योग घन और अंतर घन

योग घन और अंतर घन दो प्रकार के होते हैं उल्लेखनीय उत्पाद, जहां दो पदों को जोड़ा या घटाया जा रहा है और फिर घन किया जा रहा है, यानी 3 के बराबर घातांक के साथ।

(एक्स + वाई) ³ -> योग घन

(x – y) ³ ->अंतर का घन

योग घन को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है (x+y). (x+y). (एक्स + वाई) और अंतर का घन के रूप में (एक्स-वाई). (एक्स-वाई). (एक्स - वाई).

इन उत्पादों को उनके महत्व के लिए उल्लेखनीय उत्पादों का नाम मिलता है, क्योंकि वे बीजगणितीय गणनाओं में अक्सर दिखाई देते हैं।

अब, याद रखें कि, गणित में, एक ही अभिव्यक्ति को दूसरे तरीके से लिखा जा सकता है, लेकिन उसका मान बदले बिना। उदाहरण के लिए, x + 1 + 1 को केवल x + 2 के रूप में लिखा जा सकता है।

अक्सर, जब हम किसी व्यंजक को दोबारा लिखते हैं, तो हम कई बीजगणितीय समस्याओं को सरल और हल कर सकते हैं। इसलिए, आइए योग के घन और अंतर के घन को बीजगणितीय रूप से विकसित करके लिखने का एक और तरीका देखें।

योग घन

हे योग घन उल्लेखनीय गुणनफल (x + y) ³ है, जो (x + y) के समान है। (x+y). (x+y). इस प्रकार, हम लिख सकते हैं:

(x + y) ³ = (x + y). (x+y). (एक्स + वाई)

अब, उस पर विचार करते हुए (x + y)। (x + y) = (x + y) ² = x² + 2xy + y², योग का घन इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(x + y) ³ = (x + y). (x² + 2xy + y²)

बहुपद को गुणा करना (x + y) द्वारा (x² + 2xy + y²), हम देख सकते हैं कि:

(x + y) ³ = x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³

समान पदों को जोड़ने पर, हमें पता चलता है कि योग का घन इस प्रकार दिया गया है:

(x + y) ³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

उदाहरण:

प्रत्येक घन को बीजगणितीय रूप से विकसित करें:

ए) (एक्स + 5)²

(x + 5)² = (x) ³ + 3.(x) ².(5) + 3.(x).(5)² + (5)³

= x³ + 3.x².5 + 3.x.25 + 125

= x³ +15x² +75x + 125

बी) (1 + 2बी) ³

(1 + 2बी) ³ = (1)³ + 3.(1)².(2बी) + 3.(1).(2बी) ² + (2बी) ³

 = 1 + 3.1.2बी + 3.1.4बी² + 8बी³

= 1 + 6बी + 12बी² + 8बी³

अंतर घन

हे अंतर घन उल्लेखनीय उत्पाद (x - y) ³ है, जो (x - y) के समान है। (एक्स-वाई). (एक्स-वाई). तो, हमें यह करना होगा:

(x – y) ³ = (x – y). (एक्स-वाई). (एक्स - वाई)

जैसे (x – y). (x – y) = (x – y) ² = x² – 2xy + y², अंतर का घन इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(x – y) ³ = (x – y). (x² – 2xy + y²)

(x – y) को (x² – 2xy + y²) से गुणा करने पर, हम देख सकते हैं कि:

(x – y) ³ = x³ – 2x²y + xy² – x²y + 2xy² – y³

समान पदों को जोड़ने पर, हमें पता चलता है कि अंतर का घन इस प्रकार दिया गया है:

(x – y) ³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³

उदाहरण:

प्रत्येक घन को बीजगणितीय रूप से विकसित करें:

ए) (x – 2)³

(x – 2)³ = (x) ³ – 3.(x) ².(2) + 3.(x).(2)² – (2)³

= x³ – 3.x².2 + 3.x.4 – 8

= x³ – 6x² + 12x – 8

बी) (2ए - बी) ³

(2ए - बी) ³ = (2ए) ³ - 3.(2ए) ².(बी) + 3.(2ए).(बी²) - (बी) ³

= 8a³ – 3.4a².b + 3.2a.b² – b³

= 8a³ – 12a²b + 6ab² – b³

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