वृत्तों के अध्ययन में, एक वृत्त की स्पर्शरेखा रेखाओं की एक महत्वपूर्ण अवधारणा का अध्ययन किया जाना चाहिए। इस अध्ययन को करने के लिए एक वृत्त के संबंध में एक बिंदु की सापेक्ष स्थिति को समझना आवश्यक है। यदि आपने इस विषय से संबंधित किसी चीज़ का अध्ययन नहीं किया है, तो लेख देखें एक बिंदु और एक वृत्त के बीच सापेक्ष स्थिति.
एक वृत्त के संबंध में एक बिंदु की स्थिति को देखते हुए, हम स्पर्शरेखा रेखाओं से संबंधित कुछ तथ्यों का निष्कर्ष निकाल सकते हैं। यह ज्ञात है कि एक बिंदु से एक वृत्त तक तीन सापेक्ष स्थितियाँ होती हैं। इसकी प्रत्येक स्थिति के लिए, हम उस बिंदु से गुजरने वाली स्पर्श रेखा के बारे में कुछ निष्कर्ष निकाल सकते हैं।
• वृत्त के अंदर का बिंदु: आप इस बिंदु से स्पर्श रेखा नहीं खींच सकते।
• वृत्त से संबंधित बिंदु: इस बिंदु से हमारे पास केवल एक स्पर्श रेखा हो सकती है, क्योंकि यह स्पर्शरेखा बिंदु है।
• वृत्त के बाहर का बिंदु: इस बिंदु से हम वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींच सकते हैं।
इसलिए, किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से एक सर्कल के स्पर्शरेखा के समीकरण को निर्धारित करने के लिए, हमें आवश्यक रूप से उस बिंदु की सापेक्ष स्थिति निर्धारित करनी चाहिए। यह स्थिति बिंदु से वृत्त के केंद्र की दूरी पर निर्भर करती है।
हमें विश्लेषणात्मक ज्यामिति के बारे में कुछ महत्वपूर्ण तथ्य याद रखने चाहिए:
• एक बिंदु से एक रेखा तक की सबसे छोटी दूरी इस रेखा पर लंबवत एक खंड है;
• स्पर्शरेखा रेखा हमेशा किरण के स्पर्शरेखा बिंदु पर लंबवत होगी।
पिछले दो तथ्यों से संबंधित, यह कहा जा सकता है कि स्पर्शरेखा रेखा से केंद्र की दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए।
इसलिए, स्पर्शरेखा रेखा के समीकरण को निर्धारित करने के लिए, हमें उस बिंदु की स्थिति का विश्लेषण करना चाहिए जिसे हम खींचेंगे रेखा के लिए और इस प्रकार उस रेखा की दूरी की गणना करें जिसमें इस बिंदु के केंद्र के संबंध में शामिल है परिधि।
इन सभी अवधारणाओं को बेहतर ढंग से समझने के लिए, हम उन उदाहरणों के साथ काम करेंगे जिनके लिए इन प्रतिबिंबों की आवश्यकता है।
1) बिंदु P द्वारा खींची गई रेखा (ओं) के स्पर्शरेखा (ओं) के समीकरण (ओं) को दिए गए वृत्त पर निर्धारित करें।
ए) ईक। परिधि: x2+ y2 - 6x - 8y = 0 पी (0.0)
उसके साथ, हम अपनी समस्या के लिए आवश्यक जानकारी निकाल सकते हैं:
सी (3,4), आर = 5।
अब हमें बिंदु P(0,0) की सापेक्ष स्थिति ज्ञात करनी चाहिए:
इसलिए, बिंदु P स्पर्शरेखा बिंदु है।
आइए बिंदु P से जाने वाली सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करें।
रेखा के समीकरण को वास्तव में निर्धारित करने के लिए, हमें अभी भी यह पता लगाना होगा कि इस रेखा का ढलान क्या है। इस लेख की शुरुआत में हमने जिन तथ्यों को देखा, उनमें से एक वृत्त की त्रिज्या के लिए स्पर्शरेखा रेखा की लंबवतता थी। बिंदु P स्पर्शरेखा का एक बिंदु है, इसलिए बिंदु P और केंद्र से गुजरने वाली रेखा का ढलान स्पर्शरेखा के लंबवत होना चाहिए। इसके लिए, हमारे पास लंबवत ढलानों के बीच संबंध है।
दूसरे शब्दों में, लंबवत रेखाओं के ढलानों का गुणनफल -1 के बराबर होता है।
पीसी खंड के ढलान को निर्धारित करने के लिए, हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति का उपयोग करना चाहिए:
इससे हमें स्पर्श रेखा का समीकरण प्राप्त होता है:
मीटर का मान निर्धारित करने का दूसरा तरीका केंद्र से रेखा तक की दूरी की गणना करना होगा। यह दूरी त्रिज्या के बराबर है। चलो देखते हैं:
जब बिंदु वृत्त के बाहर होता है, तो हमें वृत्त के केंद्र से बिंदु तक की दूरी का उपयोग करते हुए स्पर्शरेखा बिंदु ज्ञात करना चाहिए। स्पर्शरेखा रेखा, इसलिए हम स्पर्शरेखा रेखा के कोणीय गुणांक का मान निर्धारित करेंगे, जो बदले में, रेखा के समीकरण को निर्धारित करेगा स्पर्शरेखा
गेब्रियल एलेसेंड्रो डी ओलिवेरा. द्वारा
गणित में स्नातक
ब्राजील स्कूल टीम
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tangencia-circunferencia.htm