मौजूदा गणितीय सूत्रों के कारण नियमित समतल आंकड़ों के क्षेत्रों से संबंधित गणना कुछ हद तक आसानी से की जाती है। त्रिकोण, वर्ग, आयत, ट्रेपेज़ॉइड, हीरे, समांतर चतुर्भुज जैसे आंकड़ों के मामले में, यह सूत्र को आकृति से जोड़ने और आवश्यक गणना करने के लिए पर्याप्त है। कुछ स्थितियों में क्षेत्रों को प्राप्त करने के लिए सहायक उपकरणों की आवश्यकता होती है, जैसे कि वक्र के नीचे के क्षेत्र। ऐसी स्थितियों के लिए हम आइजैक न्यूटन और लाइबनिज द्वारा विकसित एकीकरण की धारणाओं को शामिल करते हुए गणनाओं का उपयोग करते हैं।
हम एक फलन नामक एक गठन कानून के माध्यम से विमान में एक वक्र का बीजगणितीय रूप से प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। कार्तीय तल में वक्र के नीचे के क्षेत्रों को निर्धारित करने के लिए एक फ़ंक्शन का अभिन्न अंग बनाया गया था। इंटीग्रल से जुड़ी गणनाओं में गणित और भौतिकी में कई अनुप्रयोग हैं। निम्नलिखित दृष्टांत पर ध्यान दें:
सीमांकित क्षेत्र (एस) के क्षेत्र की गणना करने के लिए हम चर एक्स पर एकीकृत फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं, रेंज ए और बी के बीच:
इस अभिव्यक्ति का मुख्य विचार सीमांकित क्षेत्र को अनंत आयतों में विभाजित करना है, क्योंकि सहज रूप से f (x) का अभिन्न अंग ऊंचाई f (x) और आधार dx के आयतों के योग से मेल खाती है, जहां dx द्वारा f (x) का गुणनफल प्रत्येक के क्षेत्रफल से मेल खाता है आयताकार। अतिसूक्ष्म क्षेत्रों का योग वक्र के नीचे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल देगा।
सीमा a और b के बीच समाकल को हल करते समय, हमें परिणाम के रूप में निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त होंगे:
उदाहरण
अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित परवलय द्वारा सीमांकित नीचे के क्षेत्र का क्षेत्र निर्धारित करें एफ (एक्स) = - एक्स² + 4, सीमा में [-2.2]।
कार्य एकीकरण के माध्यम से क्षेत्र का निर्धारण एफ (एक्स) = -एक्स² + 4.
इसके लिए हमें निम्नलिखित एकीकरण तकनीक को याद रखना होगा:
इसलिए, फ़ंक्शन द्वारा सीमांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल एफ (एक्स) = -एक्स² + 4, -2 से 2 तक, यह 10.6 क्षेत्र इकाई है।
मार्क नूह द्वारा
गणित में स्नातक
ब्राजील स्कूल टीम
भूमिकाएँ - गणित - ब्राजील स्कूल
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-sob-uma-curva.htm