ए गोलाकार टोपी और यह ज्यामितीय ठोस यह तब प्राप्त होता है जब एक गोले को एक समतल द्वारा अवरोधित किया जाता है, इसे दो ज्यामितीय ठोसों में विभाजित किया जाता है। गोलाकार टोपी को गोल शरीर माना जाता है क्योंकि गोले की तरह इसका आकार भी गोल होता है। गोलाकार टोपी के क्षेत्रफल और आयतन की गणना करने के लिए, हम विशिष्ट सूत्रों का उपयोग करते हैं।
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गोलाकार टोपी के बारे में सारांश
- गोलाकार टोपी एक ज्यामितीय ठोस है जो गोले को एक समतल द्वारा विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
- गोलाकार टोपी के मुख्य तत्व गोले की त्रिज्या, गोलाकार टोपी की त्रिज्या और गोलाकार टोपी की ऊंचाई हैं।
- गोलाकार टोपी एक बहुफलक नहीं है, बल्कि एक गोल शरीर है।
- यदि समतल गोले को आधे में विभाजित करता है, तो गोलाकार टोपी एक गोलार्ध बनाती है।
- पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके गोलाकार टोपी की त्रिज्या की गणना करना संभव है, जिसे निम्नानुसार व्यवस्थित किया गया है:
\(\left (R-h\right)^2+r^2=R^2\)
- गोलाकार टोपी के क्षेत्रफल की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:
\(A=2\pi rh\ \)
- गोलाकार टोपी के आयतन की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\left (3r-h\right)\)
गोलाकार टोपी क्या है?
गोलाकार टोपी के एक खंड से प्राप्त ज्यामितीय ठोस है गेंद सामान्य समतल. जब हम गोले को समतल से काटते हैं तो हम इस गोले को दो गोलाकार टोपियों में विभाजित कर देते हैं। जब हम गोले को आधे में विभाजित करते हैं, तो गोलाकार टोपी को गोलार्ध के रूप में जाना जाता है।
गोलाकार टोपी तत्व
गोलाकार टोपी में, मुख्य तत्व गोले की त्रिज्या, गोलाकार टोपी की त्रिज्या और गोलाकार टोपी की ऊंचाई हैं।
- आर → गोले की त्रिज्या.
- r → गोलाकार टोपी की त्रिज्या।
- h → गोलाकार टोपी की ऊँचाई।
क्या गोलाकार टोपी एक बहुफलकीय या गोल पिंड है?
हम देख सकते हैं कि टोपी एक ज्यामितीय ठोस है। चूंकि इसका आधार गोलाकार और सतह गोलाकार है, गोलाकार टोपी को माना जाता है गोल शरीर, जिसे क्रांति का ठोस रूप भी कहा जाता है. गौरतलब है कि बहुतल से चेहरे बनते हैं बहुभुज, जो गोलाकार टोपी का मामला नहीं है, जिसका आधार a द्वारा बनता है घेरा.
गोलाकार टोपी की त्रिज्या की गणना कैसे करें?
गोलाकार टोपी की त्रिज्या लंबाई की गणना करने के लिए, गोलाकार टोपी की ऊंचाई h की लंबाई और गोले की त्रिज्या R की लंबाई जानना आवश्यक है, क्योंकि, जैसा कि हम निम्नलिखित छवि में देख सकते हैं, पाइथागोरस संबंध है।
ध्यान दें कि हमारे पास ए सही त्रिकोण, त्रिभुज OO'B, कर्ण का माप R और पैरों का माप R - h और r है। को लागू करना पाइथागोरस प्रमेय, हमें करना ही होगा:
\(\left (R-h\right)^2+r^2=R^2\)
उदाहरण:
एक गोलाकार टोपी की त्रिज्या क्या है जिसकी ऊंचाई 2 सेमी है, जबकि गोले की त्रिज्या 5 सेमी है?
संकल्प:
पाइथागोरस संबंध को लागू करना:
\(\left (R-h\right)^2+r^2=R^2\)
\(\बाएं (5-2\दाएं)^2+r^2=5^2\)
\(3^2+r^2=25\)
\(9+r^2=25\)
\(r^2=25-9\)
\(r^2=16\)
\(r=\sqrt{16}\)
\(r=4\)
गोलाकार टोपी के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें?
गोलाकार टोपी के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, गोले की त्रिज्या R की लंबाई और टोपी की ऊंचाई h की माप जानना आवश्यक है. सतह क्षेत्र की गणना के लिए प्रयुक्त सूत्र है:
\(A=2\pi Rh\)
- आर → गोले की त्रिज्या.
