गोले का आयतन: गणना कैसे करें?

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हे गोले का आयतन यह वह स्थान है जो इसके द्वारा घेर लिया गया है ज्यामितीय ठोस. की किरण के माध्यम से गेंद - अर्थात, केंद्र और सतह के बीच की दूरी से - इसकी मात्रा की गणना करना संभव है।

यह भी पढ़ें: ज्यामितीय ठोसों का आयतन

इस लेख के विषय

1 - गोले के आयतन पर सारांश
2 - गोले के आयतन पर वीडियो पाठ
3 - गोला क्या है?
4 - गोले के आयतन का सूत्र
5 - गोले के आयतन की गणना कैसे करें?
6 - गोले के क्षेत्र
7 - अन्य क्षेत्र सूत्र
8 - गोले के आयतन पर हल किए गए अभ्यास

गोले के आयतन के बारे में सारांश

गोला एक है गोल शरीर व्यास वाले अक्ष के चारों ओर अर्धवृत्त घुमाकर प्राप्त किया जाता है।
गोले के सभी बिंदु गोले के केंद्र से r के बराबर या उससे कम दूरी पर होते हैं।
गोले का आयतन त्रिज्या की माप पर निर्भर करता है।
गोले के आयतन का सूत्र है \(V=\frac{4·π·r^3}3\)

गोले के आयतन पर वीडियो पाठ

गोला क्या है?

अंतरिक्ष में एक बिंदु O और माप r वाले एक खंड पर विचार करें। गोला है ठोस उन सभी बिंदुओं से बनता है जो O से r के बराबर या उससे कम दूरी पर हैं. हम O को गोले का केंद्र और r को गोले की त्रिज्या कहते हैं।

एक गोले और उसकी त्रिज्या का प्रतिनिधित्व.

गोला इसे क्रांति के ठोस रूप के रूप में भी जाना जा सकता है

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. ध्यान दें कि अर्धवृत्त को उसके व्यास वाले अक्ष के चारों ओर घुमाने से एक गोला बनता है:

एक गोला बनाने के लिए अर्धवृत्त के घूमने का प्रतिनिधित्व।

गोलाकार आयतन सूत्र

किसी गोले के आयतन V की गणना करने के लिए, हम नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग करते हैं, जहाँ r गोले की त्रिज्या है:

\(V=\frac{4·π·r^3}{3}\)

का निरीक्षण करना जरूरी है माप की इकाई आयतन के माप की इकाई निर्धारित करने के लिए त्रिज्या। उदाहरण के लिए, यदि r सेमी में दिया गया है, तो आयतन सेमी³ में दिया जाना चाहिए।

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गोले के आयतन की गणना कैसे करें?

गोले के आयतन की गणना त्रिज्या की माप पर ही निर्भर करती है। आइए एक उदाहरण देखें.

उदाहरण: सन्निकटन π = 3 का उपयोग करके, 24 सेंटीमीटर व्यास वाले बास्केटबॉल का आयतन ज्ञात करें।

चूँकि व्यास त्रिज्या का दोगुना है, r = 12 सेमी. गोले के आयतन के लिए सूत्र को लागू करने पर, हमारे पास है

\(V=\frac{4·π·12^3}3\)

\(V=\frac{4 · π·1728}3\)

\(V=6 912\ सेमी^3\)

गोलाकार क्षेत्र

केंद्र O और त्रिज्या r वाले एक गोले पर विचार करें। इस कदर, हम तीन क्षेत्रों पर विचार कर सकते हैं इस क्षेत्र का:

आंतरिक क्षेत्र उन बिंदुओं से बनता है जिनकी केंद्र से दूरी त्रिज्या से कम है। यदि P गोले के आंतरिक क्षेत्र से संबंधित है, तो

\(डी(पी, ओ)

सतह क्षेत्र उन बिंदुओं से बनता है जिनकी केंद्र से दूरी त्रिज्या के बराबर होती है। यदि P गोले के सतह क्षेत्र से संबंधित है, तो

\(D(P, O)=r\)

बाहरी क्षेत्र उन बिंदुओं से बनता है जिनकी केंद्र से दूरी त्रिज्या से अधिक है। यदि P गोले के आंतरिक क्षेत्र से संबंधित है, तो

\(D(P, O)>r\)

परिणामस्वरूप, गोले के बाहरी क्षेत्र के बिंदु गोले से संबंधित नहीं होते हैं।

अधिक जानते हैं: गोलाकार टोपी - एक गोले को एक समतल द्वारा प्रतिच्छेद करने पर प्राप्त ठोस

अन्य क्षेत्र सूत्र

ए गोला क्षेत्र - यानी, इसकी सतह की माप - का भी एक ज्ञात सूत्र है। यदि r गोले की त्रिज्या है, तो इसके क्षेत्रफल A की गणना की जाती है

\(A=4·π·r^2\)

इस मामले में, क्षेत्र के लिए माप की इकाई को इंगित करने के लिए त्रिज्या के लिए माप की इकाई को नोट करना भी महत्वपूर्ण है। उदाहरण के लिए, यदि r सेमी में है, तो A को सेमी² में होना चाहिए।

गोले के आयतन पर हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1

उस गोले की त्रिज्या क्या है जिसका आयतन 108 घन सेंटीमीटर है? (π = 3 का प्रयोग करें)।

ए) 2 सेमी

बी) 3 सेमी

ग) 4 सेमी

घ) 5 सेमी

ई) 6 सेमी

संकल्प

वैकल्पिक बी.

उस पर विचार करें आर गोले की त्रिज्या है. यह जानते हुए कि V = 108, हम गोले के आयतन के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

\(V=\frac{4·π·r^3}3\)

\(108=\frac{4·3·r^3}3\)

\(108=4·r^3\)

\(r^3=27\)

\(r = 3\ सेमी\)

प्रश्न 2

एक प्राचीन गोलाकार जलाशय का व्यास 20 मीटर है और इसका आयतन V है₁. आयतन V का दूसरा जलाशय बनाना वांछित है₂, पुराने जलाशय की तुलना में दोगुने आयतन के साथ। तो, वी₂ यह वैसा ही है

द) \(\frac{3000·π}{8} m^3\)

बी) \(\frac{3000·π}{4} m^3\)

डब्ल्यू) \(\frac{2000·π}{3} m^3\)

डी) \(\frac{4000·π}{3} m^3\)

यह है) \(\frac{8000·π}{3} m^3\)

संकल्प

ई वैकल्पिक.

चूँकि व्यास त्रिज्या का दोगुना है, पुराने जलाशय की त्रिज्या r = 10 मीटर है। इसलिए

\(V_1=\frac{4·π·r^3}3\)

\(V_1=\frac{4·π·10^3}3\)

\(V_1=\frac{4000·π}3\ m^3\)

कथन के अनुसार, \(V_2=2·V_1\), अर्थात

\(V_2=\frac{8000·π}3 m^3\)

मारिया लुइज़ा अल्वेस रिज़ो द्वारा
गणित शिक्षक

क्या आप इस पाठ का संदर्भ किसी स्कूल या शैक्षणिक कार्य में देना चाहेंगे? देखना:

रिज़ो, मारिया लुइज़ा अल्वेस। "गोलाकार आयतन"; ब्राज़ील स्कूल. में उपलब्ध: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-da-esfera.htm. 18 जुलाई, 2023 को एक्सेस किया गया।

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चापलूसी

अंग्रेजी से अनुकूलित स्लैंग का उपयोग किसी ऐसे व्यक्ति को नामित करने के लिए किया जाता है जिसे व्यवहारहीन, शर्मनाक, पुराना और फैशन से बाहर माना जाता है।