बीजगणितीय अंश सरलीकरण में तीन सामान्य गलतियाँ

पर बीजीय भिन्न भिन्नात्मक बीजीय व्यंजक हैं जिनके हर में कम से कम एक अज्ञात है। अक्सर, ऐसे कारक होते हैं जो इन भिन्नों के अंश और हर दोनों में प्रकट होते हैं, जिससे उन्हें सरल बनाने की संभावना समाप्त हो जाती है। बहुत से लोग इस बात को नज़रअंदाज़ करते हैं कि प्राथमिक विद्यालय की शुरुआत से ही कुछ नियमों का अध्ययन किया गया है, जो इस सरलीकरण प्रक्रिया का मार्गदर्शन करते हैं। इसलिए, कोई भी सरलीकरण जो इन नियमों को तोड़ता है उसके गलत होने की बहुत संभावना है। इसलिए, हम बीजीय भिन्नों को सरल बनाने में तीन सबसे लगातार त्रुटियों और इन प्रक्रियाओं को करने का सही तरीका नीचे सूचीबद्ध करते हैं।

आगे बढ़ने से पहले, हम लेख पढ़ने की सलाह देते हैं बीजीय भिन्न का सरलीकरण उन लोगों के लिए जिन्हें अभी भी इस मामले में संदेह है।

1 - कट तत्वों अंश और हर में बराबर

यह सबसे आम गलती है। सीखने की शुरुआत में, छात्र एक के अंश और हर में सभी समान तत्वों को "कट" करना चाहते हैं बीजीय भिन्न. हालांकि, वे समान तत्व नहीं हैं जिन्हें "कट" किया जाना चाहिए, लेकिन, हां, कारकों बराबर।

नियम इस प्रकार है: अगर वहाँ है समान कारक अंश और हर में, इन कारकों को काटा जा सकता है। याद करो

विभाजन उनके बीच 1 देगा, जो एक विभाजन को प्रभावित नहीं करता है या गुणा. चूंकि ये कारक बस गायब हो जाते हैं, इस प्रक्रिया को "काटने" के रूप में जाना जाता है। यह भी याद रखें कि गुणन में संख्याएँ गुणनखंड कहलाती हैं।

तत्वों को जोड़ा या घटाया जा रहा है आप नहीं कर सकते कट जाना, क्योंकि इसके विभाजन का परिणाम 1 नहीं है। इस प्रकार, नीचे दिए गए उदाहरण को लेते हुए, जिसमें एक योग शामिल है, हम इसे करने का सही और गलत तरीका देखेंगे सरलीकरण.

उदाहरण: निम्नलिखित बीजीय भिन्न को सरल कीजिए।

4x + 4y
एक्स + वाई

ग़लत:

4एक्स + 4आप = 4 + 4 = 8
एक्स + आप

ध्यान दें कि अज्ञात संख्याएं जो काट दी गई हैं (लाल रंग में हाइलाइट की गई हैं) गुणन के कारक नहीं हैं, बल्कि एक जोड़ के हिस्से हैं। इसलिए ऊपर किया गया कट गलत है।

सही:

4x + 4y
एक्स + वाई

की प्रक्रिया बनाना बहुपद गुणनखंड सामान्य कारक से, हमारे पास होगा:

4(एक्स + वाई) = 4
एक्स + वाई

बीजीय भिन्न के अंश में, हम एक गुणन पाते हैं जहाँ गुणनखंड 4 और x + y होते हैं। हर में, हम केवल x + y पाते हैं। ध्यान दें कि x + y एक कारक है क्योंकि इसे किसी अन्य संख्या या अज्ञात द्वारा जोड़ा या घटाया नहीं जा रहा है। बेहतर दृश्य के लिए, बस कोष्ठक लगाएं:

4(एक्स + वाई) = 4
(एक्स + वाई)

यदि, x + y के स्थान पर, हर में केवल संख्या ४ होती, तो केवल संख्या ४ को काटकर सरल बनाना भी संभव होता।

अब एक ऐसे मामले को देखें जहां नहीं हो सकता था सरलीकरण:

 4(एक्स + वाई)
एक्स + वाई + क

*k कोई भी संख्या, अज्ञात या एकपदी है।

2 - साक्ष्य में सामान्य कारक प्रक्रिया का उपयोग करके पूर्ण वर्ग ट्रिनोमियल का गुणन करना

लगभग जब भी बहुपद में बीजीय अंश, इसे फैक्टर किया जाना चाहिए। उसके बाद, अंश और हर में मौजूद कारकों की तुलना उन कारकों की खोज में की जानी चाहिए जो हो सकते हैं सरलीकृत ("कट" के लिए दूसरा शब्द)।

क्या होता है कि छात्रों का सामना करना पड़ता है पूर्ण वर्ग त्रिपद और भूल जाओ कि यह a. का परिणाम है उल्लेखनीय उत्पाद, बस प्रदर्शन करने के लिए इस उत्पाद पर लौट रहे हैं गुणन. इसलिए सामान्य कारकों को साक्ष्य में रखने का प्रयास किया जाता है।

