जब भी किसी अंकीय व्यंजक के लिए "बीजगणित" शब्द का प्रयोग किया जाता है, तो इसका अर्थ है कि वह व्यंजक कम से कम एक अज्ञात है, जो कि एक अक्षर या प्रतीक है जो किसी संख्या का प्रतिनिधित्व करता है अनजान। इस प्रकार, ए बीजीय भिन्न, बदले में, एक भिन्न से अधिक कुछ नहीं है जिसमें कम से कम एक अज्ञात है भाजक (अंश के नीचे)। इसलिए बीजीय भिन्नों का सरलीकरण संख्यात्मक अंशों के सरलीकरण के समान आधार का अनुसरण करता है।
बीजीय भिन्नों के उदाहरण हैं:
1)
2x
४ वर्ष
2)
४ वर्ष2 - 9x2
2y + 3x
बीजीय भिन्नों का सरलीकरण
एक बीजीय अंश को सरल बनाना एक संख्यात्मक अंश को सरल बनाने के समान आधार का अनुसरण करता है। अंश और हर को समान संख्या से विभाजित करना आवश्यक है। भिन्न सरलीकरण का एक उदाहरण नोट करें:
30 = 15 = 5 = 1
60 30 10 2
उपरोक्त भिन्न को 2 से, फिर 3 से और फिर 5 से सरलीकृत किया गया। की प्रक्रिया का समर्थन करने के लिए बीजीय भिन्नों का सरलीकरण, हम उपरोक्त प्रथम भिन्न को उसके गुणनखंडित रूप में फिर से लिखेंगे:
30 = 2·3·5
60 2·2·3·5
ध्यान दें कि संख्या 2, 3, और 5 को अंश और हर में दोहराया जाता है और वे बिल्कुल वही संख्याएं थीं जिनके द्वारा भिन्न को सरल बनाया गया था। के संदर्भ में
बीजीय भिन्न, प्रक्रिया समान है, जैसा कि है अंश और हर में मौजूद बहुपदों का गुणनखंड करना आवश्यक है। उसके बाद, हमें यह आकलन करना चाहिए कि क्या उनमें से कुछ को सरल बनाना संभव है.उदाहरण
1) निम्नलिखित बीजीय भिन्न को सरल कीजिए:
4 एक्स2आप3
१६xy6
भिन्न में मौजूद प्रत्येक अज्ञात और संख्याओं का गुणनखंड करें:
4 एक्स2आप3
१६xy6
2· २ · x · x · y · y · y
२ · २ · २ · २ · एक्स · वाई · वाई · वाई · वाई · वाई · वाई
अब जितना संभव हो उतने विभाजन करें, जैसा आपने पहले संख्यात्मक अंश के लिए किया था: अंश और हर दोनों में आने वाली संख्याएँ लुप्त हो जाती हैं, अर्थात् वे हैं "कट गया"। यह लिखना भी संभव है कि इनमें से प्रत्येक सरलीकरण का परिणाम 1 है। घड़ी:
2· २ · x · x · y · y · y
२ · २ · २ · २ · एक्स · वाई · वाई · वाई · वाई · वाई · वाई
एक्स
२ · २ · वाई · वाई · वाई
एक्स
४ वर्ष3
2) निम्नलिखित बीजीय भिन्न को सरल कीजिए:
४ वर्ष2 - 9x2
2y + 3x
ध्यान दें कि इसका अंश बीजीय भिन्न उल्लेखनीय उत्पादों के मामलों में से एक में आता है, अर्थात् दो वर्ग अंतर. इसे कारक बनाने के लिए, बस इसे इसके गुणनखंड रूप में फिर से लिखें। उसके बाद, पिछले उदाहरण की तरह हर और अंश दोनों में दिखाई देने वाले शब्दों को "कट" करना संभव है। घड़ी:
४ वर्ष2 - 9x2
2y + 3x
= (2y + 3x) (2y - 3x)
2y + 3x
= 1·(2y - 3x)
= 2y + 3x
3) निम्नलिखित बीजीय भिन्न को सरल कीजिए:
2(y2 - 16x2)
अय + 4ax
जैसा कि पहले किया गया था, अंश और हर में मौजूद बहुपदों का गुणनखंड करें। उसके बाद, उन डिवीजनों को पूरा करें जो संभव हैं।
2(y2 - 16x2)
अय + 4ax
