प्रगति: वे क्या हैं, प्रकार, सूत्र, उदाहरण

हम जानते हैं कैसे प्रगति के विशेष मामले संख्या क्रम. प्रगति के दो मामले हैं:

• अंकगणितीय प्रगति

• ज्यामितीय अनुक्रम

एक प्रगति होने के लिए, हमें अनुक्रम की विशेषताओं का विश्लेषण करने की आवश्यकता है कि क्या कोई कारण है जिसे हम एक कारण कहते हैं। जब प्रगति होती है अंकगणित, कारण एक स्थिरांक से अधिक कुछ नहीं है जिसे हम अनुक्रम में इसके उत्तराधिकारी को खोजने के लिए एक शब्द में जोड़ते हैं; अब, प्रगति के साथ काम करते समय ज्यामितिक, कारण का एक समान कार्य होता है, केवल इस मामले में कारण वह अचर पद है जिससे हम किसी पद को उसके उत्तराधिकारी को खोजने के लिए अनुक्रम में गुणा करते हैं।

के चलते पूर्वानुमेय व्यवहार एक प्रगति के, इन अनुक्रमों में किसी भी पद को खोजने के लिए विशिष्ट सूत्र हैं, और इसे विकसित करना भी संभव है उनमें से प्रत्येक के लिए सूत्र (अर्थात, अंकगणितीय प्रगति के लिए एक और ज्यामितीय प्रगति के लिए एक) योग की गणना करने के लिए सेनहीं न इस प्रगति की पहली शर्तें।

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प्रति फसल सेम की मात्रा एक ज्यामितीय प्रगति की तरह व्यवहार करती है

संख्या क्रम

यह समझने के लिए कि प्रगति क्या है, हमें पहले यह समझना होगा कि वे क्या हैं

संख्या क्रम. जैसा कि नाम से पता चलता है, हम संख्या अनुक्रम को जानते हैं a संख्याओं का समूह जो किसी आदेश का सम्मान करता है, अच्छी तरह से परिभाषित है या नहीं. से भिन्न सेट संख्यात्मक जहां क्रम मायने नहीं रखता, एक संख्यात्मक अनुक्रम में, क्रम आवश्यक है, उदाहरण के लिए:

अनुक्रम (1, 2, 3, 4, 5) (5, 4, 3, 2, 1) से भिन्न है, जो अनुक्रम (1, 5, 4, 3, 2) से भिन्न है। भले ही तत्व समान हों, क्योंकि क्रम अलग है, इसलिए हमारे पास अलग-अलग क्रम हैं।

उदाहरण:

हम ऐसे अनुक्रम लिख सकते हैं जिनकी संरचनाएँ देखने में आसान हैं:

a) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → 12 से कम या उसके बराबर सम संख्याओं का क्रम।

b) (१७, १५, १३, ११, ९, ७, ५) → १७ से ५ तक विषम संख्याओं का प्रतिगामी क्रम

सी) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ...) → के रूप में जाना जाता है फिबोनाची अनुक्रम.

d) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4…) → हालांकि इस क्रम का अन्य की तरह वर्णन करना संभव नहीं है, यह अनुमान लगाना आसान है कि इसके अगले पद क्या होंगे।

अन्य मामलों में, अनुक्रमों में उनके मूल्यों में कुल यादृच्छिकता हो सकती है, किसी भी मामले में, एक अनुक्रम होने के लिए, जो मायने रखता है वह है क्रमबद्ध मूल्यों का एक सेट होना।

1 को; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)

बी) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)

यह भविष्यवाणी करना संभव नहीं है कि अक्षर b में अगले शब्द कौन हैं, हम अभी भी एक सीक्वल के साथ काम कर रहे हैं।

सामान्य रूप में, स्ट्रिंग्स को हमेशा कोष्ठक ( ) में दर्शाया जाता है, इस अनुसार:

(द₁, ए₂,द₃, ए₄,द₅, ए₆, ए₇, ए₈ ...) → अनंत अनुक्रम

(द₁, ए₂,द₃, ए₄,द₅, ए₆, ए₇, ए₈ … ए_{नहीं न}) → परिमित अनुक्रम

दोनों में, हमारे पास निम्नलिखित प्रतिनिधित्व है:

₁ → प्रथम पद

₂ → दूसरा कार्यकाल

₃ → तीसरा कार्यकाल

.

.

.