इस तरह का प्रयास करने वाले लोग अक्सर उपरोक्त गलती करते हैं।

निम्नलिखित उदाहरण पर ध्यान दें, जो कि समाधान का सही रूप और सबसे लगातार गलत रूप दिखाता है।

उदाहरण: निम्नलिखित बीजीय भिन्न को सरल कीजिए।

4 एक्स² + 8xy + 4y²
एक्स + वाई

ग़लत:

4 एक्स² + 8xy + 4y²
एक्स + वाई

4(x² + 2xy + y²)
एक्स + वाई

या

4(x + 2y) + 4y²
एक्स + वाई

ध्यान दें कि इसे सरल बनाना भी संभव नहीं है, ठीक है क्योंकि फैक्टरिंग प्रक्रिया को ठीक से नहीं किया गया था।

सही:

4 एक्स² + 8xy + 4y²
एक्स + वाई

(2x + 2y)²
एक्स + वाई

(2x + 2y)(2x + 2y)
एक्स + वाई

इस चरण में, ध्यान दें कि संख्या 2 दो अंश कारकों के सभी तत्वों के लिए सामान्य है। इस स्थिति में, दो कारकों के लिए सामान्य कारक द्वारा कारक बनाना आवश्यक है। परिणामस्वरूप हमारे पास होगा:

2·(x + y)·2·(x + वाई)
एक्स + वाई

2·2·(x + y)(x + वाई)
एक्स + वाई

4·(x + y)(x + वाई)
एक्स + वाई

अब, हाँ, हम उस गुणनखंड को काट सकते हैं जो अंश और हर दोनों में खुद को दोहराता है।

4 · (एक्स + वाई)(एक्स + वाई)= 4·(x + y)
एक्स + वाई

3 - उल्लेखनीय उत्पादों को भ्रमित करें

नीचे उन उल्लेखनीय उत्पादों की सूची पर ध्यान दें जिनमें वर्ग शामिल हैं या अंतर के लिए योग का उत्पाद.

(एक्स+वाई)² = एक्स² + 2xy + y²

(एक्स - वाई)² = एक्स² -2xy + y²

(x+ y)(x - y) = x² - आप²

हर बार एक बहुपद एक पूर्ण वर्ग त्रिपद या दो वर्ग अंतर का रूप लेता है - में पाया जाता है ऊपर की समानता के दाईं ओर -, उन्हें उस उल्लेखनीय उत्पाद से बदलना संभव है जिसने उन्हें उत्पन्न किया (बाईं ओर .) संगत)।

पर बीजीय भिन्नों का सरलीकरण, यह भूल जाना कि उल्लेखनीय उत्पाद पूर्ण वर्ग ट्रिनोमियल से मेल खाता है, एक बहुत ही आवर्तक त्रुटि है - खासकर जब बात आती है दो वर्ग अंतर. जब ऐसा प्रतीत होता है, तो यह कल्पना करना सामान्य है कि यह पहले से ही तथ्यात्मक है या उस घातांक 2 को "साक्ष्य में" रखा जा सकता है (और, निश्चित रूप से, ऐसा करना संभव नहीं है)।

निम्नलिखित उदाहरण पर ध्यान दें जिसमें दो वर्ग अंतर शामिल हैं:

उदाहरण: निम्नलिखित बीजीय भिन्न को सरल कीजिए।

4 एक्स² - ४ साल²
एक्स + वाई

सही बात:

याद रखें कि अंश दो-वर्ग का अंतर है और इसे इसके साथ बदला जा सकता है:

(2x - 2y)(2x + 2y)
एक्स + वाई

2 को साक्ष्य में, एक बार फिर, दो कारकों में रखकर सरलीकरण किया जाएगा।

2·(x - y)·२·(एक्स + वाई)
एक्स + वाई

2·2·(x - y)·(एक्स + वाई)
एक्स + वाई

4 · (एक्स - वाई)·(एक्स + वाई) = 4·(x - y)
एक्स + वाई

ध्यान दें कि, दो वर्गों के अंतर में, एक कारक में एक जोड़ होता है और दूसरे में एक घटाव होता है।

गलत:

अन्य दो उल्लेखनीय उत्पाद मामलों में से एक का उपयोग करें:

4 एक्स² - ४ साल²
एक्स + वाई

(2x + 2y)(2x + 2y)
एक्स + वाई

या "प्रतिपादक 2 को साक्ष्य में रखें":

4 एक्स² - ४ साल²
एक्स + वाई

4 (एक्स - वाई)²
एक्स + वाई

इन अंतिम दो त्रुटियों से बचने के लिए, हम पाठ को पढ़ने का सुझाव देते हैं योग वर्ग, साक्ष्य में सामान्य कारक तथा क्षमता.

अच्छी पढ़ाई!

लुइज़ पाउलो मोरेरा. द्वारा
गणित में स्नातक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tres-erros-comuns-na-simplificacao-fracao-algebrica.htm