= ··(y + 4x)(y - 4x)
ए · (वाई + 4x)
ध्यान दें कि अंश का उपयोग करके गुणनखंड किया गया है दो वर्ग अंतर और भाजक को उभयनिष्ठ गुणनखंड के माध्यम से गुणित किया गया था। इसके अलावा, शब्द a2 उत्पाद a·a के रूप में लिखा जा सकता है। अंत में, जितना संभव हो उतने विभाजन करें। अर्थात्, a बटा a और (y + 4x) by (y + 4x):
··(y + 4x)(y - 4x)
ए · (वाई + 4x)
= 1·1·(y – 4x)
= वाई - 4x
बीजीय भिन्नों को सरल बनाने के लिए गुणनखंडन के मामले सर्वोपरि हैं। नीचे सबसे महत्वपूर्ण मामलों और कुछ पृष्ठों को सूचीबद्ध किया गया है जहां उन्हें अधिक विस्तार से पाया जा सकता है।
बीजीय व्यंजकों का गुणनखंडन
एक बहुपद को उसके गुणनखंड रूप में लिखा जा सकता है यदि इसे नीचे दिए गए चार रूपों में से एक में व्यक्त किया जा सकता है। प्रस्तुत किए गए परिणाम उनके तथ्यात्मक रूप हैं या उदाहरण हैं कि उन्हें कैसे कारक बनाया जाए:
1 - सामान्य कारक
यदि बहुपद के सभी पदों में एक अज्ञात या कुछ सामान्य संख्या है, तो उन्हें प्रमाण में रखना संभव है। उदाहरण के लिए, 4x बहुपद में2 + 2x हम 2x को प्रमाण में रख सकते हैं। परिणाम होगा:
4 एक्स2 + 2x = 2x (2x + 1)
ध्यान दें कि दूसरे सदस्य (समानता के दाईं ओर) पर संकेतित गुणन करते समय, परिणाम होगा की वितरण संपत्ति के कारण ठीक पहले सदस्य (समानता के बाईं ओर) गुणन।
२ - समूह बनाना
पिछले मामले को ध्यान में रखते हुए, एक बहुपद जिसमें चार पद होते हैं, को समूहबद्ध करके, जोड़कर देखा जा सकता है सामान्य शब्द दो बटा दो, और बाद में यदि परिणाम इसे छोड़ देते हैं तो फिर से गुणनखंडित किया जाए संभावना। उदाहरण के लिए, बहुपद द्वारा 2x + bx + 2y + का गुणनखंड निम्न प्रकार से किया जा सकता है:
2x + bx + 2y + by
एक्स (2 + बी) + वाई (2 + बी)
ध्यान दें कि (2 + b) दोनों नए पदों में दोहराता है। तो, हम इसे सबूत में रख सकते हैं:
एक्स (2 + बी) + वाई (2 + बी)
(2 + बी) (एक्स + वाई)
३ – पूर्ण वर्ग त्रिपद
जब भी कोई बहुपद एक पूर्ण वर्ग त्रिपद होता है, तो इसे बाईं ओर और लाल रंग में व्यवस्थित निम्नलिखित तीन भावों में से एक के बराबर लिखा जाएगा।
एक्स2 + 2x + ए2 = (एक्स + ए) (एक्स + ए)
एक्स2 - 2x + ए2 = (एक्स - ए) (एक्स - ए)
एक्स2 - ए2 = (एक्स + ए) (एक्स - ए)
दायीं ओर बहुपद की गुणनखंडित आकृति है, जिसका उपयोग के लिए किया जा सकता है बीजीय भिन्न सरलीकरण.
4 – दो घनों का योग या अंतर
जब भी बहुपद अगले आकार में होगा या उस पर लिखा जा सकता है, तो यह दो घनों का योग होगा।
एक्स3 + 3x2+ 3x. पर2 + द3 = (एक्स + ए)3
एक्स3 - 3x2+ 3x. पर2 - ए3 = (एक्स - ए)3
फिर से, बाईं ओर, लाल रंग में, बहुपद है जिसे दायीं ओर के भावों की तरह फैक्टर और फिर से लिखा जा सकता है।
लुइज़ पाउलो मोरेरा. द्वारा
गणित में स्नातक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simplificacao-fracao-algebrica.htm