एपोथेम: यह क्या है, उदाहरण, गणना कैसे करें

हे एपोटेम बहुभुज का एक खंड है जिसके अंत बिंदु बहुभुज के केंद्र में और एक भुजा के मध्य बिंदु पर होते हैं। यह खंड बहुभुज की संबंधित भुजा के साथ 90° का कोण बनाता है।

अंतःत्रिज्या के माप की गणना करने के लिए, प्रश्न में बहुभुज की विशेषताओं पर विचार करना आवश्यक है। ज्यामितीय आकार के आधार पर, इस माप को प्राप्त करने के लिए सूत्र बनाना संभव है। एक महत्वपूर्ण अवलोकन यह है कि एक नियमित बहुभुज के अंतःत्रिज्या का माप बहुभुज में अंकित परिधि के त्रिज्या के माप के बराबर होता है।

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इस लेख के विषय

• 1 - अंतःत्रिज्या के बारे में सारांश
• 2 - अंतःत्रिज्या के उदाहरण
• 3 - अंतःत्रिज्या के सूत्र क्या हैं?
  • समबाहु त्रिभुज अंतःत्रिज्या सूत्र
  • स्क्वायर फॉर्मूला का एपोटेम
  • नियमित षट्भुज एपोटेम सूत्र
  • पिरामिड एपोटेम फॉर्मूला
• 4 - अंतःत्रिज्या की गणना कैसे की जाती है?
• 5 - अंतःत्रिज्या पर हल अभ्यास

अंतःकरण के बारे में सारांश

• अंतःत्रिज्या एक बहुभुज का खंड है जो केंद्र (लंबवत समद्विभाजक का मिलन बिंदु) को किसी एक पक्ष के मध्य बिंदु से जोड़ता है।

• अंतःत्रिज्या और बहुभुज की संबंधित भुजा के बीच का कोण 90° मापता है।

• एक नियमित बहुभुज के अंतःत्रिज्या का माप बहुभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या के माप के बराबर होता है।

• भुजा के एक समबाहु त्रिभुज का अंतःत्रिज्या OM एल सूत्र द्वारा दिया गया है

\(ओएम = \frac{l\sqrt3}6\)

• भुजा के एक वर्ग का ॐ अंतःत्रिज्या एल सूत्र द्वारा दिया गया है

\(ओएम = \frac{l}2\)

• एक तरफ नियमित षट्भुज का अंतःत्रिज्या ॐ एल सूत्र द्वारा दिया गया है

\(ओम = \frac{l\sqrt3}2\)

• एक पिरामिड का एपोथेम वह खंड है जो आधार के किनारों में से एक के मध्य बिंदु को शीर्ष से जोड़ता है, और इसका माप पाइथागोरस प्रमेय द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

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एपोटेम के उदाहरण

बहुभुज का अंतःत्रिज्या ज्ञात करने के लिए, हमें इसका निर्माण करना होगा बहुभुज के केंद्र को किसी एक भुजा के मध्य बिंदु से मिलाने वाला रेखाखंड. याद रखें कि बहुभुज का केंद्र वह होता है जहां समद्विभाजक मिलते हैं।

समबाहु त्रिभुज, वर्ग, नियमित पंचकोण और नियमित षट्भुज का क्रमशः अंतःत्रिज्या।

इन उदाहरणों में, अंतःत्रिज्या को समतल बहुभुजों में माना गया था। हालाँकि, एक अंतरिक्ष वस्तु है जिसका एक अलग प्रकार का एपोथेम है: पिरामिड।

एक पिरामिड में, दो प्रकार के अंतःत्रिज्या होते हैं: आधार का अंतःत्रिज्या, जो बहुभुज का अंतःत्रिज्या है जो पिरामिड का आधार बनाता है, और पिरामिड का अंतःत्रिज्या, जो कि पिरामिड का आधार है शीर्ष को आधार किनारे के मध्य बिंदु से मिलाने वाला खंड (अर्थात, यह आधार के पार्श्व फलक की ऊंचाई है)। पिरामिड)।

नीचे दिए गए वर्गाकार आधार उदाहरण में, खंड OM आधार का अंतःत्रिज्या है और खंड VM पिरामिड का अंतःत्रिज्या है, जिसमें M, BC का मध्यबिंदु है।

वर्ग आधार पिरामिड

अंतःत्रिज्या के सूत्र क्या हैं?

एक बहुभुज, विशेष रूप से नियमित बहुभुज की विशेषताओं को जानने के बाद, हम अंतःत्रिज्या के माप की गणना के लिए सूत्र विकसित कर सकते हैं। आइए देखें कि ये सूत्र मुख्य नियमित बहुभुजों के लिए क्या हैं।

• समबाहु त्रिभुज अंतःत्रिज्या सूत्र

पर समबाहु त्रिभुज का मामला, किसी दिए गए पक्ष के सापेक्ष ऊँचाई और माध्यिका समान हैं। इसका अर्थ है कि बहुभुज का केंद्र बहुभुज के साथ मेल खाता है केन्द्रक त्रिकोण का। इस प्रकार, बिंदु O ऊँचाई AM को निम्न प्रकार से विभाजित करता है:

\(AO = \frac{2}3 AM\) यह है \(ओएम=\frac{1}3 AM\)

याद रखें कि का उपाय एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई एल द्वारा दिया गया है:

\(ऊँचाई \ त्रिभुज\ समबाहु =\frac{l\sqrt3}2\)

इसलिए, जैसा कि AM समबाहु त्रिभुज ABC की ऊँचाई है और खंड OM त्रिभुज का अंतःत्रिज्या है, हम OM के माप के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति को विस्तृत कर सकते हैं, यह देखते हुए कि त्रिभुज की भुजा का माप है एल:

\(OM =\frac{1}3 AM = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)

\(ओएम = \frac{l\sqrt3}6\)

• स्क्वायर फॉर्मूला का एपोटेम

चौक के मामले में, अंतःत्रिज्या का माप पक्ष की आधी लंबाई से मेल खाता है. इस प्रकार, यदि O वर्ग का केंद्र है, M भुजाओं में से एक का मध्य बिंदु है, और एल वर्ग की भुजा की लंबाई है, इसलिए अंतःकरण OM का सूत्र है

\(ओम=\frac{l}2\)

• नियमित षट्भुज एपोटेम सूत्र

नियमित षट्भुज में, अंतःत्रिज्या एक समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई से मेल खाती है जिसमें एक भुजा के दो सिरों पर और बहुभुज के केंद्र में कोने होते हैं। नीचे दिए गए उदाहरण में, समषट्भुज का अंतःत्रिज्या OM समबाहु त्रिभुज OCD की ऊंचाई है, जहां M, CD का मध्यबिंदु है।

जैसा कि हमने पहले बताया, एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात होती है। इस प्रकार, यदि एक नियमित षट्भुज की भुजा मापी जाती है एल, तो अंतःत्रिज्या ॐ का सूत्र है

\(ओम =\frac{l\sqrt3}2\)

• पिरामिड एपोटेम फॉर्मूला

पिरामिड के अंतःत्रिज्या का माप इसके द्वारा प्राप्त किया जा सकता है पाइथागोरस प्रमेय मदद. नीचे दिए गए उदाहरण में, एक वर्ग पिरामिड में, त्रिभुज VOM एक आयत है, जिसमें पैर VO और OM और कर्ण VM है। ध्यान दें कि VO पिरामिड की ऊंचाई है, OM आधार का अंतःत्रिज्या है और VM पिरामिड का अंतःत्रिज्या है।

वर्ग आधार पिरामिड

इस प्रकार, पिरामिड के अंतःत्रिज्या के माप को निर्धारित करने के लिए, हमें पाइथागोरस प्रमेय को लागू करना चाहिए:

\((वीएम)^2=(वीओ)^2+(ओएम)^2\)

सावधान! VM समद्विबाहु त्रिभुज की ऊंचाई है, समबाहु त्रिभुज नहीं। इसलिए, इस स्थिति में, हम एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई के लिए सूत्र का उपयोग नहीं कर सकते हैं।

अंतःकरण की गणना कैसे की जाती है?

एक बहुभुज या पिरामिड के अंतःत्रिज्या की गणना करने के लिए, हम निर्मित सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं या अन्तःत्रिज्या को उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या के साथ जोड़ सकते हैं।

• उदाहरण 1: मान लीजिए कि 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त एक समबाहु त्रिभुज के अंतर्गत है। इस त्रिभुज के अंतःत्रिज्या का माप क्या है?

चूंकि एक बहुभुज के अंतःत्रिज्या का माप खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या के समान होता है, त्रिभुज का अंतःत्रिज्या 3 सेमी मापता है।

• उदाहरण 2: 4 सेंटीमीटर भुजा वाले एक नियमित षट्भुज के अंतःत्रिज्या का माप क्या है?

के साथ एक नियमित षट्भुज के अंतःत्रिज्या के लिए सूत्र का उपयोग करना \(एल=4\) सेमी, हमें करना होगा

\(माप \ apotem=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ cm\)

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अंतःत्रिज्या पर हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1

यदि 4 सेमी ऊँचे एक पिरामिड का आधार अंतःत्रिज्या 3 सेमी है, तो पिरामिड के अंतःत्रिज्या का माप है

ए) 5 सेमी

बी) 6 सेमी

ग) 7 सेमी

घ) 8 सेमी

ई) 9 सेमी

संकल्प:

एक पिरामिड में, हम एक समकोण त्रिभुज की रचना कर सकते हैं जिसमें एक पाद आधार का अंतःत्रिज्या है, दूसरा पाद पिरामिड की ऊंचाई है और कर्ण पिरामिड का अंतःत्रिज्या है। इस प्रकार, पाइथागोरस प्रमेय को माप x के कर्ण पर लागू करने पर,

\(x^2=3^2+4^2\)

\(x = 5\ सेमी\)

वैकल्पिक ए.

प्रश्न 2

यदि एक वर्ग का अंतःत्र y सेमी है, तो वर्ग की भुजा है

द) \(\frac{1}3y \) सेमी

बी) \(\frac{1}2y \) सेमी

ग) वाई सेमी

घ) 2y सेमी

ई) 3y सेमी

संकल्प

एक वर्ग का अंतःत्रिज्या वर्ग की भुजा की आधी लंबाई का होता है। इसलिए, यदि अंतःत्रिज्या का माप y सेमी है, तो वर्ग का माप 2y सेमी है।

वैकल्पिक डी.

मारिया लुइज़ा अल्वेस रिज़ो द्वारा
गणित शिक्षक

क्या आप इस पाठ को किसी स्कूल या शैक्षणिक कार्य में संदर्भित करना चाहेंगे? देखना:

रिज़ो, मारिया लुइज़ा अल्वेस। "एपोटेम"; ब्राजील स्कूल. में उपलब्ध: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/apotema.htm. 16 मई, 2023 को एक्सेस किया गया।

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