बहुपद-प्रकार बीजगणितीय समीकरण निम्नानुसार व्यक्त किया गया है:
पी (एक्स) = नहीं नएक्सनहीं न +... + द2एक्स2 + द1एक्स1 + द0
अर्थात
पी (एक्स) = 2x5 + 4x4 + 6x3 + 7x2 + 2x + 9
प्रत्येक बहुपद में एक गुणांक और एक शाब्दिक भाग होता है, गुणांक संख्या होता है और शाब्दिक भाग चर होता है।
बहुपद एकपदी से बना होता है और प्रत्येक मोनोमियम एक चर वाली संख्या के गुणनफल से बनता है। एक मोनोमियम की संरचना के नीचे देखें:
एकपदीय
1. एक्स1 → द1 = गुणांक
→एक्स1 = शाब्दिक भाग
प्रत्येक बहुपद की घात होती है, चर के संबंध में बहुपद की घात शाब्दिक भाग के संदर्भ में घातांक का सबसे बड़ा मान होगी। प्रमुख गुणांक वह संख्यात्मक मान है जो उच्च डिग्री के शाब्दिक भाग के साथ होता है।
एक चर की डिग्री की पहचान करने के लिए, हम दो विधियों का उपयोग कर सकते हैं:
पहला बहुपद की सामान्य घात पर विचार करता है और दूसरा एक चर के संबंध में घात पर विचार करता है।
पाने के लिए बहुपद की सामान्य डिग्री, हमें इस बात पर विचार करना चाहिए कि बहुपद के प्रत्येक मोनोमियम की अपनी डिग्री होती है, जो कि शाब्दिक भाग को बनाने वाले शब्दों के घातांक के योग द्वारा दी जाती है। उदाहरण देखें:
2xy + 1x3 + 1xy4 → बहुपद
2xy → डिग्री 2 मोनोमियम, क्योंकि चर x का घातांक 1 है और चर y का घातांक 1 है, जब चरों का संदर्भ देने वाले घातांक जोड़ते हैं, तो हमें प्राप्त होता है इस मोनोमियम की डिग्री 2 है।
1x3→ मोनोमियम ग्रेड 3. का, क्योंकि चर x का घातांक 3 है।
1xy4 → डिग्री 5 का मोनोमियम, क्योंकि चर x की डिग्री 1 है और चर y की डिग्री 4 है, जब हम चरों को संदर्भित करने वाले घातांक जोड़ते हैं इस मोनोमियम की डिग्री 5 है।
हे बहुपद की सामान्य डिग्री उच्चतम डिग्री मोनोमियम द्वारा दिया जाएगा, इसलिए बहुपद की डिग्री 2xy + 1x3 + 1xy4 é 5.
पाने के लिए एक चर के संबंध में एक बहुपद की डिग्री, हमें इस बात पर विचार करना चाहिए कि डिग्री निश्चित किए जाने वाले चर के सबसे बड़े घातांक के माध्यम से प्राप्त की जाएगी। मान लीजिए कि यह चर बहुपद का x पद है 2xy + 1x3 + 1xy4, हमें करना ही होगा:
2xy → डिग्री 1 का मोनोमियम, क्योंकि इस बीजीय पद की डिग्री चर x के घातांक द्वारा निर्धारित की जा रही है।
1x3→ घात 3 का मोनोमियम, क्योंकि इस बीजीय पद की घात चर x के घातांक द्वारा निर्धारित की जा रही है।
xy4→ घात 1 का मोनोमियम, क्योंकि इस बीजीय पद की घात चर x के घातांक द्वारा निर्धारित की जा रही है।
बहुपद की डिग्री 2xy + 1x3 + 1xy4é 3, क्योंकि यह चर x के संबंध में बहुपद की सबसे बड़ी घात है।
इन दो प्रक्रियाओं के माध्यम से हम बहुपद की डिग्री कैसे प्राप्त करते हैं, यह समझने के लिए नीचे दिए गए उदाहरण पर एक नज़र डालें:
उदाहरण 1
5x बहुपद दिया हुआ है8 + 10y3एक्स6 + 2xy. चर x से संबंधित बहुपद की घात क्या है और इसका प्रभावी गुणांक क्या है? चर y के संबंध में बहुपद की डिग्री क्या है और इसका प्रमुख गुणांक क्या है? बहुपद की सामान्य घात क्या है?
जवाब दे दो
पहला कदम:आपको चर से संबंधित बहुपद की घात ज्ञात करनी चाहिए एक्स. फिर हमें लागू करना होगा दूसरा मामला बहुपद की घात ज्ञात करना 5एक्स8+ 10आप3एक्स6+ 2एक्सवाई
पहले हमें प्रत्येक मोनोमियम पर अलग से विचार करना चाहिए और चर के माध्यम से डिग्री का मूल्यांकन करना चाहिए एक्स।
5एक्स8→ चर x के संबंध में, इस मोनोमियम की घात 8 है।
१० वर्ष3एक्स6 → चर x के संबंध में, इस मोनोमियम की डिग्री 6. है
2एक्सआप → चर x के संबंध में, इस मोनोमियम की डिग्री 1 है।
तो हमारे पास 5x बहुपद का उच्चतम घात है8 + 10y3एक्स6 + 2xy, चर x से संबंधित है, 8 है और इसका प्रभावी गुणांक 5 है।
दूसरा कदम: आइए अब बहुपद 5. की घात ज्ञात करेंएक्स8 + 10आप3एक्स6 + 2एक्सआप, चर के संबंध में आप. यह पहचान के लिए पिछले चरण के समान संरचना का अनुसरण करता है, केवल अब हमें चर y के संबंध में इस पर विचार करना चाहिए।
5x8 = 5x8आप0→ चर y के संबंध में, इस मोनोमियम की डिग्री 0 है।
10आप3एक्स6→ चर y के संबंध में, घात 3 है।
2एक्सआप → चर y के संबंध में, घात 1 है।
तब हमारे पास यह है कि चर y से संबंधित बहुपद की घात 3 है और इसका प्रभावी गुणांक 10 है।
तीसरा चरण: अब हमें बहुपद की सामान्य घात की पहचान करनी चाहिए 5एक्स8 + 10आप3एक्स6+ 2एक्स, इसके लिए हम प्रत्येक मोनोमियम पर अलग से विचार करते हैं और घातांकों को शाब्दिक भाग से जोड़ते हैं। बहुपद की घात सबसे बड़े एकपदी की घात होगी।
5एक्स8 = 5एक्स8आप0→ 8 + 0 = 8. इस मोनोमियम की डिग्री 8 है।
10आप3एक्स6 → 3 + 6 = 9.इस मोनोमियम की डिग्री 9 है।
2xy → 1 + 1 = 2. इस मोनोमियम की डिग्री 2 है।
अतः हमारे पास इस बहुपद की घात 8 है।
एक बहुपद की घात को संदर्भित करने वाली अवधारणा हमारे लिए यह समझने के लिए मौलिक है कि a एकात्मक बहुपद.
परिभाषा के अनुसार, हमें यह करना होगा: हे एकात्मक बहुपद तब होता है जब एक चर के संबंध में उच्चतम डिग्री के शाब्दिक भाग के साथ गुणांक 1 होता है। यह डिग्री मोनोमियम द्वारा दी जाती है नहीं नएक्सनहीं न, कहा पे नहीं न प्रमुख गुणांक है जो हमेशा 1 और बहुपद की डिग्री के बराबर होगायह द्वारा दिया गया है एक्सनहीं न,जो एक चर के संबंध में हमेशा बहुपद का सबसे बड़ा घातांक होगा।
एकात्मक बहुपद
पी (एक्स) = 1xनहीं न +... + द2एक्स2 + द1एक्स1 + द0
किया जा रहा हैनहीं न = 1 और एक्सनहीं न यह शाब्दिक भाग है जिसमें बहुपद की उच्चतम डिग्री है।
ध्यान दें भर एकात्मक बहुपद हम हमेशा एक चर के संबंध में डिग्री का मूल्यांकन करते हैं।
उदाहरण 2
नीचे दिए गए इकाई बहुपदों की डिग्री की पहचान करें:
द) पी (एक्स) = एक्स3 + 2x2 + 1 बी) पी (वाई) = 2y6 + y5 – 16 सी) पी (जेड) = जेड9
जवाब दे दो
द) पी (एक्स) = 1x3+ 2x2 + 1. इस बहुपद की घात चर x के संबंध में प्राप्त की जानी चाहिए। इस चर के संबंध में उच्चतम डिग्री 3 है और इसका गुणांक 1 है, जिसे प्रमुख गुणांक माना जाता है। अत: बहुपद P(x) एकात्मक है।
बी) पी (वाई) = 2y6 + y5 – 16. चर y के संबंध में इस बहुपद की घात 6 है। इस डिग्री का जिक्र करते हुए शाब्दिक भाग के साथ आने वाला गुणांक 2 है, यह गुणांक 1 से भिन्न है, इसलिए बहुपद को एकात्मक नहीं माना जाता है।
सी) पी (जेड) = जेड9. घात 9 है और चर z की उच्चतम घात के संबंध में गुणांक 1 है। अतः यह बहुपद एकात्मक है।
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/polinomio-unitario.htm