- h → गोलाकार टोपी की ऊँचाई।
उदाहरण:
एक गोले से एक गोलाकार टोपी प्राप्त की गई जिसकी त्रिज्या 6 सेमी और ऊंचाई 4 सेमी है। तो इस गोलाकार टोपी का सतह क्षेत्रफल क्या है?
संकल्प:
गोलाकार टोपी के क्षेत्रफल की गणना करने पर, हमारे पास है:
\(A=2\pi Rh\)
\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ \)
\(A=48\pi\ cm^2\)
गोलाकार टोपी के आयतन की गणना कैसे करें?
गोलाकार टोपी का आयतन दो प्रकार से गणना की जा सकती है. पहला सूत्र गोले की त्रिज्या R और ऊँचाई h पर निर्भर करता है:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3 R-h\right)\)
उदाहरण:
8 सेमी त्रिज्या वाले एक गोले से प्राप्त गोलाकार टोपी का आयतन क्या है जिसकी गोलाकार टोपी की ऊंचाई 6 सेमी है?
संकल्प:
चूँकि हम R और h का मान जानते हैं, हम पहले सूत्र का उपयोग करेंगे।
आर = 8
एच = 6
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3 R-h\right)\)
\(V=\frac{\pi6^2}{3}\left (3\cdot8-6\right)\)
\(V=\frac{36\pi}{3}\left (24-6\right)\)
\(V=12\pi\बाएं (18\दाएं)\)
\(V=216\pi\ cm^3\)
अन्य गोलाकार टोपी आयतन सूत्र गोलाकार टोपी त्रिज्या r और टोपी की ऊँचाई h को ध्यान में रखता है:
\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\right)\)
उदाहरण:
एक गोलाकार टोपी का आयतन क्या है जिसकी त्रिज्या 10 सेमी और ऊंचाई 4 सेमी है?
संकल्प:
इस स्थिति में, हमारे पास r = 10 सेमी और h = 4 सेमी है। जैसा कि हम गोलाकार टोपी की त्रिज्या और ऊंचाई का मान जानते हैं, हम दूसरे सूत्र का उपयोग करेंगे:
\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3{\cdot10}^2+4^2\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3\cdot100+16\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (300+16\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (316\right)\)
\(V=\frac{1264\pi}{6}\)
\(V\लगभग210.7\ \pi\ cm³\)
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गोलाकार टोपी पर हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1
(एनीम) बच्चों की पार्टी की मेज को सजाने के लिए, एक शेफ 10 सेमी व्यास वाले एक गोलाकार तरबूज का उपयोग करेगा, जो विभिन्न मिठाइयों को पकाने के लिए एक समर्थन के रूप में काम करेगा। वह तरबूज से एक गोलाकार टोपी हटा देगा, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, और, इस समर्थन की स्थिरता की गारंटी के लिए, खरबूजे को मेज पर लुढ़कना कठिन बनाते हुए, रसोइया काटेगा ताकि गोलाकार कटे हुए भाग की त्रिज्या r कम से कम हो शून्य से 3 सेमी. दूसरी ओर, बॉस चाहेगा कि जिस क्षेत्र में मिठाइयाँ पोस्ट की जाएंगी, उसमें यथासंभव अधिक से अधिक जगह हो।
अपने सभी उद्देश्यों को प्राप्त करने के लिए, शेफ को खरबूजे के शीर्ष को h, सेंटीमीटर में, के बराबर ऊँचाई पर काटना होगा
ए) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)
बी)\( 10-\sqrt{91}\)
ग) 1
डी) 4
ई) 5
संकल्प:
वैकल्पिक सी
हम जानते हैं कि गोले का व्यास 10 सेमी है, इसलिए इसकी त्रिज्या 5 सेमी है, इसलिए ओबी = 5 सेमी है।
यदि खंड की त्रिज्या बिल्कुल 3 सेमी है, तो हमारे पास है:
AO² +AB² = OB²
AO² + 3² = 5²
एओ² + 9 = 25
एओ² = 25 – 9
एओ² = 16
एओ = \(\sqrt{16}\)
एओ = 4 सेमी
इसलिए:
एच + 4 = 5
एच = 5 – 4
एच = 1
प्रश्न 2
एक गोलाकार टोपी का क्षेत्रफल 144π सेमी² है। यह जानते हुए कि इसकी त्रिज्या 9 सेमी है, इस गोलाकार टोपी की ऊंचाई है:
ए) 8 सेमी
बी) 10 सेमी
सी) 14 सेमी
डी) 16 सेमी
ई) 22 सेमी
संकल्प:
वैकल्पिक ए
हम वह जानते हैं:
\(A=2\pi Rh\)
\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot h\)
\(144\pi=18\pi h\)
\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)
\(8=h\)
ऊंचाई 8 सेमी है.
राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा द्वारा
गणित शिक्षक
स्रोत: ब्राज़ील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm
