जड़ की बहुलता

दूसरी डिग्री समीकरण को हल करने में x² - 6x + 9 = 0, हम 3 के बराबर दो मूल पाते हैं। अपघटन प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम बहुपद का गुणनखंड करते हैं और प्राप्त करते हैं:
एक्स² - 6x + 9 = 0 = (x - 3) (x - 3) = (x - 3)²
इस स्थिति में, हम कहते हैं कि 3 गुणन 2 का मूल है या समीकरण का दोहरा मूल है।
इस प्रकार, यदि एक गुणनखंड बहुपद का परिणाम निम्नलिखित व्यंजक में होता है:

हम कह सकते हैं कि:
x = -5 बहुलता वाला मूल है 3 या समीकरण p (x) = 0. का त्रिमूल
x = -4 बहुलता वाला मूल है या समीकरण p (x) = 0. का दोहरा मूल है
x = 2 बहुलता वाला मूल है 1 या समीकरण p (x) = 0. का साधारण मूल
सामान्य तौर पर, हम कहते हैं कि r बहुलता n का मूल है, समीकरण p (x) = 0 के n 1 के साथ, यदि:

ध्यान दें कि p(x) (x - r) से विभाज्य है^म और शर्त q(r) 0 का अर्थ है कि r, q(x) का मूल नहीं है और यह गारंटी देता है कि मूल r की बहुलता m से अधिक नहीं है।
उदाहरण 1। x समीकरण को हल करें⁴ - 9x³ + 23x² - 3x - 36 = 0, दिया गया है कि 3 एक दोहरा मूल है।
हल: p(x) को दिया हुआ बहुपद मानें। इस प्रकार:

ध्यान दें कि q(x) p(x) को (x - 3) से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।

².
ब्रियोट-रफिनी के व्यावहारिक उपकरण से विभाजित करके, हम प्राप्त करते हैं:

भाग करने के बाद, हम देखते हैं कि बहुपद q(x) के गुणांक 1, -3, और -4 हैं। इस प्रकार, q (x) = 0 होगा: x² - 3x - 4 = 0
आइए अन्य जड़ों को निर्धारित करने के लिए उपरोक्त समीकरण को हल करें।
एक्स² - 3x - 4 = 0
Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)
Δ = 25
एक्स = -1 या एक्स = 4
इसलिए, एस = {-1, 3, 4}
उदाहरण २। न्यूनतम घात का एक बीजीय समीकरण इस प्रकार लिखिए कि 2 दोहरा मूल हो और -1 एकल मूल हो।
समाधान: हमें यह करना होगा:
(x – 2)(x – 2 )(x – (-1)) = 0
या

मार्सेलो रिगोनाट्टो द्वारा
सांख्यिकी और गणितीय मॉडलिंग में विशेषज्ञ
ब्राजील स्कूल टीम

बहुपदों - गणित - ब्राजील स्कूल

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicidade-uma-raiz.htm