_{नहीं न} → वां पद

अवलोकन: यह बहुत महत्वपूर्ण है कि, अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करते समय, डेटा कोष्ठक में संलग्न किया जाता है। अनुक्रम संकेतन अक्सर सेट संकेतन के साथ भ्रमित होता है। एक सेट को ब्रेसिज़ में दर्शाया गया है, और सेट में क्रम महत्वपूर्ण नहीं है, जो इस मामले में सभी अंतर बनाता है।

(१, २, ३, ४, ५) → अनुक्रम

{1, 2, 3, 4, 5} → सेट

अनुक्रम के विशेष मामले हैं जिन्हें प्रगति के रूप में जाना जाता है।

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प्रगति क्या हैं?

एक अनुक्रम को एक प्रगति के रूप में परिभाषित किया जाता है जब इसमें a. होता है एक पद से दूसरे पद की नियमितता, कारण के रूप में जाना जाता है। प्रगति के दो मामले हैं, अंकगणितीय प्रगति और ज्यामितीय प्रगति। यह जानने के लिए कि उनमें से प्रत्येक को कैसे अलग किया जाए, हमें यह समझने की जरूरत है कि प्रगति का कारण क्या है और यह कारण अनुक्रम की शर्तों के साथ कैसे इंटरैक्ट करता है।

जब, अनुक्रम में एक पद से दूसरे पद तक, मेरे पास a स्थिर योग, इस क्रम को एक प्रगति के रूप में परिभाषित किया गया है, और इस मामले में यह एक है अंकगणितीय प्रगति. यह मान जिसे हम लगातार जोड़ रहे हैं, अनुपात के रूप में जाना जाता है। दूसरी स्थिति, अर्थात्, जब अनुक्रम a. है ज्यामितीय अनुक्रम, एक पद से दूसरे पद में a. है एक स्थिर मूल्य से गुणा। समान रूप से, यह मान ज्यामितीय प्रगति का अनुपात है।

उदाहरण:

a) (1, 4, 7, 10, 13, 16…) → ध्यान दें कि हम हमेशा एक पद से दूसरे पद में 3 जोड़ रहे हैं, इसलिए हमारे पास अनुपात की एक अंकगणितीय प्रगति 3 के बराबर है।

b) (1, १०, १००, १०००, १०००० …) → इस मामले में हम हमेशा १० से एक पद से दूसरे में गुणा कर रहे हैं, अनुपात १० की एक ज्यामितीय प्रगति से निपटते हैं।

ग) (0, 2, 8, 26…) → बाद के मामले में, केवल एक अनुक्रम है। अगला पद ज्ञात करने के लिए, हम पद को 3 से गुणा करते हैं और 2 जोड़ते हैं। यह मामला, भले ही अगले पदों को खोजने के लिए एक नियमितता है, यह सिर्फ एक अनुक्रम है, अंकगणित या ज्यामितीय प्रगति नहीं।

अंकगणितीय प्रगति

जब हम संख्या अनुक्रमों के साथ काम करते हैं, तो वे क्रम जिनमें हम उनके अगले पदों की भविष्यवाणी कर सकते हैं, काफी आवर्तक होते हैं। इस क्रम को a. के रूप में वर्गीकृत करने के लिए अंकगणितीय प्रगति, वहाँ एक होने की जरूरत है कारण ए। पहले पद से अगला पद है कारण सहित पिछले पद के योग द्वारा निर्मित आर.

उदाहरण:

क) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25...)

यह एक अनुक्रम है जिसे अंकगणितीय प्रगति के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है, क्योंकि कारण आर = 3 और पहला पद 4 है।

बी) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23 ...)

यह क्रम अच्छे कारण के साथ एक अंकगणितीय प्रगति है। आर = -5, और इसका पहला पद 7 है।

• पीए की शर्तें

कई मामलों में, हमारी रुचि पूरी अनुक्रम को लिखे बिना, प्रगति में एक विशिष्ट शब्द खोजने में होती है। पहले पद का मान और अनुपात जानने के बाद, समांतर श्रेणी में किसी भी पद का मान ज्ञात करना संभव है। समांतर श्रेढ़ी के पद ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का प्रयोग करते हैं:

_{नहीं न} = द₁+ (एन - 1)आर

उदाहरण:

एक P.A का 25वाँ पद ज्ञात कीजिए जिसका अनुपात 3 है और पहला पद 12 है।

डेटा आर = 3,₁ = 12. हम 25वाँ पद ज्ञात करना चाहते हैं, अर्थात n = 25।

_{नहीं न} = द₁+ (एन - 1)आर

₂₅ = 12 + (25 - 1) · 3

₂₅ = 12 + 24 · 3

₂₅ = 12 + 72

₂₅ = 84

• पीए का सामान्य कार्यकाल

सामान्य शब्द सूत्र है a एपी टर्म के फॉर्मूले को सरल बनाने का तरीका किसी भी प्रगति शब्द को अधिक तेज़ी से खोजने के लिए। एक बार पहला पद और कारण ज्ञात हो जाने के बाद, यह सूत्र में एक पीए के एक पद को प्रतिस्थापित करने के लिए पर्याप्त है, ताकि अंकगणितीय प्रगति का सामान्य शब्द ज्ञात हो, जो केवल के मूल्य पर निर्भर करता है नहीं न.

