स्वर्णिम अनुपात: स्वर्णिम संख्या, गणना कैसे करें

ए अनुपात स्वर्ण या दैवीय अनुपात सद्भाव, सुंदरता और पूर्णता के विचारों से जुड़ी समानता है। अलेक्जेंड्रिया के यूक्लिड, ग्रीक गणितज्ञ जो लगभग 300 ईसा पूर्व रहते थे। सी।, इस अवधारणा को औपचारिक रूप देने वाले पहले विचारकों में से एक थे जो आज तक विभिन्न क्षेत्रों के शोधकर्ताओं को आकर्षित करते हैं।

इस रुचि का कारण यह है कि सुनहरे अनुपात को प्रकृति में अनुमानित तरीके से देखा जा सकता है, जिसमें पौधों के बीज और पत्तियों और मानव शरीर शामिल हैं। नतीजतन, गोल्डन अनुपात विभिन्न पेशेवरों, जैसे जीवविज्ञानी, आर्किटेक्ट्स, कलाकारों और डिजाइनरों द्वारा अध्ययन का विषय है।

ये भी पढ़ें: संख्या पाई — गणित में सबसे महत्वपूर्ण स्थिरांकों में से एक

इस लेख के विषय

• 1 - सुनहरे अनुपात का सारांश
• 2 - गोल्डन नंबर की गणना कैसे करें?
• 3 - गोल्डन अनुपात और फाइबोनैचि अनुक्रम
• 4 - सुनहरा अनुपात और सुनहरा आयत
• 5 - सुनहरे अनुपात के अनुप्रयोग
  • वास्तुकला में स्वर्ण अनुपात
  • मानव शरीर में स्वर्ण अनुपात
  • कला में सुनहरा अनुपात
  • प्रकृति में सुनहरा अनुपात
  • डिजाइन में सुनहरा अनुपात
• 6 - सुनहरे अनुपात पर हल किए गए अभ्यास

सुनहरे अनुपात के बारे में सारांश

• सुनहरा अनुपात के लिए अनुपात है \(ए>बी>0\) ऐसा है कि

\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)

• इन शर्तों के तहत, कारण बी स्वर्णिम अनुपात कहा जाता है।

• सुनहरा अनुपात संतुलन, शुद्धता और पूर्णता की अवधारणाओं से जुड़ा है।

• ग्रीक अक्षर ϕ (पढ़ें: fi) स्वर्णिम संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, जो स्वर्णिम अनुपात से प्राप्त स्थिरांक है।

• फाइबोनैचि अनुक्रम में, प्रत्येक पद और उसके पूर्ववर्ती के बीच का अंश स्वर्णिम संख्या तक पहुंचता है।

• स्वर्णिम आयत एक ऐसा आयत है जिसकी भुजाएँ सुनहरे अनुपात में हैं।

गोल्डन रेशियो क्या है?

दो टुकड़ों में विभाजित एक रेखा खंड पर विचार करें: माप का एक बड़ा  और सबसे छोटा बी. एहसास है कि क+ख पूरे खंड का माप है।

सुनहरा अनुपात समानता है कारणों के बीच\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) यह है \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), अर्थात

\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)

इसी संदर्भ में हम कहते हैं  यह है बी सुनहरे अनुपात में हैं।

लेकिन किस मूल्य के लिए  यह है बी क्या हमारे पास सुनहरा अनुपात है? यही हम आगे देखेंगे।

अब मत रोको... प्रचार के बाद और भी कुछ है;)

गोल्डन नंबर की गणना कैसे करें?

द रीज़न \(\frac{a}b\)(या, इसी तरह, द रीज़न \(\frac{a+b}a\)) का परिणाम एक स्थिरांक होता है जिसे गोल्डन नंबर कहा जाता है और ग्रीक अक्षर ϕ द्वारा दर्शाया गया है। इसलिए लिखना आम बात है

\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)

स्वर्णिम संख्या की गणना करने के लिए, आइए b = 1 के लिए स्वर्णिम अनुपात पर विचार करें। इस प्रकार, हम का मान आसानी से ज्ञात कर सकते हैं  और ϕ प्राप्त करें समानता से \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).

ध्यान दें कि हम क्रॉस गुणन गुण का उपयोग करके सुनहरे अनुपात को इस प्रकार लिख सकते हैं:

\(a^2=b⋅(a+b)\)

b = 1 को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है

\(a^2=1⋅(a+1)\)

\(ए^2-ए-1=0\)

भास्कर के सूत्र को लागू करना इस द्विघात समीकरण के लिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि इसका सकारात्मक समाधान है  é

\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)

जैसा  एक खंड का एक उपाय है, हम नकारात्मक समाधान की अवहेलना करेंगे।

तो कैसे \(\frac{a}b=ϕ\), गोल्डन नंबर का सटीक मान है:

\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)

भागफल की गणना करने पर, हम प्राप्त करते हैं गोल्डन नंबर का अनुमानित मूल्य:

\(ϕ≈1,618033989\)

यह भी देखें: भिन्नों के साथ गणित के संक्रियाओं को कैसे हल करें?

स्वर्ण अनुपात और फाइबोनैचि अनुक्रम

ए फाइबोनैचि अनुक्रम संख्याओं की एक सूची है जहां प्रत्येक पद, तीसरे से प्रारंभ होकर, दो पूर्ववर्तियों के योग के बराबर है। आइए इस क्रम के पहले दस पदों को देखें:

\(a_1=1\)

\(a_2=1\)

\(a_3=1+1=2\)

\(a_4=1+2=3\)

\(a_5=2+3=5\)

\(a_6=3+5=8\)

\(a_7=5+8=13\)

\(a_8=8+13=21\)

\(a_9=13+21=34\)

\(a_{10}=21+34=55\)

जैसा कि हम भागफल की गणना करते हैं फाइबोनैचि अनुक्रम में प्रत्येक शब्द और उसके पूर्ववर्ती के बीच, हम गोल्डन नंबर के करीब पहुंच रहे हैं ϕ:

\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)

\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)

\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1.5\)

\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1.6666…\)

\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1.6\)

\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1.625\)

\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1.6153…\)

\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1.61904…\)

\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1.61764…\)

सुनहरा अनुपात और सुनहरा आयत

एक आयत जहां सबसे लंबा पक्ष  और छोटा पक्ष बी सुनहरे अनुपात में हैं इसे स्वर्ण आयत कहा जाता है। एक सुनहरे आयत का एक उदाहरण एक आयत है जिसकी भुजाएँ 1 सेमी और हैं \(\frac{1+\sqrt5}2\) सेमी।

अधिक जानते हैं: सीधे आनुपातिक मात्रा क्या हैं?

गोल्डन अनुपात के अनुप्रयोग

ध्यान दें कि, अब तक, हमने सुनहरे अनुपात का अध्ययन केवल अमूर्त गणितीय संदर्भों में किया है। इसके बाद, हम कुछ अनुप्रयुक्त उदाहरण देखेंगे, लेकिन सावधानी की आवश्यकता है: इनमें से किसी भी मामले में सुनहरा अनुपात बिल्कुल प्रस्तुत नहीं किया गया है। जो मौजूद है वह विभिन्न संदर्भों का विश्लेषण है जिसमें गोल्डन नंबर ऐसा प्रतीत होता हैअनुमानित.

• वास्तुकला में स्वर्ण अनुपात

कुछ अध्ययनों का दावा है कि मिस्र में चेप्स के पिरामिड और न्यूयॉर्क में संयुक्त राष्ट्र मुख्यालय की इमारत के आयामों के कुछ अनुपातों में सोने की संख्या का अनुमान देखा गया है।

 न्यूयॉर्क में संयुक्त राष्ट्र की इमारत। ऐसा माना जाता है कि इसके आयामों पर गोल्डन नंबर लागू किया गया था।

• मानव शरीर में स्वर्ण अनुपात

मानव शरीर का माप एक व्यक्ति से दूसरे व्यक्ति में भिन्न होता है, और कोई संपूर्ण शरीर का प्रकार नहीं होता है। हालांकि, कम से कम प्राचीन ग्रीस के बाद से, गणितीय रूप से आदर्श निकाय (और वास्तविकता में पूरी तरह से अप्राप्य) के बारे में बहस हुई है, जिसमें सुनहरे अनुपात से संबंधित माप हैं। इस सैद्धांतिक संदर्भ में, उदाहरण के लिए, किसी व्यक्ति की ऊंचाई और उसकी नाभि और जमीन के बीच की दूरी का अनुपात गोल्डन नंबर होगा.

• कला में सुनहरा अनुपात

इतालवी लियोनार्डो दा विंची द्वारा "द विट्रुवियन मैन" और "मोना लिसा" के कार्यों पर शोध किया गया है, जो सुझाव देते हैं सुनहरे आयतों का उपयोग.

मोना लीसा, लियोनार्डो दा विंची द्वारा।

• प्रकृति में सुनहरा अनुपात

ऐसे अध्ययन हैं जो ए की ओर इशारा करते हैं सुनहरे अनुपात और जिस तरह से कुछ पौधों की पत्तियों को वितरित किया जाता है, के बीच संबंध एक तने पर। पत्तियों की इस व्यवस्था को फाइलोटैक्सी कहा जाता है।

शीट व्यवस्था के विभिन्न उदाहरण।

• डिजाइन में सुनहरा अनुपात

गोल्डन रेशियो का भी अध्ययन किया जाता है और डिजाइन के क्षेत्र में इसका उपयोग एक के रूप में किया जाता है परियोजना रचना उपकरण.

आंकड़ों की संरचना में डिजाइन के लिए सुनहरा अनुपात लागू होता है।

सुनहरे अनुपात पर हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1

(एनेम) एक रेखा खंड को सुनहरे अनुपात में दो भागों में विभाजित किया जाता है, जब संपूर्ण एक भाग के समान अनुपात में होता है कि यह भाग दूसरे भाग के लिए होता है। यह आनुपातिकता स्थिरांक आमतौर पर ग्रीक अक्षर ϕ द्वारा दर्शाया जाता है, और इसका मान समीकरण ϕ2 = ϕ+1 के सकारात्मक समाधान द्वारा दिया जाता है।

शक्ति की तरह \(ϕ^2\)ϕ की उच्च शक्तियों को रूप में व्यक्त किया जा सकता है \(aϕ+b\), जहाँ a और b धनात्मक पूर्णांक हैं, जैसा कि तालिका में दिखाया गया है।

सामर्थ्य \(ϕ^7\), aϕ+b (a और b धनात्मक पूर्णांक हैं) के रूप में लिखा गया है

ए) 5ϕ+3

बी) 7ϕ+2

ग) 9ϕ+6

घ) 11ϕ+7

ई) 13ϕ+8

संकल्प

जैसा \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), हमें करना ही होगा

\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)

वितरण लागू करना,

\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)

जैसा \(ϕ^2=ϕ+1\),

\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)

\(ϕ^7=13ϕ+8\)

ई वैकल्पिक।

प्रश्न 2

गोल्डन नंबर के बारे में नीचे दिए गए प्रत्येक कथन को T (सही) या F (गलत) के रूप में रेट करें।

मैं। सुनहरी संख्या ϕ अपरिमेय है।

द्वितीय। फाइबोनैचि अनुक्रम में प्रत्येक शब्द और उसके पूर्ववर्ती के बीच का अंश ϕ के मान तक पहुंचता है।

तृतीय। 1.618 स्वर्णिम संख्या ϕ के तीन दशमलव स्थानों तक सन्निकटन है।

ऊपर से नीचे की ओर सही क्रम है

क) वी-वी-वी

बी) एफ-वी-एफ

ग) वी-एफ-वी

घ) एफ-एफ-एफ

ई) एफ-वी-वी

संकल्प

मैं। सत्य।

द्वितीय। सत्य।

तृतीय। सत्य।

वैकल्पिक ए.

सूत्रों का कहना है

फ्रांसिस्को, एस वी। एल से। आकर्षण और सुनहरे अनुपात की वास्तविकता के बीच. निबंध (राष्ट्रीय नेटवर्क में गणित में पेशेवर मास्टर डिग्री) - इंस्टीट्यूट ऑफ बायोसाइंसेज, लेटर्स एंड एक्जैक्ट साइंसेज, यूनिवर्सिडेड एस्टाडुअल पॉलिस्ता जूलियो डे मेसक्विटा फिल्हो। साओ पाउलो, 2017। में उपलब्ध: http://hdl.handle.net/11449/148903.

सेल्स, जे. एस से प्रकृति में मौजूद सुनहरा अनुपात। कोर्स वर्क पूरा करना (गणित में डिग्री), फेडरल इंस्टीट्यूट ऑफ एजुकेशन, साइंस एंड टेक्नोलॉजी ऑफ पियाउई। पियाउई, 2022. में उपलब्ध http://bia.ifpi.edu.br: 8080/जेएसपीयूआई/हैंडल/123456789/1551.

मारिया लुइज़ा अल्वेस रिज़ो द्वारा
गणित शिक्षक

समझें कि यह क्या है और औसत गति और जनसंख्या घनत्व की गणना कैसे करें।

जानें कि यह क्या है और द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए भास्कर के सूत्र का उपयोग कैसे करें!

समझें कि सीधे आनुपातिक राशियां क्या हैं और इस प्रकार के संबंधों से जुड़ी समस्या स्थितियों को हल करना सीखें।

यहां जानें कि कैसे निर्धारित किया जाए कि दो मात्राएं या संख्याएं व्युत्क्रमानुपाती हैं। उदाहरण देखें और विषय पर अभ्यास करें!

यहां जानें कि अनुपात क्या है और इसकी गणना कैसे करें। इसके मुख्य गुण भी देखें और समझें कि समानुपातिक राशियां क्या होती हैं।

अनुपात को दर्शाने के विभिन्न तरीके यहां देखें, परिभाषा और अनुपात के कुछ अनुप्रयोग भी देखें। इन अवधारणाओं को लागू करना सीखें।

तीन या चार मात्राओं के साथ अज्ञात मूल्यों और समस्याओं को खोजने के लिए तीन के यौगिक नियम का उपयोग करना सीखें।

जानिए तीन का नियम। समझें कि प्रत्यक्ष और व्युत्क्रमानुपाती मात्राएँ क्या हैं। जानिए तीन के सरल नियम और यौगिक नियम के बीच का अंतर।

संख्यात्मक अनुक्रम: फाइबोनैचि अनुक्रम।