घन: यह क्या है, तत्व, चपटा, सूत्र

हे घनक्षेत्र, जिसे हेक्साहेड्रोन के रूप में भी जाना जाता है, है a ज्यामितीय ठोस जिसके छह फलक हैं, वे सभी वर्गों से बने हैं। 6 फलकों के अतिरिक्त, घन में 12 किनारे और 8 शीर्ष हैं। में पढ़ाई की स्थानिक ज्यामितिघन के सभी किनारे सर्वांगसम और लंबवत हैं, इसलिए इसे एक नियमित बहुफलक के रूप में वर्गीकृत किया गया है। हम अपने दैनिक जीवन में क्यूब प्रारूप की उपस्थिति को खेल, पैकेजिंग, बक्से, अन्य वस्तुओं के बीच उपयोग किए जाने वाले सामान्य डेटा में देख सकते हैं।

यह भी पढ़ें: पिरामिड - ज्यामितीय ठोस जिसके सभी फलक त्रिभुजों द्वारा बनते हैं

इस लेख में विषय

• 1 - घन के बारे में सारांश
• 2 - घन क्या है?
• 3 - घन की रचना के तत्व
• 4 - घन योजना
• 5 - घन सूत्र
  • घन के आधार का क्षेत्रफल
  • घन पक्ष क्षेत्र
  • कुल घन क्षेत्रफल
  • घन मात्रा
  • घन विकर्ण
• 6 - घन पर हल किए गए व्यायाम

घन सारांश

• क्यूब को हेक्साहेड्रोन भी कहा जाता है, क्योंकि इसके 6 फलक होते हैं।

• घन 6 फलकों, 12 किनारों और 8 शीर्षों से बना है।

• घन के सभी फलक वर्गों द्वारा बनाए गए हैं, इसलिए इसके किनारे सर्वांगसम हैं, और इसलिए यह एक नियमित बहुफलक है, जिसे इस रूप में भी जाना जाता है प्लेटो का ठोस.

• घन के आधार का क्षेत्रफल एक वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर होता है। प्राणी किनारे का माप, आधार के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हमारे पास वह है:

\(A_b=a^2\)

• घन के पार्श्व क्षेत्र को मापने वाले पक्षों के 4 वर्गों द्वारा बनाया गया है , इसलिए इसकी गणना करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

\(A_l=4a^2\)

• घन के कुल क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, बस इसके दो आधारों के क्षेत्रफल को पार्श्व क्षेत्रफल के साथ जोड़ें। तो, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

\(A_T=6a^2\)

• घन की मात्रा की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

\(वी=ए^3\)

• घन के पार्श्व विकर्ण की माप की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

\(b=a\sqrt2\)

• घन के विकर्ण की माप की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

\(d=a\sqrt3\)

क्यूब क्या है?

घन एक ज्यामितीय ठोस है जो 12 किनारों, 8 शीर्षों और 6 फलकों से बना है। इस तथ्य के कारण कि इसके 6 फलक हैं, घन को हेक्साहेड्रोन के रूप में भी जाना जाता है।

 एक घन का प्रतिनिधित्व।

घन संरचना तत्व

यह जानते हुए कि घन के 12 किनारे, 8 शीर्ष और 6 फलक हैं, निम्न छवि देखें।

• ए, बी, सी, डी, ई, एफ, जी और एच घन के शीर्ष हैं।

• \(\overline{AB},\ \overline{AD},\ \overline{AE},\ \overline{BC},\ \overline{BF},\ \overline{CD,\ }\overline{CG}, \ \overline{DH,\ }\overline{HG},\ \overline{EH}\overline{,\ EF},\ \overline{FG}\) घन के किनारे हैं।

• ABCD, ABFE, BCFG, EFGH, ADHE, CDHG घन के फलक हैं।

घन 6 वर्गाकार फलकों से बना है, इसलिए इसके सभी किनारे सर्वांगसम हैं। चूँकि इसके किनारों का माप समान है, इसलिए घन को a. के रूप में वर्गीकृत किया गया है बहुतल प्लेटो का नियमित या ठोस, टेट्राहेड्रोन, ऑक्टाहेड्रोन, इकोसाहेड्रोन और डोडेकाहेड्रोन के साथ।

अब मत रोको... विज्ञापन के बाद और भी बहुत कुछ है;)

घन योजना

गणना करने के लिए घन क्षेत्र, अपनी योजना का विश्लेषण करना महत्वपूर्ण है। घन का खुलासा 6. से बना है वर्गों, सभी एक दूसरे के अनुरूप हैं:

क्यूब योजना।

घन 2 वर्ग आधारों से बना है, और इसका पार्श्व क्षेत्र 4 वर्गों से बना है, सभी सर्वांगसम हैं।

यह भी देखें: मुख्य ज्यामितीय ठोसों की योजना बनाना

घन सूत्र

घन के आधार क्षेत्र, पार्श्व क्षेत्र, कुल क्षेत्रफल और आयतन की गणना करने के लिए, हम घन को किनारे की माप के साथ मानेंगे .

• घन के आधार का क्षेत्रफल

चूंकि आधार किनारे के एक वर्ग द्वारा बनता है , घन के आधार के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

\(A_b=a^2\)

उदाहरण:

एक घन के आधार के माप की गणना करें जिसकी एक किनारे की माप 12 सेमी है:

संकल्प:

\(A_b=a^2\)

\(A_b={12}^2\)

\(A_b=144\ सेमी^2\)

• घन पक्ष क्षेत्र

घन का पार्श्व क्षेत्र 4 वर्गों से बना है, सभी पक्षों को मापने के साथ . इस प्रकार, घन के पार्श्व क्षेत्र की गणना करने के लिए सूत्र है:

\(A_l=4a^2\)

उदाहरण:

एक घन का पार्श्व क्षेत्रफल क्या है, जिसके किनारे की माप 8 सेमी है?

संकल्प:

\(A_l=4a^2\)

\(A_l=4\cdot8^2\)

\(A_l=4\cdot64\)

\(A_l=256\ सेमी^2\)

• कुल घन क्षेत्रफल

घन का कुल क्षेत्रफल या केवल घन का क्षेत्रफल है जोड़ सभी घन फलकों का क्षेत्रफल। हम जानते हैं कि इसकी कुल 6 भुजाएँ हैं, जो भुजाओं के वर्गों से बनी हैं , तो घन के कुल क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है:

\(A_T=6a^2\)

उदाहरण:

एक घन का कुल क्षेत्रफल क्या है जिसकी भुजा 5 सेमी है?

संकल्प:

\(A_T=6a^2\)

\(A_T=6\cdot5^2\)

\(A_T=6\cdot25\)

\(A_T=150\ सेमी^2\)

• घन मात्रा

एक घन का आयतन है गुणा इसके तीन आयामों का माप। जैसा कि उन सभी का माप समान है, हमारे पास है:

\(वी=ए^3\)

उदाहरण:

एक घन का आयतन क्या है जिसकी एक किनारे की माप 7 सेमी है?

संकल्प:

\(वी=ए^3\)

\(वी=7^3\)

\(वी=343\ सेमी^3\)

• घन विकर्ण

घन पर हम भुजा का विकर्ण, अर्थात् उसके फलक का विकर्ण और घन का विकर्ण खींच सकते हैं।

◦ घन पक्ष विकर्ण 

घन फलक के पार्श्व विकर्ण या विकर्ण को अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है बी छवि में। छाल पाइथागोरस प्रमेय, हमारे पास एक है सही त्रिकोण पेकेरी मापने का और कर्ण माप बी:

बी² = ए² + ए²

बी² = 2a²

बी = \(\sqrt{2a^2}\)

बी = \(a\sqrt2\)

इसलिए, घन के एक फलक के विकर्ण की गणना करने का सूत्र है:

\(b=a\sqrt2\)

◦ घन विकर्ण

विकर्ण डी पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके भी घन की गणना की जा सकती है, क्योंकि हमारे पास पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज है बी, और कर्ण माप डी:

\(d^2=a^2+b^2\)

लेकिन हम जानते हैं कि b=\(a\sqrt2\):

\(d^2=a^2+\left (a\sqrt2\right)^2\)

\(d^2=a^2+a^2\cdot2\)

\(d^2=a^2+2a^2\)

\(d^2=3a^2\)

\(d=\sqrt{3a^2}\)

\(d=a\sqrt3\)

तो, घन के विकर्ण की गणना करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

\(d=a\sqrt3\)

अधिक जानते हैं: सिलेंडर - एक ज्यामितीय ठोस जो एक गोल शरीर के रूप में वर्गीकृत होता है

घन हल अभ्यास

प्रश्न 1

एक घन के किनारों का योग 96 सेमी है, इसलिए इस घन के कुल क्षेत्रफल का माप है:

ए) 64 सेमी²

बी) 128 सेमी²

सी) 232 सेमी²

डी) 256 सेमी²

ई) 384 सेमी²

संकल्प:

वैकल्पिक ई

सबसे पहले, हम घन के किनारे के माप की गणना करेंगे। चूंकि इसके 12 किनारे हैं और हम जानते हैं कि 12 किनारों का योग 96 है, हमारे पास है:

= 96: 12

= 8 सेमी

यह जानते हुए कि प्रत्येक किनारे का माप 8 सेमी है, अब घन के कुल क्षेत्रफल की गणना करना संभव है:

\(A_T=6a^2\)

\(A_T=6\cdot8^2\)

\(A_T=6\cdot64\)

\(A_T=384\ सेमी^2\)

प्रश्न 2

सफाई के लिए पानी की टंकी खाली करनी पड़ती है। यह जानते हुए कि इसमें 2 मीटर के किनारे वाले घन का आकार है और इस जलाशय का 70% पहले से ही खाली है, तो इस जलाशय का आयतन जो अभी भी भरा हुआ है:

ए) 1.7 एम³

बी) 2.0 वर्ग मीटर

सी) 2.4 एम³

डी) 5.6 वर्ग मीटर

ई) 8.0 वर्ग मीटर

संकल्प:

वैकल्पिक सी

सबसे पहले, हम मात्रा की गणना करेंगे:

\(वी=ए^3\)

\(वी=2^3\)

\(वी=8\ एम^3\)

यदि 70% आयतन खाली है, तो 30% आयतन पर कब्जा है। 8 में से 30% की गणना करना:

\(0.3\cdot8=2.4\ मी^3\)

राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा. द्वारा
गणित शिक्षक

क्या आप इस पाठ को किसी स्कूल या शैक्षणिक कार्य में संदर्भित करना चाहेंगे? नज़र:

ओलिवेरा, राउल रोड्रिग्स डी। "क्यूब"; ब्राजील स्कूल. में उपलब्ध: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/cubo.htm. 23 जुलाई 2022 को एक्सेस किया गया।