मॉड्यूलर समीकरण: यह क्या है, कैसे हल करें, उदाहरण

मॉड्यूलर समीकरण है a समीकरण कि, पहले या दूसरे सदस्य में, मॉड्यूल में शर्तें हैं. मापांक, जिसे निरपेक्ष मान के रूप में भी जाना जाता है, एक संख्या से शून्य तक की दूरी से जुड़ा होता है। चूँकि हम दूरी की बात कर रहे हैं, किसी संख्या का मापांक सदैव धनात्मक होता है। मॉड्यूलर समीकरण समस्याओं को हल करने के लिए मॉड्यूलस परिभाषा को लागू करने की आवश्यकता होती है, हम आमतौर पर समीकरण को विभाजित करते हैं दो संभावित मामले:

• जब मॉड्यूल के अंदर जो है वह सकारात्मक है और

• जब मॉड्यूल के अंदर जो है वह नकारात्मक है।

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एक वास्तविक संख्या मॉड्यूल

एक्स मॉड्यूल

मॉड्यूलर समीकरण समस्याओं को हल करने में सक्षम होने के लिए, मॉड्यूलो परिभाषा को याद रखना आवश्यक है। मॉड्यूल हमेशा एक जैसा होता है दूरी एक संख्या शून्य है, और एक संख्या के मापांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए नहीं न, हम स्ट्रेट बार का उपयोग इस प्रकार करते हैं: |नहीं न|. गणना करने के लिए |नहीं न|, हम दो मामलों में विभाजित:

इसलिए, हम कह सकते हैं कि |नहीं न| खुद के समान है नहीं न जब यह एक धनात्मक संख्या या शून्य के बराबर हो, और दूसरी स्थिति में, |

नहीं न| opposite के विपरीत के बराबर है नहीं न अगर यह नकारात्मक है। याद रखें कि ऋणात्मक संख्या का विपरीत हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए |नहीं न| हमेशा एक सकारात्मक संख्या के बराबर परिणाम होता है।

उदाहरण:

क) |2| = 2
बी) |-1| = -(-1) = 1

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मॉड्यूलर समीकरण को कैसे हल करें?

एक मॉड्यूलर समीकरण का समाधान खोजने के लिए, संभावनाओं में से प्रत्येक का विश्लेषण करना आवश्यक है, अर्थात विभाजित करने के लिए, हमेशा दो मामलों में, प्रत्येक मॉड्यूल में से प्रत्येक। मापांक परिभाषा जानने के अलावा, मॉड्यूलर समीकरणों को हल करने के लिए, यह जानना आवश्यक है कि कैसे हल किया जाए बहुपद समीकरण.

उदाहरण 1:

|x - 3| = 5

इस समीकरण का हल खोजने के लिए, यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि दो संभावित परिणाम हैं जो |नहीं न| = ५, वह वह है, नहीं न = -5, क्योंकि |-5| = 5, और भी नहीं न = 5, क्योंकि |5| = 5. तो, इसी विचार का उपयोग करते हुए, हमें यह करना होगा:

मैं → एक्स - 3 = 5 या
II → x – 3 = -5

समीकरणों में से एक को अलग से हल करना:

संकल्प I:

एक्स - 3 = 5
एक्स = 5 + 3
एक्स = 8

संकल्प II:

एक्स - 3 = -5
एक्स = -5 + 3
एक्स = -2

तो दो समाधान हैं: एस = {-2, 8}।

ध्यान दें कि यदि x = 8 है, तो समीकरण सत्य है क्योंकि:

|x - 3| = 5
|8 – 3| = 5
|5| = 5

यह भी ध्यान दें कि यदि x = -2, तो समीकरण भी सत्य है:

|-2 – 3| = 5
|-5| = 5

उदाहरण 2:

|2x + 3| = 5

उदाहरण 1 में, समाधान खोजने के लिए, मॉड्यूल परिभाषा के अनुसार इसे दो मामलों में विभाजित करना आवश्यक है।

मैं → 2x + 3 = 5
II → 2x + 3 = -5

संकल्प I:

2x + 3 = 5
2x = 5 - 3
2x = 2
एक्स = 2/2
एक्स = 1

संकल्प II:

2x + 3 = -5
2x = -5 - 3
2x = -8
एक्स = -8/2
एक्स = -4

फिर सेट समाधान का है: एस = {1, -4}।

उदाहरण 3:

|x + 3| = |2x - 1|

जब हमारे पास दो मॉड्यूल की समानता होती है, तो हमें इसे दो मामलों में विभाजित करने की आवश्यकता होती है:

पहला मामला, एक ही चिन्ह का पहला और दूसरा सदस्य।

दूसरा मामला, विपरीत संकेतों का पहला और दूसरा सदस्य।

संकल्प I:

हम दोनों पक्षों को शून्य से बड़ा कर देंगे, यानी हम बस मापांक हटा देंगे। हम दोनों नकारात्मक के साथ भी कर सकते हैं, लेकिन परिणाम वही होगा।

एक्स + 3 ≥ 0 → |x + 3| = एक्स + 3
2x - 1 0 → |2x - 1| = 2x - 1

एक्स + 3 = 2x - 1
एक्स - 2x = -1 - 3
एक्स = -4 (-1)
एक्स = 4

संकल्प II:

विपरीत संकेतों के पक्ष। हम एक पक्ष को सकारात्मक और दूसरे पक्ष को नकारात्मक होने के लिए चुनेंगे।

चुनना:

|x + 3| 0 → |x + 3| = एक्स + 3
|2x - 1| <0 → |2x -1| = - (2x - 1)

तो, हमें करना होगा:

एक्स + 3 = - (2x - 1)
एक्स + 3 = - 2x + 1
एक्स + 2x = - 3 + 1
3x = -2
एक्स = -2/3

तो, समाधान का सेट है: एस = {4, -2/3}।

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हल किए गए व्यायाम

प्रश्न 1 - (यूएफजेएफ) मॉड्यूलर समीकरण के नकारात्मक समाधानों की संख्या |5x - 6| = x² है:

ए) 0
बी) 1
सी) 2
डी) 3
ई 4

संकल्प

वैकल्पिक ई

हम मॉड्यूलर समीकरण को हल करना चाहते हैं:

|5x - 6| = x²

तो, आइए इसे दो मामलों में विभाजित करें:

संकल्प I:

5x - 6 > 0 → |5x - 6| = 5x - 6

तो, हमें करना होगा:

5x - 6 = x²
-x² + 5x - 6 = 0

याद रखें कि डेल्टा मान हमें बताता है कि द्विघात समीकरण के कितने समाधान हैं:

ए = -1
बी = 5
सी = -6

= बी² - 4ac
Δ = 5² – 4 · (-1) · (-6)
Δ = 25 – 24
Δ = 1

चूँकि 1 धनात्मक है, तो इस स्थिति में दो वास्तविक समाधान हैं।

संकल्प II:

|5x - 6| <0 → |5x - 6| = - (5x - 6)
- (5x - 6) = x²
- 5x + 6 = x²
- x² - 5x + 6 = 0

= बी² - 4ac
Δ = (-5)² – 4 · (-1) · (+6)
Δ = 25 + 24
Δ = 49

चूँकि इस मामले में भी धनात्मक है, तो दो वास्तविक हल हैं, इसलिए वास्तविक हलों का योग 4 है।

प्रश्न 2 - (PUC SP) समीकरण का हल सेट S |2x - 1| = एक्स -1 है:

ए) एस = {0, 2/3}
बी) एस = {0, 1/3}
सी) एस =
डी) एस = {0, -1}
ई) एस = {0, 4/3}

संकल्प

वैकल्पिक ए

संकल्प I:

|2x - 1| = 2x - 1

तो, हमें करना होगा:

2x - 1 = x - 1
2x - x = - 1 + 1
एक्स = 0

संकल्प II:

|2x - 1| = - (2x - 1)
- (2x - 1) = x - 1
-2x + 1 = x - 1
-2x - x = -1 - 1
-3x = -2 (-1)
3x = 2
एक्स = 2/3 

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-modular.htm