उदाहरण:

उस P.A. का सामान्य पद ज्ञात कीजिए जिसमें आर = 3 और₁ = 2.

_{नहीं न} = 2 + (एन -1) आर

_{नहीं न} = 2 + (एन -1) 3

_{नहीं न} = 2 + 3n - 3

_{नहीं न} = 2n - 1

यह पीए का सामान्य शब्द है, जो इस प्रगति में किसी भी शब्द को खोजने का कार्य करता है।

• पीए की शर्तों का योग

पीए की शर्तों का योग यह काफी श्रमसाध्य होगा यदि इसकी प्रत्येक शर्तों को खोजना और उन्हें जोड़ना आवश्यक हो। सभी के योग की गणना के लिए एक सूत्र है नहीं न अंकगणितीय प्रगति की पहली शर्तें:

उदाहरण:

1 से 100 तक की सभी विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

हम जानते हैं कि विषम संख्याएँ 2: (1, 3, 5, 7…99) के अनुपात की एक समांतर श्रेणी होती हैं। इस क्रम में 50 पद हैं, क्योंकि 1 से 100 तक, आधी संख्याएँ सम हैं और दूसरी आधी विषम है।

इसलिए, हमें यह करना होगा:

एन = 50

₁ = 1

_{नहीं न} = 99

साथ ही पहुंचें: प्रथम डिग्री फ़ंक्शन - अंकगणितीय प्रगति का व्यावहारिक उपयोग

ज्यामितीय अनुक्रम

एक स्ट्रिंग को इस प्रकार भी वर्गीकृत किया जा सकता है जनसंपर्कआक्रमण ज्यामितिक (पीजी)। एक अनुक्रम के लिए एक ज्यामितीय प्रगति होने के लिए, इसके लिए एक कारण होना चाहिए, लेकिन इस मामले में, पहले पद से अगला पद खोजने के लिए, हम प्रदर्शन करते हैं पिछले पद से अनुपात का गुणन.

उदाहरण:

a) (3, 6, 12, 24, 48…) → अनुपात 2 की ज्यामितीय प्रगति, और इसका पहला पद 3 है।

b) (20, 200, 2000, 20 000…) → अनुपात 10 की ज्यामितीय प्रगति, और इसका पहला पद 20 है।

• पीजी की अवधिTerm

एक ज्यामितीय प्रगति में, हम अक्षर के कारण का प्रतिनिधित्व करते हैं क्या भ. एक ज्यामितीय प्रगति की अवधि सूत्र द्वारा ज्ञात की जा सकती है:

_{नहीं न} = द₁ · क्या भ^{एन - 1}

उदाहरण:

यह जानते हुए कि PG का 10वाँ पद ज्ञात कीजिए क्या भ = 2 और₁ = 5.

_{नहीं न} = द₁ · क्या भ^{एन - 1}

₁₀ = 5 · 2^{10 - 1}

₁₀ = 5 · 2⁹

₁₀ = 5 · 512

₁₀ = 2560

• एक पीजी का सामान्य शब्द

जब हम पहले पद और कारण को जानते हैं, तो एक ज्यामितीय प्रगति से सामान्य शब्द सूत्र उत्पन्न करना संभव है जो विशेष रूप से के मूल्य पर निर्भर करता है नहीं न. ऐसा करने के लिए, हमें केवल पहले पद और अनुपात को बदलने की जरूरत है, और हम एक समीकरण पाएंगे जो केवल के मूल्य पर निर्भर करता है नहीं न.

