परवलय द्वितीय डिग्री फलन का ग्राफ है (f (x) = ax2 + bx + c), जिसे द्विघात फलन भी कहा जाता है। यह कार्तीय तल पर खींचा गया है, जिसमें x (भुज = x-अक्ष) और y (कोटि = y-अक्ष) निर्देशांक हैं।
ट्रेस करने के लिए द्विघात फलन का ग्राफ, आपको यह पता लगाना होगा कि x-अक्ष के संबंध में फलन के कितने वास्तविक मूल या शून्य हैं। समझ जड़ों के सेट से संबंधित दूसरी डिग्री के समीकरण के समाधान के रूप में वास्तविक संख्याये. जड़ों की संख्या जानने के लिए, विवेचक की गणना करना आवश्यक है, जिसे डेल्टा कहा जाता है और निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:
विभेदक/डेल्टा सूत्र द्वितीय डिग्री फलन के गुणांकों के संबंध में बनाया गया है। इसलिए, , ख तथा सी फलन के गुणांक हैं f (x) = ax2 + बीएक्स + सी।
तीन रिश्ते हैं दूसरी डिग्री के कार्य के डेल्टा के साथ परवलय का। ये संबंध निम्नलिखित स्थापित करते हैं: शर्तेँ:
पहली शर्त:जब > 0, फलन के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं। परवलय x-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटेगा।
दूसरी शर्त: जब = 0, फलन का एक वास्तविक मूल होता है। परवलय में केवल एक बिंदु उभयनिष्ठ है, जो x-अक्ष की स्पर्श रेखा है।
तीसरी शर्त: जब <0, फलन का कोई वास्तविक मूल नहीं होता है; इसलिए, परवलय x-अक्ष को नहीं काटता है।
दृष्टान्त की अवतलता
क्या दृष्टांत की अंतराल को निर्धारित करता है गुणांक है द्वितीय डिग्री फलन का - f (x) = एक्स2 + बीएक्स + सी। जब गुणांक धनात्मक होता है, तो परवलय में ऊपर की ओर उत्तलता होती है, अर्थात, > 0. अगर नकारात्मक ( <0), अवतल नीचे की ओर है। बेहतर ढंग से समझने के लिए शर्तेँ ऊपर स्थापित, निम्नलिखित दृष्टान्तों की रूपरेखा पर ध्यान दें:
Δ > 0 के लिए:
= 0 के लिए:
<0 के लिए।
आइए सीखी गई अवधारणाओं का अभ्यास करें, नीचे दिए गए उदाहरण देखें:
उदाहरण: प्रत्येक सेकंड-डिग्री फ़ंक्शन के विवेचक का पता लगाएं और जड़ों की संख्या, परवलय की अवतलता निर्धारित करें, और x-अक्ष के संबंध में फ़ंक्शन को प्लॉट करें।
द) एफ (एक्स) = 2x2 – 18
बी) एफ (एक्स) = एक्स2 - 4x + 10
सी) च (एक्स) = - 2x2 + 20x - 50
संकल्प
द) एफ (एक्स) = एक्स2 – 16
प्रारंभ में, हमें दूसरी डिग्री फ़ंक्शन के गुणांक की जांच करनी चाहिए:
ए = 2, बी = 0, सी = - 18
विभेदक/डेल्टा सूत्र में गुणांक मान बदलें:
चूंकि डेल्टा 144 के बराबर है, यह शून्य से बड़ा है। इस प्रकार, पहली शर्त लागू होती है, अर्थात्, परवलय दो अलग-अलग बिंदुओं पर x-अक्ष को इंटरसेप्ट करेगा, अर्थात, फ़ंक्शन के दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं। चूंकि गुणांक शून्य से अधिक है, इसलिए अंतराल ऊपर है। ग्राफिक रूपरेखा नीचे है:
बी) एफ (एक्स) = एक्स2 - 4x + 10
प्रारंभ में, हमें दूसरी डिग्री फ़ंक्शन के गुणांक की जांच करनी चाहिए:
ए = 1, बी = - 4, सी = 10
विभेदक/डेल्टा सूत्र में गुणांक मान बदलें:
विभेदक मान है - 24 (शून्य से कम)। इसके साथ, हम तीसरी शर्त लागू करते हैं, अर्थात्, परवलय x-अक्ष को प्रतिच्छेद नहीं करता है, इसलिए फलन का कोई वास्तविक मूल नहीं है। चूँकि a > 0, परवलय की अवतलता ऊपर है। ग्राफिक रूपरेखा को देखें:
सी) च (एक्स) = - 2x2 + 20x - 50
प्रारंभ में, हमें दूसरी डिग्री फ़ंक्शन के गुणांकों की जांच करनी चाहिए।
ए = - 2, बी = 20, सी = - 50
विभेदक/डेल्टा सूत्र में गुणांक मान बदलें:
डेल्टा का मान 0 है, इसलिए दूसरी शर्त लागू होती है, अर्थात, फ़ंक्शन का एक वास्तविक मूल होता है, और परवलय x-अक्ष की स्पर्शरेखा होती है। चूंकि a <0, परवलय की अवतलता नीचे है। ग्राफिक रूपरेखा देखें:
नैसा ओलिवेरा द्वारा
गणित में स्नातक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/relacao-parabola-com-delta-funcao-segundo-grau.htm
