मिलन) समुच्चय A ∪ B है (पढ़ें "संघ B")। यह सेट उन सभी तत्वों से बना है जो सेट ए से संबंधित हैं या सेट बी से संबंधित है, अर्थात वे तत्व जो कम से कम एक सेट से संबंधित हैं.

A ∪ B के तत्वों को x द्वारा निरूपित करते हुए, हम लिखते हैं

\(A∪B=\{x; x∈A\ या\ x∈B\}\)

नीचे दी गई छवि में, नारंगी क्षेत्र है तय करना ए ∪बी.

यह कठिन लगता है? आइए दो उदाहरण देखें!

उदाहरण 1:

समुच्चय A ∪ B क्या है, यदि A = {7, 8} और B = {12, 15}?

समुच्चय A ∪ B उन तत्वों से बनता है जो A से संबंधित हैं या बी के हैं. चूँकि तत्व 7 और 8 समुच्चय A से संबंधित हैं, तो उन दोनों को समुच्चय A ∪ B से संबंधित होना चाहिए। इसके अलावा, चूंकि तत्व 12 और 15 सेट बी से संबंधित हैं, तो दोनों को सेट ए ∪ बी से संबंधित होना चाहिए।

इसलिए,

ए ∪ बी={7, 8, 12, 15}

ध्यान दें कि A∪B का प्रत्येक तत्व या तो सेट A या सेट B से संबंधित है।

उदाहरण 2:

समुच्चय A = {2, 5, 9} और B = {1, 9} पर विचार करें। समुच्चय A ∪ B क्या है?

चूँकि तत्व 2, 5 और 9 समुच्चय A से संबंधित हैं, तो वे सभी समुच्चय A∪B से संबंधित होने चाहिए। इसके अलावा, चूँकि तत्व 1 और 9 समुच्चय B से संबंधित हैं, तो वे सभी समुच्चय A ∪ B से संबंधित होने चाहिए।

ध्यान दें कि हमने 9 का दो बार उल्लेख किया है, क्योंकि यह तत्व सेट ए और सेट बी से संबंधित है। यह कहते हुए कि "समुच्चय A ∪ B उन तत्वों से बनता है जो A से संबंधित हैं या बी से संबंधित" उन तत्वों को बाहर नहीं करता है जो एक साथ सेट ए और बी से संबंधित हैं।

तो, इस उदाहरण में, हमारे पास है

ए ∪ बी={1, 2, 5, 9}

ध्यान दें कि हम तत्व 9 को केवल एक बार लिखते हैं।

• सेटों का प्रतिच्छेदन

समुच्चय A और B का प्रतिच्छेदन समुच्चय A ∩ B है (पढ़ें "प्रतिच्छेदन B")। यह सेट उन सभी तत्वों से बना है जो सेट ए से संबंधित हैं यह है सेट बी से संबंधित हैं। दूसरे शब्दों में, ए ∩ बी सेट ए और बी के सामान्य तत्वों से बना है.

A ∩ B के तत्वों को x से दर्शाते हुए, हम लिखते हैं

\(A∩B=\{x; x∈A\ और\ x∈B\}\)

नीचे दी गई छवि में, नारंगी क्षेत्र है तय करना ए ∩बी.

आइए समुच्चयों के प्रतिच्छेदन के बारे में दो उदाहरण हल करें!

उदाहरण 1:

ए = {-1, 6, 13} और बी = {0, 1, 6, 13} पर विचार करें। समुच्चय A ∩ B क्या है?

समुच्चय A ∩ B उन सभी तत्वों से बनता है जो समुच्चय A से संबंधित हैं यह है सेट बी से संबंधित हैं। ध्यान दें कि तत्व 6 और 13 एक साथ सेट ए और बी से संबंधित हैं।

इस कदर,

ए ∩ बी={6, 13}

उदाहरण 2:

समुच्चय A = {0,4} और के बीच प्रतिच्छेदन क्या है? \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?

ध्यान दें कि सेट ए और बी के बीच कोई समान तत्व नहीं है। इस प्रकार, प्रतिच्छेदन तत्वों के बिना एक सेट है, यानी एक खाली सेट है।

इसलिए,

\(\)ए ∩ बी={ } = ∅

• सेट के बीच अंतर

सेट ए और बी के बीच का अंतर सेट ए - बी है (पढ़ें "ए और बी के बीच अंतर")। इस सेट में शामिल हैं सभी तत्व जो सेट ए से संबंधित हैं और सेट बी से संबंधित नहीं हैं.