पिछले उदाहरण का उपयोग करते हुए, जहां अनुपात 2 है और पहला पद 5 है, इस जीपी के लिए सामान्य शब्द है:

_{नहीं न} = द₁ · क्या भ^{एन - 1}

_{नहीं न} = 5 · 2^{एन - 1}

• पीजी की शर्तों का योग

प्रगति की सभी शर्तों को जोड़ना बहुत काम का होगा। कई मामलों में, इस राशि को पूरा करने के लिए पूरे क्रम को लिखने में समय लगता है। इस गणना को सुविधाजनक बनाने के लिए, ज्यामितीय प्रगति का एक सूत्र है जो गणना करने के लिए कार्य करता है की राशि नहीं न पहले तत्व एक परिमित PG. का:

उदाहरण:

जीपी (1, 2, 4, 8, 16, 32 ...) के पहले 10 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

ध्यान दें कि इस पीजी का अनुपात 2 के बराबर है।

₁ = 1

क्या भ = 2

नहीं न = 10

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हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1 - वैज्ञानिकों द्वारा कुछ दिनों से बैक्टीरिया की एक विशेष संस्कृति देखी जा रही है। उनमें से एक इस आबादी की वृद्धि का विश्लेषण कर रहा है, और उसने देखा कि, पहले दिन, 100 बैक्टीरिया थे; दूसरे में, 300 बैक्टीरिया; तीसरे में, 900 बैक्टीरिया, और इसी तरह। इस क्रम का विश्लेषण करते हुए, हम कह सकते हैं कि यह है:

ए) कारण 200 की अंकगणितीय प्रगति।

बी) अनुपात 200 की एक ज्यामितीय प्रगति।

सी) कारण 3 की एक समकालिक प्रगति।

डी) अनुपात 3 की एक ज्यामितीय प्रगति।

ई) एक अनुक्रम, लेकिन प्रगति नहीं।

संकल्प

वैकल्पिक डी.

अनुक्रम का विश्लेषण करते हुए, हमारे पास शर्तें हैं:

ध्यान दें कि ९००/३०० = ३, साथ ही ३००/१०० = ३। इसलिए, हम अनुपात 3 के पीजी के साथ काम कर रहे हैं, क्योंकि हम पहले पद से तीन से गुणा कर रहे हैं।

प्रश्न 2 - (एनीम - पीपीएल) दौड़ने में एक शुरुआत के लिए, निम्नलिखित दैनिक प्रशिक्षण योजना निर्धारित की गई थी: पहले दिन 300 मीटर दौड़ें और दूसरे दिन से 200 मीटर प्रति दिन बढ़ाएं। अपने प्रदर्शन को गिनने के लिए, वह प्रशिक्षण में तय की गई दूरी को मापने के लिए अपने स्नीकर से जुड़ी एक चिप का उपयोग करेगा। विचार करें कि यह चिप, इसकी मेमोरी में, अधिकतम 9.5 किमी की दौड़/चलना संग्रहीत करता है, और इसे प्रशिक्षण की शुरुआत में रखा जाना चाहिए और डेटा आरक्षित के लिए स्थान समाप्त करने के बाद त्याग दिया जाना चाहिए। यदि यह एथलीट प्रशिक्षण के पहले दिन से चिप का उपयोग करता है, तो यह चिप उस दैनिक प्रशिक्षण योजना के लाभ को लगातार कितने दिनों तक संग्रहीत करने में सक्षम होगी?

ए) 7

बी) 8

सी) 9

डी) 12

ई) 13

संकल्प

वैकल्पिक बी.

स्थिति का विश्लेषण करते हुए, हम जानते हैं कि हमारे पास 200 के कारण के साथ एक पीए है और प्रारंभिक अंत 300 के बराबर है।

इसके अलावा, हम जानते हैं कि योग S_{नहीं न} = 9.5 किमी = 9500 मीटर।

इन आँकड़ों के साथ, आइए a. पद ज्ञात करें_{नहीं न}, जो भंडारण के अंतिम दिन दर्ज किए गए किलोमीटर की संख्या है।

यह भी याद रखने योग्य है कि कोई भी शब्द a_{नहीं न} के रूप में लिखा जा सकता है:

_{नहीं न} = द₁ + (एन -1)आर

समीकरण 200n² + 400n - 19000 = 0 को देखते हुए, हम समीकरण को सरल करते हुए सभी पदों को 200 से विभाजित कर सकते हैं: n² + 2n - 95 = 0।

डेल्टा और भास्कर के लिए, हमें यह करना होगा:

ए = 1

बी = 2

सी = -95

= बी² - 4ac

Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)

Δ = 4 – 4 · (-95)

Δ = 4 + 380

Δ = 384

हम जानते हैं कि 8.75 8 दिनों और कुछ घंटों से मेल खाता है। इस मामले में, माप किए जा सकने वाले दिनों की संख्या 8 है।

राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा. द्वारा
गणित अध्यापक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm