हम जानते हैं कैसे बहुपद एक व्यंजक जो एकपदी के बीजगणितीय योग को इंगित करता है जो समान नहीं है, अर्थात् बहुपद है एक बीजगणतीय अभिव्यक्ति मोनोमियल के बीच between. मोनोमियम एक बीजीय शब्द है जिसमें एक गुणांक और एक शाब्दिक भाग होता है।
जब बहुपदों के बीच समान पद हों, तो यह संभव है कि इसकी शर्तों में कमी दो बहुपदों के जोड़ या घटाव में। वितरण गुण के माध्यम से दो बहुपदों को गुणा करना भी संभव है। विभाजन कुंजी विधि का उपयोग करके किया जाता है।
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मोनोमियल क्या हैं?
यह समझने के लिए कि बहुपद क्या है, पहले एक मोनोमियम का अर्थ समझना महत्वपूर्ण है। एक बीजीय व्यंजक एक मोनोमियम के रूप में जाना जाता है, जब इसमें संख्याएं और अक्षर और उनके घातांक केवल गुणा द्वारा अलग किया गया। संख्या को गुणांक के रूप में जाना जाता है, और अक्षरों और उनके घातांक को शाब्दिक भाग के रूप में जाना जाता है।
उदाहरण:
2x² → 2 गुणांक है; x² शाब्दिक भाग है।
√5ax → √5 गुणांक है; कुल्हाड़ी शाब्दिक हिस्सा है।
b³yz² → 1 गुणांक है; b³yz² शाब्दिक हिस्सा है।
बहुपद क्या है?
एक बहुपद और कुछ नहीं बल्कि है एकपदी का बीजगणितीय योग, अर्थात्, वे एक दूसरे से जोड़ या घटाव द्वारा अलग किए गए अधिक मोनोमियल हैं।
उदाहरण:
ax² + by + ३
5c³d – 4ab + 3c²
-2ab + b - 3xa
सामान्यतया, एक बहुपद के कई पद हो सकते हैं, इसे बीजगणितीय रूप से दर्शाया जाता है:
नहीं नएक्सनहीं न + द(एन -1) एक्स(एन -1) + … +2एक्स² + ए1एक्स + ए
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एक बहुपद की डिग्री
बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए, आइए इसे दो स्थितियों में विभाजित करें, जब इसका एक ही चर हो और जब इसके अधिक चर हों। बहुपद की घात द्वारा दी जाती है दोनों ही मामलों में इसके सबसे बड़े मोनोमियल की डिग्री.
बहुपद के साथ काम करना काफी सामान्य है जिसमें केवल एक चर होता है। जब ऐसा होता है, हे अधिक मोनोमियम डिग्री जो डिग्री को इंगित करता है बहुपद का चर के सबसे बड़े घातांक के बराबर है:
उदाहरण:
एकल चर बहुपद
a) 2x² - 3x³ + 5x - 4 → ध्यान दें कि चर x है, और इसका सबसे बड़ा घातांक 3 है, इसलिए यह एक घात 3 बहुपद है।
बी) 2y5 + 4y² - 2y + 8 → चर y है, और सबसे बड़ा घातांक 5 है, इसलिए यह घात 5 का बहुपद है।
जब बहुपद के एकपदी में एक से अधिक चर हों, तो इस पद की घात ज्ञात करने के लिए यह आवश्यक है कि जोड़ें-अगर प्रत्येक चर के घातांक की डिग्री। इस प्रकार, इस मामले में, बहुपद की डिग्री अभी भी सबसे बड़े एकपदी की डिग्री के बराबर है, लेकिन प्रत्येक एकपदी के चर के घातांक जोड़ने के लिए ध्यान रखना आवश्यक है।
उदाहरण:
क) 2xy + 4x²y³ - 5y4
प्रत्येक पद के शाब्दिक भाग का विश्लेषण करते हुए, हमें यह करना होगा:
xy → ग्रेड 2 (1 + 1)
x²y³ → डिग्री 5 (2 + 3)
वाई³ → ग्रेड ३
ध्यान दें कि सबसे बड़े पद में घात 5 है, इसलिए यह एक घात 5 बहुपद है।
बी) 8a²b - ab + 2a²b²
प्रत्येक मोनोमियम के शाब्दिक भाग का विश्लेषण:
a²b → ग्रेड 3 (2 + 1)
ab² → डिग्री 2 (1 + 1)
ab² → ग्रेड 4 (2 + 2)
इस प्रकार, बहुपद की घात 4 होती है।
बहुपद जोड़ना
तक दो बहुपदों के बीच जोड़ addition, चलो अमल करते हैं समान मोनोमियल की कमी. दो मोनोमियल समान होते हैं यदि उनके समान शाब्दिक भाग होते हैं। जब ऐसा होता है, तो बहुपद को सरल बनाना संभव है।
उदाहरण:
मान लीजिए P(x) = 2x² + 4x + 3 और Q(x) = 4x² - 2x + 4। P(x) + Q(x) का मान ज्ञात कीजिए।
2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4
समान शब्द ढूँढना (जिनके शाब्दिक भाग समान हैं):
2x² + 4 एक्स + 3 + 4x² – 2x + 4
अब समान मोनोमियल जोड़ते हैं:
(2+4)x² + (4-2)x + 3 + 4
6x² + 2x +7
बहुपद घटाव
घटाव जोड़ से बहुत अलग नहीं है। महत्वपूर्ण विवरण यह है कि पहले हमें विपरीत बहुपद लिखना होगा इससे पहले कि हम समान शब्दों का सरलीकरण करें।
उदाहरण:
डेटा: P(x) = 2x² + 4x + 3 और Q(x) = 4x² - 2x + 4। पी (एक्स) - क्यू (एक्स) की गणना करें।
बहुपद -Q(x) Q(x) के विपरीत है, Q(x) के विपरीत खोजने के लिए, बस इसके प्रत्येक पद के चिह्न को उलट दें, इसलिए हमें यह करना होगा:
-क्यू (एक्स) = -4x² +2x - 4
फिर हम गणना करेंगे:
पी(एक्स) + (-क्यू(एक्स))
2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4
समान पदों को सरल करते हुए, हमारे पास है:
(2 - 4)x² + (4 + 2)x + (3 - 4)
-2x² + 6x + (-1)
-2x² + 6x - 1
बहुपद गुणन
दो बहुपदों का गुणन करने के लिए, हम ज्ञात. का उपयोग करते हैं वितरण की जाने वाली संपत्ति दो बहुपदों के बीच, पहले बहुपद के एकपदी को दूसरे बहुपद से गुणा करने पर कार्य करते हैं।
उदाहरण:
मान लीजिए P(x) = 2a² + b और Q(x) = a³ + 3ab + 4b²। पी (एक्स) · क्यू (एक्स) की गणना करें।
पी(एक्स) · क्यू(एक्स)
(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)
वितरण संपत्ति को लागू करने पर, हमारे पास होगा:
2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²
25 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² +4b³
अब, यदि वे मौजूद हैं, तो हम समान शब्दों को सरल बना सकते हैं:
25 + 6a³b + 8a²b² + अब + 3ab² + 4b³
ध्यान दें कि नारंगी रंग में केवल समान मोनोमियल को हाइलाइट किया गया है, उनके बीच सरलीकृत करने पर, हमारे पास उत्तर के रूप में निम्नलिखित बहुपद होंगे:
25 + (6+1)अब + 8a²b² + 3ab² + 4b³
25 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
साथ ही पहुंचें: बीजीय भिन्न का गुणन कैसे करें?
बहुपद विभाजन
प्रदर्शन करो बहुपदों का विभाजन काफी श्रमसाध्य हो सकता है, जिसे हम कहते हैं उसका उपयोग करते हैं कुंजी विधि, लेकिन ऐसा करने के कई तरीके हैं। दो बहुपदों का विभाजन यह तभी संभव है जब भाजक की घात छोटी हो. बहुपद P(x) को बहुपद D(x) से विभाजित करके, हम एक बहुपद Q(x) की तलाश कर रहे हैं, जैसे:
इस प्रकार, विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा, हमारे पास है: P(x) = D(x) · Q(x) + R(x)।
पी(एक्स) → लाभांश
डी (एक्स) → डिवाइडर
क्यू(एक्स) → भागफल
आर(एक्स) → शेष
विभाजन का संचालन करते समय, बहुपद P(x) बहुपद D(x) से विभाज्य होता है यदि शेषफल शून्य है।
उदाहरण:
आइए बहुपद P(x) = 15x² +11x + 2 को बहुपद D(x) = 3x + 1 से विभाजित करके कार्य करते हैं।
हम साझा करना चाहते हैं:
(15x² + 11x + 2): (3x + 1)
पहला कदम: हम लाभांश के पहले मोनोमियम को भाजक के पहले के साथ विभाजित करते हैं:
15x²: 3x = 5x
दूसरा चरण: हम 5x · (3x+1) = 15x² + 5x गुणा करते हैं और P(x) के परिणाम को घटाते हैं। घटाव करने के लिए, बहुपद को खोजने के लिए गुणन परिणाम के संकेतों को उल्टा करना आवश्यक है:
तीसरा चरण: हम भाजक के पहले पद से घटाव परिणाम के पहले पद का विभाजन करते हैं:
6x: 3x = 2
चौथा चरण: तो हमारे पास (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2 है।
इसलिए, हमें यह करना होगा:
क्यू (एक्स) = 5x + 2
आर (एक्स) = 0
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हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1 - m का मान क्या होना चाहिए कि बहुपद P(x) = (m² - 9)x³ + (m + 3)x² + 5x + m में घात 2 हो?
ए) 3
बी) -3
सी) ± 3
डी) 9
ई) -9
संकल्प
वैकल्पिक ए
P(x) के लिए डिग्री 2 होने के लिए, x of का गुणांक शून्य के बराबर होना चाहिए, और x² का गुणांक शून्य से भिन्न होना चाहिए।
तो हम करेंगे:
एम² - 9 = 0
एम² = 9
एम = ± 9
एम = ± 3
दूसरी ओर, हमारे पास वह m + 3 0 है।
तो, एम -3।
इस प्रकार, हमारे पास पहले समीकरण के समाधान के रूप में है कि एम = 3 या एम = -3, हालांकि, दूसरे के लिए, हमारे पास एम ≠ -3 है, इसलिए पी (एक्स) को डिग्री 2 बनाने वाला एकमात्र समाधान है: एम = 3.
प्रश्न 2 - (आईएफएमए 2017) आकृति का परिमाप बहुपद द्वारा लिखा जा सकता है:
ए) 8x + 5
बी) 8x + 3
सी) 12 + 5
डी) 12x + 10
ई) 12x + 8
संकल्प
वैकल्पिक डी
छवि से, जब हम दी गई लंबाई और चौड़ाई का विश्लेषण करते हैं, तो हम जानते हैं कि परिधि सभी पक्षों का योग है। चूंकि लंबाई और ऊंचाई समान हैं, हम दिए गए बहुपदों के योग को केवल 2 से गुणा करते हैं।
2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10
राउल रॉड्रिक्स डी ओलिवेरा. द्वारा
गणित अध्यापक
