ज्यामिति के साथ अपने पहले संपर्कों से, हमने सीखा कि त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना उसके सामान्य सूत्र (आधार x ऊँचाई, और परिणाम दो से विभाजित) का उपयोग करके कैसे की जाती है। हालाँकि, जैसे-जैसे हम गणितीय अवधारणाओं के अध्ययन में आगे बढ़ते हैं, हम विभिन्न अभिव्यक्तियों और संबंधों को सीखते हैं जिन्हें गणित की इस विशाल दुनिया में स्थापित किया जा सकता है। आज हम देखेंगे कि किसी त्रिभुज की ऊँचाई का मान जाने बिना उसके क्षेत्रफल की गणना करना संभव है, इसके लिए केवल दो भुजाओं के माप और इन भुजाओं के कोण की आवश्यकता होती है।
इसके लिए आइए कोई त्रिभुज (?ABC) खींचते हैं, जिसकी भुजाएँ बराबर हों (ख तथा सी) और उनके बीच का कोण के बराबर है।
हम जानते हैं कि इस त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना व्यंजक द्वारा की जानी चाहिए:
हम देख सकते हैं कि ACH शीर्षों से बना त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है, जिससे हम समकोण त्रिभुज की त्रिकोणमितीय संकल्पनाओं का उपयोग कर सकते हैं।
चूँकि हमारे पास कर्ण और कोण की ज्या के संबंध में ऊँचाई के लिए यह व्यंजक है, इसलिए हम इसे क्षेत्रफल के लिए अपने पहले सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
इसके साथ, हमारे पास होगा,
जैसा कि आप देख सकते हैं, तब क्षेत्र को उन भुजाओं के माप के रूप में दिया जाता है जिन्हें हम जानते हैं और इन भुजाओं के बीच के कोण की ज्या होती है। याद रखें कि गुणांक (ख तथा सी) उस माप का प्रतिनिधित्व करें जिसे आप जानते हैं।
इस व्यंजक को क्षेत्रफल प्रमेय कहा जाता है: "त्रिभुज का क्षेत्रफल इन भुजाओं से बने कोण की ज्या द्वारा दो भुजाओं के माप के अर्ध-उत्पाद के बराबर होता है"।
इसके साथ, आप पहले से ही जानते हैं: यदि क्षेत्र की गणना करने के लिए ऊंचाई मान खोजना मुश्किल है, और आपके पास है इस सूत्र का उपयोग करने के लिए पर्याप्त जानकारी हमने आज सीखी है, समय बर्बाद न करें क्योंकि यह सुविधा प्रदान करेगा गणना।
गेब्रियल एलेसेंड्रो डी ओलिवेरा. द्वारा
गणित में स्नातक
ब्राजील स्कूल टीम
समतल ज्यामिति - गणित - ब्राजील स्कूल
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calculando-area-triangulo-utilizando-angulos.htm