ए संख्या क्रम क्रमबद्ध तरीके से व्यवस्थित संख्याओं का एक समूह है। संख्यात्मक अनुक्रम को विभिन्न मानदंडों का उपयोग करके इकट्ठा किया जा सकता है - उदाहरण के लिए, सम संख्याओं का अनुक्रम या 3 के गुणजों का अनुक्रम। जब हम इस मानदंड को एक सूत्र के साथ वर्णित कर सकते हैं, तो हम इस सूत्र को संख्यात्मक अनुक्रम के गठन का नियम कहते हैं।
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संख्यात्मक अनुक्रम के बारे में सारांश
संख्या अनुक्रम क्रम में व्यवस्थित संख्याओं की एक सूची है।
संख्यात्मक अनुक्रम विभिन्न मानदंडों का पालन कर सकता है।
संख्यात्मक अनुक्रम की घटना का नियम उन तत्वों की सूची है जो अनुक्रम में मौजूद हैं।
अनुक्रम को दो प्रकार से वर्गीकृत किया जा सकता है। एक तत्वों की संख्या को ध्यान में रखता है, और दूसरा व्यवहार को ध्यान में रखता है।
जहाँ तक तत्वों की संख्या का प्रश्न है, अनुक्रम परिमित या अनंत हो सकता है।
जहाँ तक व्यवहार का प्रश्न है, अनुक्रम बढ़ता हुआ, स्थिर, घटता हुआ या दोलनशील हो सकता है।
जब संख्यात्मक अनुक्रम को एक समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है, तो इस समीकरण को संख्यात्मक अनुक्रम के गठन के नियम के रूप में जाना जाता है।
अनुक्रम क्या हैं?
क्रम हैं एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित तत्वों का समूह. अपने दैनिक जीवन में, हम कई स्थितियों को देख सकते हैं जिनमें अनुक्रम शामिल हैं:
महीनों का क्रम: जनवरी, फरवरी, मार्च, अप्रैल,..., दिसंबर।
21वीं सदी के पहले 5 विश्व कप के वर्षों का क्रम: 2002, 2006, 2010, 2014, 2018.
कई अन्य संभावित अनुक्रम हैं, जैसे नाम अनुक्रम या आयु अनुक्रम। जब भी कोई स्थापित व्यवस्था होती है तो एक क्रम भी होता है.
अनुक्रम के प्रत्येक तत्व को अनुक्रम के एक पद के रूप में जाना जाता है, इसलिए अनुक्रम में पहला पद, दूसरा पद और इसी तरह आगे भी होता है। आम तौर पर, एक अनुक्रम का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:
\((a_1,a_2,a_3,…,a_n )\)
\(से 1\) → पहला पद.
\(a_2\) → दूसरा पद.
\(a_3\) → तीसरा पद.
\(एक\) → कोई भी पद.
संख्यात्मक अनुक्रम के घटित होने का नियम
हमारे पास विभिन्न तत्वों का क्रम हो सकता है, जैसे महीने, नाम, सप्ताह के दिन, आदि। एअनुक्रम एक संख्यात्मक अनुक्रम है जब इसमें संख्याएँ शामिल होती हैं. हम सम संख्याओं, विषम संख्याओं का क्रम बना सकते हैं, प्रमुख संख्या, 5 के गुणज आदि।
अनुक्रम को एक घटना नियम का उपयोग करके दर्शाया गया है। घटना का नियम संख्यात्मक अनुक्रम के तत्वों की सूची से अधिक कुछ नहीं है.
उदाहरण:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) → 1 से 15 तक विषम संख्याओं का क्रम।
(0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...) → संख्याओं का क्रम जो 5 के गुणज हैं।
(-1, 1, -1, 1, -1, 1) → 1 और -1 के बीच वैकल्पिक क्रम।
संख्यात्मक अनुक्रम का वर्गीकरण क्या है?
हम अनुक्रमों को दो अलग-अलग तरीकों से वर्गीकृत कर सकते हैं। उनमें से एक तत्वों की संख्या को ध्यान में रख रहा है, और दूसरा इन तत्वों के व्यवहार को ध्यान में रख रहा है।
→ तत्वों की संख्या के अनुसार संख्यात्मक अनुक्रम का वर्गीकरण
जब हम अनुक्रम को तत्वों की संख्या के अनुसार वर्गीकृत करते हैं, तो दो संभावित वर्गीकरण होते हैं: परिमित अनुक्रम और अनंत अनुक्रम।
◦ परिमित संख्या क्रम
एक अनुक्रम परिमित होता है यदि उसमें तत्वों की संख्या सीमित हो।
उदाहरण:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
(-4, -6, -8, -10, -12)
◦ अनंत संख्या क्रम
एक अनुक्रम अनंत है यदि इसमें तत्वों की संख्या असीमित है।
उदाहरण:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...)
(3, 0, -3, -6, -9, -12, ...)
( -1, 2, -4, 8, -16, ...)
→ अनुक्रम के व्यवहार के अनुसार संख्यात्मक अनुक्रम का वर्गीकरण
वर्गीकृत करने का दूसरा तरीका अनुक्रम व्यवहार है। इस स्थिति में, अनुक्रम बढ़ता, स्थिर, दोलन या घटता हुआ हो सकता है।
◦ बढ़ता हुआ संख्या क्रम
यदि कोई पद हमेशा अपने पूर्ववर्ती से बड़ा होता है तो अनुक्रम बढ़ रहा है।
उदाहरण:
(1, 5, 9, 13, 17, ...)
(10, 11, 12, 13, 14, 15, ...)
◦ निरंतर संख्या क्रम
जब सभी पदों का मान समान हो तो अनुक्रम स्थिर रहता है।
उदाहरण:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
(-1, -1, -1, -1, -1, ...)
◦ अवरोही संख्या क्रम
यदि अनुक्रम में पद हमेशा अपने पूर्ववर्तियों से छोटे हों तो अनुक्रम घट रहा है।
उदाहरण:
(-1, -2, -3, -4, -5, ...)
(19, 16, 13, 10, 8, ...)
◦ दोलनशील संख्या क्रम
यदि बारी-बारी से अपने पूर्ववर्तियों से बड़े पद हों और अपने पूर्ववर्तियों से छोटे पद हों तो अनुक्रम दोलन कर रहा है।
उदाहरण:
(1, -3, 9, -27, 81, ...)
(1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...)
संख्यात्मक अनुक्रम के निर्माण का नियम
कुछ मामलों में, सूत्र का उपयोग करके अनुक्रम का वर्णन करना संभव है, हालांकि, यह हमेशा संभव नहीं है। उदाहरण के लिए, अभाज्य संख्याओं का अनुक्रम एक अच्छी तरह से परिभाषित अनुक्रम है, हालाँकि हम इसे किसी सूत्र का उपयोग करके वर्णित नहीं कर सकते हैं। सूत्र को जानने के बाद, हम संख्यात्मक अनुक्रम के घटित होने का नियम बनाने में सक्षम हुए।
उदाहरण 1:
शून्य से बड़ी सम संख्याओं का क्रम.
\(a_n=2n\)
प्रतिस्थापित करते समय ध्यान दें एन एक के लिए प्राकृतिक संख्या (1, 2, 3, 4, ...), हमें एक सम संख्या मिलेगी:
\(a_1=2⋅1=2\)
\(a_2=2⋅2=4\)
\(a_3=2⋅3=6\)
\(a_4=2⋅4=8\)
तो, हमारे पास एक सूत्र है जो शून्य से बड़ी सम संख्याओं द्वारा निर्मित अनुक्रम के पद उत्पन्न करता है:
(2, 4, 6, 8, ...)
उदाहरण 2:
4 से बड़ी प्राकृत संख्याओं का अनुक्रम.
\(a_n=4+n\)
अनुक्रम की शर्तों की गणना करने पर, हमारे पास है:
\(a_1=4+1=5\)
\(a_2=4+2=6\)
\(a_3=4+3=7\)
\(a_4=4+4=8\)
घटना का नियम लिखना:
(5, 6, 7, 8,…)
यह भी देखें: अंकगणितीय प्रगति - संख्यात्मक अनुक्रम का एक विशेष मामला
संख्यात्मक अनुक्रम पर हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1
एक संख्यात्मक अनुक्रम का गठन नियम बराबर होता है \(a_n=n^2+1\). इस अनुक्रम का विश्लेषण करते हुए, हम बता सकते हैं कि अनुक्रम के 5वें पद का मान होगा:
ए) 6
बी)10
सी) 11
डी) 25
ई) 26
संकल्प:
वैकल्पिक ई
अनुक्रम के 5वें पद के मान की गणना करने पर, हमारे पास है:
\(a_5=5^2+1\)
\(a_5=25+1\)
\(a_5=26\)
प्रश्न 2
निम्नलिखित संख्यात्मक अनुक्रमों का विश्लेषण करें:
मैं। (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
द्वितीय. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
तृतीय. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
हम बता सकते हैं कि अनुक्रम I, II और III को क्रमशः इस प्रकार वर्गीकृत किया गया है:
ए) बढ़ रहा है, दोलन कर रहा है और घट रहा है।
बी)घटना, बढ़ना और दोलन करना।
सी) दोलनशील, स्थिर और बढ़ता हुआ।
डी) घटता हुआ, दोलनशील और स्थिर।
ई) दोलन करना, घटना और बढ़ना।
संकल्प:
वैकल्पिक सी
अनुक्रमों का विश्लेषण करते हुए, हम बता सकते हैं कि:
मैं। (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
यह दोलन कर रहा है, क्योंकि ऐसे शब्द हैं जो अपने पूर्ववर्तियों से बड़े हैं और ऐसे शब्द हैं जो अपने पूर्ववर्तियों से छोटे हैं।
द्वितीय. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
यह स्थिर है, क्योंकि अनुक्रम के पद सदैव समान होते हैं।
तृतीय. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
यह बढ़ रहा है, क्योंकि शब्द हमेशा अपने पूर्ववर्तियों की तुलना में बड़े होते हैं।