निर्धारक: गणना कैसे करें, गुण, उदाहरण

हे सिद्ध का मुख्यालय वर्तमान में कई अनुप्रयोग हैं. हम सारणिक का उपयोग यह जांचने के लिए करते हैं कि क्या कार्टेशियन तल में तीन बिंदु संरेखित हैं, to अन्य अनुप्रयोगों के बीच, रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए त्रिकोण के क्षेत्रों की गणना करें गणित। निर्धारकों का अध्ययन गणित तक सीमित नहीं, भौतिकी में कुछ अनुप्रयोग हैं, जैसे विद्युत क्षेत्रों का अध्ययन।

हम केवल वर्ग आव्यूह के सारणिकों की गणना करते हैं, अर्थात्, आव्यूह जिसमें स्तंभों की संख्या और पंक्तियों की संख्या समान होती है। मैट्रिक्स के सारणिक की गणना करने के लिए, हमें इसके क्रम का विश्लेषण करने की आवश्यकता है, यदि यह 1x1 है, 2x2, 3x3 और इसी तरह, आपका ऑर्डर जितना अधिक होगा, उसे ढूंढना उतना ही कठिन होगा निर्धारक हालांकि, व्यायाम करने के महत्वपूर्ण तरीके हैं, जैसे सरस का नियम, 3x3 मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना करने के लिए प्रयोग किया जाता है।

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क्रम 2 के मैट्रिक्स के सारणिक की गणना।

आदेश 1. का मैट्रिक्स निर्धारक

एक सरणी को क्रम 1 के रूप में जाना जाता है, जब उसके पास वास्तव में होता है

एक पंक्ति और एक स्तंभ. जब ऐसा होता है, तो मैट्रिक्स है एक ही तत्व, द ए₁₁. इस मामले में, मैट्रिक्स निर्धारक अपने एकमात्र शब्द के साथ मेल खाता है।

ए = (ए₁₁)

डिट (ए) = |₁₁ | = द₁₁

उदाहरण:

ए = [2]

det(ए) = |2| = 2

क्रम 1 के आव्यूहों के सारणिकों की गणना करने के लिए केवल उनके एकल तत्व को जानना आवश्यक है।

आदेश 2 मैट्रिक्स के निर्धारक

2x2 वर्ग मैट्रिक्स, जिसे ऑर्डर 2 मैट्रिक्स भी कहा जाता है, में है चार तत्व, इस मामले में, सारणिक की गणना करने के लिए, यह जानना आवश्यक है कि क्या मुख्य विकर्ण और यह माध्यमिक विकर्ण।

क्रम 2 के मैट्रिक्स के सारणिक की गणना करने के लिए, हम गणना करते हैंअंतर की शर्तों का उत्पाद दर्ज करें मुख्य विकर्ण और की शर्तें द्वितीयक विकर्ण. हमारे द्वारा बनाए गए बीजीय उदाहरण का उपयोग करते हुए, det (A) होगा:

उदाहरण:

आदेश 3. का मैट्रिक्स निर्धारक

क्रम तीन मैट्रिक्स है अधिक श्रमसाध्य पिछले वाले की तुलना में निर्धारक प्राप्त करने के लिए, वास्तव में, मैट्रिक्स का क्रम जितना अधिक होगा, यह कार्य उतना ही कठिन होगा। इसमें जरूरी है जिसे हम जानते हैं उसका उपयोग करें सरस का नियम.

• सरस का नियम

सरस का नियम क्रम 3 के आव्यूहों के निर्धारकों की गणना करने की एक विधि है। पहले होने के नाते, कुछ चरणों का पालन करना आवश्यक है मैट्रिक्स के अंत में पहले दो कॉलम डुप्लिकेट करें, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में दिखाया गया है।

आओ चलें तीन विकर्णों में से प्रत्येक की शर्तों को गुणा करें जो मुख्य विकर्ण के समान दिशा में हैं।

हम इसी तरह की प्रक्रिया को द्वितीयक विकर्ण और अन्य दो विकर्णों के साथ करेंगे जो उसी दिशा में हैं।

ध्यान दें कि द्वितीयक विकर्ण की शर्तें हमेशा ऋण चिह्न के साथ होती हैं।, अर्थात्, हम हमेशा द्वितीयक विकर्ण पदों को गुणा करने के परिणाम के चिह्न को बदल देंगे।

उदाहरण:

यह भी देखें: बिनेट की प्रमेय - मैट्रिक्स गुणन के लिए व्यावहारिक प्रक्रिया

निर्धारक गुण

• पहली संपत्ति

यदि मैट्रिक्स की पंक्तियों में से एक 0 के बराबर है, तो इसका निर्धारक 0 के बराबर होगा।

उदाहरण:

• दूसरी संपत्ति

मान लीजिए A और B दो आव्यूह हैं, det (A·B) = det (A) · det (B)।

उदाहरण:

अलग-अलग निर्धारकों की गणना करते हुए, हमें यह करना होगा:

det (ए) = 2 · (-6) - 5 · 3
det (ए) = -12 - 15 = -27

det (बी) = 4 · 1 - 2 · (-2)
det (बी) = 4 + 4 = +8

तो det (A) · det (B) = -27 · 8 = -216

आइए अब det (A·B) की गणना करें

• तीसरी संपत्ति

मान लीजिए A एक मैट्रिक्स है और A' मैट्रिक्स A की पंक्तियों को स्वैप करके निर्मित एक नया मैट्रिक्स है, फिर det (A') = -det (A), या अर्थात्, मैट्रिक्स की रेखाओं की स्थिति को उलटने पर, इसके सारणिक का मान समान होगा, लेकिन एक चिन्ह के साथ आदान-प्रदान किया।

उदाहरण:

• चौथी संपत्ति

समान रेखाएं या आनुपातिक मैट्रिक्स निर्धारक को 0 के बराबर बनाएं।

उदाहरण:

ध्यान दें कि मैट्रिक्स A में, पंक्ति दो के पद पंक्ति एक के पदों के दुगुने हैं।

साथ ही पहुंचें:प्रवेश परीक्षा में मैट्रिक्स का आवेदन

हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1 - (Vunesp) मैट्रिक्स A और B को ध्यान में रखते हुए, det (A·B) का मान निर्धारित करें:

1. तक

बी) 6

ग) 10

घ) 12

ई) 14

संकल्प

वैकल्पिक ई

हम जानते हैं कि det (A·B) = det (A) · det (B):

det (ए) = 1 · 4 - 2 · 3 = 4 - 6 = -2
det (बी) = -1 · 1 - 3 · 2 = -1 - 6 = -7

तो हमें करना होगा:
det (A·B) = det (A) · det (B)
det (A·B) = -2 (-7) = 14

प्रश्न 2 - मैट्रिक्स A को देखते हुए, det(A) के 0 के बराबर होने के लिए x का मान क्या होना चाहिए?

ए) 1/2

बी) 1/3

ग) 1/9

घ) 3
ई) 9

संकल्प

वैकल्पिक बी

A के सारणिक की गणना करते हुए, हमें यह करना होगा:

राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा. द्वारा
गणित अध्यापक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/determinantes-1.htm