A – B के तत्वों को x द्वारा निरूपित करते हुए, हम लिखते हैं

\(ए-बी=\{x; x∈A\ और\ x∉B\}\)

नीचे दी गई छवि में, नारंगी क्षेत्र है सेटए - बी.

ध्यान: सेट ए और बी के बीच का अंतर सेट बी और ए के बीच का अंतर नहीं है, क्योंकि बी - ए उन सभी तत्वों से बनता है जो सेट बी से संबंधित हैं और सेट ए से संबंधित नहीं हैं।

सेटों के बीच अंतर के बारे में नीचे दिए गए दो उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1:

यदि A = {-7, 2, 100} और B = {2, 50}, तो समुच्चय A – B क्या है? समुच्चय B-A के बारे में क्या?

सेटए-बी सेट ए से संबंधित सभी तत्वों से बना है यह हैनहीं सेट बी से संबंधित हैं। ध्यान दें कि सेट ए में 2 एकमात्र तत्व है जो सेट बी से भी संबंधित है। इस प्रकार, 2 समुच्चय A – B से संबंधित नहीं है।

इसलिए,

ए - बी = {-7, 100}

इसके अलावा, सेट बी - ए उन सभी तत्वों से बनता है जो सेट बी से संबंधित हैं यह हैनहीं सेट ए से संबंधित हैं। इसलिए,

बी - ए = {50}

उदाहरण 2:

समुच्चय A = {–4, 0} और समुच्चय B = {–3} के बीच क्या अंतर है?

ध्यान दें कि A का कोई भी तत्व B से संबंधित नहीं है। इस प्रकार, अंतर A - B समुच्चय A ही है।

\(ए - बी = \{-4.0\} = ए\)

अवलोकन: विचार करें कि U (जिसे ब्रह्माण्ड समुच्चय कहा जाता है) एक ऐसा समुच्चय है जिसमें किसी दी गई स्थिति में अन्य सभी समुच्चय शामिल होते हैं। इस कदर, के अंतर यू-ए, साथ ए⊂यू, एक समुच्चय है जिसे A का पूरक कहा जाता है और के रूप में चित्रित किया गया है \(बी.सी\).

\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)

निम्नलिखित छवि में, आयत ब्रह्मांड सेट है और नारंगी क्षेत्र ब्रह्मांड सेट है \(बी.सी\).

अधिक जानते हैं: चरण दर चरण विभाजन कैसे करें

सेट संचालन पर हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1

समुच्चय A = {–12, –5, 3} और B = {–10, 0, 3, 7} पर विचार करें और नीचे दिए गए प्रत्येक कथन को T (सही) या F (गलत) के रूप में वर्गीकृत करें।

मैं। ए ∪ बी = {–12, –10, –5, 3, 7}

द्वितीय. ए ∩ बी = {3}

तृतीय. ए - बी = {-12, -5}

ऊपर से नीचे तक सही क्रम है

ए) वी-वी-वी

बी) एफ-वी-वी

सी) वी-एफ-वी

डी) एफ-एफ-वी

ई) एफ-एफ-एफ

संकल्प

मैं। असत्य।

तत्व 0 को A और B के मिलन से संबंधित होना चाहिए, क्योंकि 0 ∈ B. इस प्रकार, A ∪ B = {–12, -10, -5, 0, 3, 7}

द्वितीय. सत्य।

तृतीय. सत्य।

वैकल्पिक बी.

प्रश्न 2

ए = {4,5}, बी = {6,7} और सी = {7,8} पर विचार करें। फिर, समुच्चय A ∪ B ∩ C है

ए) {7}.

बी) {8}.

सी) {7, 8}.

डी) {6,7,8}।

ई) {4, 5, 6, 7, 8}।

संकल्प

ध्यान दें कि A ∪ B = {4, 5, 6, 7}। इसलिए, सेट A ∪ B ∩ C, A ∪ B = {4, 5, 6, 7} और C = {7,8} के बीच प्रतिच्छेदन है। जल्द ही,

ए ∪ बी ∩ सी = {7}

वैकल्पिक ए.

सूत्रों का कहना है

लीमा, एलोन एल.. विश्लेषण पाठ्यक्रम. 7वां संस्करण. रियो डी जनेरियो: IMPA, 1992. v.1.

लीमा, एलोन एल. और अन्य। हाई स्कूल गणित. 11. ईडी। गणित शिक्षक संग्रह. रियो डी जनेरियो: एसबीएम, 2016। v.1.