हाइपरबोले क्या है?
परिभाषा: मान लीजिए F1 और F2 विमान पर दो बिंदु हैं और 2c उनके बीच की दूरी है, हाइपरबोला सेट है समतल के उन बिंदुओं का, जिनका अंतर (मॉड्यूल में) F1 और F2 से दूरी का स्थिरांक 2a (0 < 2a < 2c) है।
हाइपरबोले के तत्व:
F1 और F2 → अतिपरवलय के केंद्र हैं
→ अतिशयोक्ति का केंद्र है
2c → फोकस दूरी
दूसरा → वास्तविक या अनुप्रस्थ अक्ष माप
2बी → काल्पनिक अक्ष माप
सी/ए → विलक्षणता
a, b और c → c. के बीच संबंध है2 = द2 + बी2
अतिपरवलय कम समीकरण
पहला मामला: हाइपरबोला एक्स अक्ष पर केंद्रित है।
यह स्पष्ट है कि इस मामले में foci के निर्देशांक F1 (-c, 0) और F2 (c, 0) होंगे।
इस प्रकार, कार्तीय तल के मूल में केंद्र के साथ दीर्घवृत्त का घटा हुआ समीकरण और x अक्ष पर केंद्रित होगा:
दूसरा मामला: y अक्ष पर फॉसी के साथ हाइपरबोला।
इस मामले में, foci के निर्देशांक F1 (0, -c) और F2 (0, c) होंगे।
इस प्रकार, कार्तीय तल के मूल में केंद्र के साथ दीर्घवृत्त का घटा हुआ समीकरण और y अक्ष पर केंद्रित होगा:
उदाहरण 1। वास्तविक अक्ष 6, foci F1(-5, 0) और F2(5, 0) के साथ अतिपरवलय का घटा हुआ समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल: हमें करना है
2ए = 6 → ए = 3
F1(-5, 0) और F2(5, 0) → c = 5
उल्लेखनीय संबंध से, हम प्राप्त करते हैं:
सी2 = द2 + बी2 → 52 = 32 + बी2 → बी2 =25 - 9 → बी2 = 16 → बी = 4
इस प्रकार, घटा हुआ समीकरण द्वारा दिया जाएगा:
उदाहरण २। कम किए गए हाइपरबोला समीकरण का पता लगाएं, जिसमें F2 निर्देशांक (0, 10) और 12 मापने वाले काल्पनिक अक्ष के साथ दो फॉसी हैं।
हल: हमें करना है
F2(0, 10) → c = 10
2बी = 12 → बी = 6
उल्लेखनीय संबंध का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
102 = द2 + 62 → १०० = ए2 + 36 → ए2 = १०० - ३६ → a2 = ६४ → ए = ८.
इस प्रकार, घटा हुआ अतिपरवलय समीकरण द्वारा दिया जाएगा:
उदाहरण 3. समीकरण के साथ अतिपरवलय की फोकल लंबाई निर्धारित करें
हल: चूँकि अतिपरवलय समीकरण प्रकार का होता है
हमें करना ही होगा2 = 16 और बी2 =9
उल्लेखनीय संबंध से हम प्राप्त करते हैं
सी2 = 16 + 9 → सी2 = 25 → सी = 5
फोकस दूरी 2c द्वारा दी गई है। इस प्रकार,
2सी = 2*5 =10
अतः फोकस दूरी 10 है।
मार्सेलो रिगोनाट्टो द्वारा
सांख्यिकी और गणितीय मॉडलिंग में विशेषज्ञ
ब्राजील स्कूल टीम
विश्लेषणात्मक ज्यामिति - गणित - ब्राजील स्कूल
