सममित मैट्रिक्स है मुख्यालय जिसमें प्रत्येक तत्व \(a_{ij}\) तत्व के बराबर है \(a_{ji}\) i और j के सभी मानों के लिए। नतीजतन, प्रत्येक सममित मैट्रिक्स उसके स्थानान्तरण के बराबर है। यह भी उल्लेखनीय है कि प्रत्येक सममित मैट्रिक्स वर्गाकार है और मुख्य विकर्ण समरूपता की धुरी के रूप में कार्य करता है।
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सममित मैट्रिक्स के बारे में सार
एक सममित मैट्रिक्स में, \(a_{ij}=a_{ji}\) सभी के लिए मैं और जे.
प्रत्येक सममित मैट्रिक्स वर्गाकार है।
प्रत्येक सममित मैट्रिक्स उसके स्थानान्तरण के बराबर है।
एक सममित मैट्रिक्स के तत्व मुख्य विकर्ण के बारे में सममित होते हैं।
जबकि सममित मैट्रिक्स में \(a_{ij}=a_{ji}\) सभी i और j के लिए; एक एंटीसिमेट्रिक मैट्रिक्स में, \(a_{ij}=-a_{ji}\) सभी के लिए मैं और जे.
सममित मैट्रिक्स क्या है?
एक सममित मैट्रिक्स है एक वर्ग मैट्रिक्स जहां \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) प्रत्येक i और प्रत्येक j के लिए. इस का मतलब है कि \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\), और इसी तरह, i और j के सभी संभावित मानों के लिए। याद रखें कि i के संभावित मान मैट्रिक्स की पंक्तियों के अनुरूप हैं और j के संभावित मान मैट्रिक्स के कॉलम के अनुरूप हैं।
सममित मैट्रिक्स के उदाहरण
\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
गैर-सममित मैट्रिक्स के उदाहरण (विचार करें)। \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrix} 5 और 8 \\ 9 और 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
महत्वपूर्ण: यह कहने का मतलब है कि मैट्रिक्स सममित नहीं है, इसका मतलब यह दिखाना है \(a_{ij}≠a_{ji}\) कम से कम कुछ i और j के लिए (जिसे हम पिछले उदाहरणों की तुलना करके देख सकते हैं)। यह एंटीसिमेट्रिक मैट्रिक्स अवधारणा से अलग है, जिसे हम बाद में देखेंगे।
सममित मैट्रिक्स के गुण क्या हैं?
प्रत्येक सममित मैट्रिक्स वर्गाकार है
ध्यान दें कि सममित मैट्रिक्स की परिभाषा वर्ग मैट्रिक्स पर आधारित है। इस प्रकार, प्रत्येक सममित मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के समान होती है।
प्रत्येक सममित मैट्रिक्स उसके स्थानान्तरण के बराबर है
यदि A एक मैट्रिक्स है, तो यह पक्षांतरित (\(ए^टी\)) को उस मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया गया है जिसकी पंक्तियाँ A के स्तंभ हैं और जिनके स्तंभ A की पंक्तियाँ हैं। इसलिए, यदि A एक सममित मैट्रिक्स है, तो हमारे पास है \(ए=ए^टी\).
सममित मैट्रिक्स में, तत्व मुख्य विकर्ण के संबंध में "प्रतिबिंबित" होते हैं
जैसा \(a_{ij}=a_{ji}\) एक सममित मैट्रिक्स में, मुख्य विकर्ण के ऊपर के तत्व नीचे के तत्वों के "प्रतिबिंब" होते हैं विकर्ण के संबंध में विकर्ण का (या इसके विपरीत), ताकि मुख्य विकर्ण एक अक्ष के रूप में कार्य करे समरूपता.
सममित मैट्रिक्स और एंटीसिमेट्रिक मैट्रिक्स के बीच क्या अंतर हैं?
यदि A एक सममित मैट्रिक्स है, तो \(a_{ij}=a_{ji}\) सभी i और सभी j के लिए, जैसा कि हमने अध्ययन किया। एंटीसिमेट्रिक मैट्रिक्स के मामले में, स्थिति अलग है। यदि B एक एंटीसिमेट्रिक मैट्रिक्स है, तो \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) प्रत्येक i और प्रत्येक j के लिए.
ध्यान दें कि इसका परिणाम यह होता है \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), वह है, मुख्य विकर्ण तत्व शून्य हैं. इसका एक परिणाम यह होता है कि एक एंटीसिमेट्रिक मैट्रिक्स का स्थानान्तरण इसके विपरीत के बराबर होता है, अर्थात यदि B एक एंटीसिमेट्रिक मैट्रिक्स है, तो \(B^T=-B\).
एंटीसिमेट्रिक मैट्रिक्स के उदाहरण
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
यह भी देखें: पहचान मैट्रिक्स - वह मैट्रिक्स जिसमें मुख्य विकर्ण तत्व 1 के बराबर होते हैं और शेष तत्व 0 के बराबर होते हैं
सममित मैट्रिक्स पर हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1
(यूनिसेंट्रो)
यदि मैट्रिक्स \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) सममित है, इसलिए xy का मान है:
ए) 6
बी 4
सी) 2
डी) 1
ई)-6
संकल्प:
वैकल्पिक ए
यदि दिया गया मैट्रिक्स सममित है, तो सममित स्थिति में तत्व बराबर हैं (\(a_{ij}=a_{ji}\)). इसलिए, हमें यह करना होगा:
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
पहले की जगह समीकरण दूसरे में, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं \(y=3\), जल्दी:
\(x=2\) यह है \(xy=6\)
प्रश्न 2
(यूएफएसएम) यह जानते हुए कि मैट्रिक्स \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) इसके स्थानांतरण के बराबर है, का मूल्य \(2x+y\) é:
ए)-23
बी)-11
सी)-1
डी) 11
ई) 23
संकल्प:
वैकल्पिक सी
चूँकि दिया गया मैट्रिक्स उसके स्थानान्तरण के बराबर है, तो यह एक सममित मैट्रिक्स है। इस प्रकार, सममित स्थिति में तत्व बराबर हैं (\(a_{ij}=a_{ji}\)), अर्थात:
\(x^2=36\)
\(4-y=-7\)
\(-30=5x\)
पहले समीकरण से, एक्स=-6 या एक्स=6. तीसरे समीकरण से हमें सही उत्तर मिलता है: एक्स= -6. दूसरे समीकरण से, y=11.
जल्दी:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
मारिया लुइज़ा अल्वेस रिज़ो द्वारा
गणित शिक्षक
स्रोत: ब्राज़ील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm
