हल किए गए ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा अभ्यासों के साथ अध्ययन करें। टिप्पणी किए गए अभ्यासों के साथ अभ्यास करें और अपनी शंकाओं को दूर करें।
प्रश्न 1
निम्नलिखित त्रिभुज में x और y के मान ज्ञात कीजिए। sin 37º = 0.60, 37º की कोज्या = 0.79 और tan 37º = 0.75 पर विचार करें।
उत्तर: y = 10.2 मी और x = 13.43 मी
y निर्धारित करने के लिए, हम 37º की ज्या का उपयोग करते हैं, जो कर्ण के विपरीत पक्ष का अनुपात है। यह याद रखने योग्य है कि कर्ण 90º कोण के विपरीत खंड है, इसलिए इसका मूल्य 17 मीटर है।
x का निर्धारण करने के लिए, हम 37º की कोज्या का उपयोग कर सकते हैं, जो 37º के कोण से सटी भुजा और कर्ण के बीच का अनुपात है।
प्रश्न 2
निम्नलिखित समकोण त्रिभुज में, कोण का मान ज्ञात कीजिए , अंशों में, और इसकी ज्या, कोज्या, और स्पर्शरेखा।
विचार करना:
पाप 28º = 0.47
कॉस 28º = 0.88
जवाब: ,
एक त्रिभुज में अंतः कोणों का योग 180° के बराबर होता है। एक समकोण त्रिभुज होने के कारण एक 90º कोण होता है, इसलिए दो कोणों के लिए एक और 90º शेष रहता है।
इस प्रकार हमारे पास है:
चूंकि ये कोण पूरक हैं (उनमें से एक से, दूसरे से 90º को पूरा करने के लिए कितना शेष है), यह मान्य है कि:
cos 62º = sin 28º = 0.47
तथा
sin 62º = cos 28º = 0.88
स्पर्शरेखा गणना
स्पर्शरेखा ज्या और कोज्या का अनुपात है।
प्रश्न 3
एक धूप वाले दिन के एक निश्चित समय में, एक घर की छाया 23 मीटर तक अनुमानित होती है। यह बचा हुआ भाग जमीन के संबंध में 45º बनाता है। इस तरह घर की ऊंचाई तय करें।
उत्तर: घर की ऊंचाई 23 मीटर है।
ऊंचाई निर्धारित करने के लिए, झुकाव के कोण को जानने के लिए, हम 45° कोण के स्पर्शरेखा का उपयोग करते हैं।
45° स्पर्शरेखा 1 के बराबर होती है।
घर और जमीन पर छाया एक समकोण त्रिभुज के पैर हैं।
इस प्रकार, घर की ऊंचाई 23 मीटर है।
प्रश्न 4
एक सर्वेक्षक एक पेशेवर है जो माप लेने और सतह का अध्ययन करने के लिए गणितीय और ज्यामितीय ज्ञान का उपयोग करता है। थियोडोलाइट का उपयोग करना, एक उपकरण जो अन्य कार्यों के साथ, कोणों को मापता है, जो 37 मीटर. पर स्थित है एक इमारत से दूर, उसने जमीन के समानांतर एक तल और की ऊंचाई के बीच 60° का कोण पाया इमारत। यदि थियोडोलाइट जमीन से 180 सेमी की दूरी पर एक तिपाई पर था, तो मीटर में इमारत की ऊंचाई निर्धारित करें।
विचार करना
उत्तर: भवन की ऊंचाई 65.81 मीटर है।
हमारे पास जो स्थिति है उसका एक स्केच बनाना:
इस प्रकार, इमारत की ऊंचाई 60º की स्पर्शरेखा का उपयोग करके निर्धारित की जा सकती है, जहां थियोडोलाइट है, 180 सेमी या 1.8 मीटर के साथ परिणाम जोड़कर, क्योंकि यह जमीन से ऊंचाई है।
60° स्पर्शरेखा के बराबर होती है .
थियोडोलाइट से ऊँचाई
कुल ऊंचाई
64.01 + 1.8 = 65.81 वर्ग मीटर
इमारत की ऊंचाई 65.81 मीटर है।
प्रश्न 5
पंचभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।
विचार करना:
पाप 67° = 0.92
cos 67° = 0.39
तन 67° = 2.35
उत्तर: परिधि 219.1 मीटर है।
परिमाप पंचभुज की भुजाओं का योग है। जैसा कि 80 मीटर का एक आयताकार भाग है, विपरीत पक्ष भी 80 मीटर लंबा है।
परिधि द्वारा दिया गया है:
पी = 10 + 80 + 80 + ए + बी
पी = 170 + ए + बी
प्राणी द, नीली धराशायी रेखा के समानांतर, हम 67° स्पर्शरेखा का उपयोग करके इसकी लंबाई निर्धारित कर सकते हैं।
b का मान ज्ञात करने के लिए हम 67°. की कोज्या का प्रयोग करते हैं
तो परिधि है:
पी = 170 + 23.5 + 25.6 = 219.1 वर्ग मीटर
प्रश्न 6
1110° की ज्या तथा कोज्या ज्ञात कीजिए।
त्रिकोणमितीय वृत्त को ध्यान में रखते हुए हमारे पास एक पूर्ण मोड़ 360° है।
जब हम 1110° को 360° से भाग देते हैं तो हमें 3.0833.... इसका मतलब है 3 पूर्ण मोड़ और थोड़ा और।
360° x 3 = 1080° लेने पर और 1110 से घटाने पर हमें प्राप्त होता है:
1110° - 1080° = 30°
वामावर्त दिशा को सकारात्मक मानते हुए, तीन पूर्ण मोड़ के बाद हम शुरुआत में लौटते हैं, 1080° या 0°। इस बिंदु से हम एक और 30° आगे बढ़ते हैं।
अतः 1110° की ज्या और कोज्या 30°. की ज्या और कोज्या के बराबर हैं
प्रश्न 7
(CEDERJ 2021) एक त्रिकोणमिति परीक्षण के लिए अध्ययन करते हुए, जूलिया ने सीखा कि sin² 72° बराबर है
1 - cos² 72°।
cos² 72° - 1.
टीजी² 72° - 1.
1 - टीजी² 72º।
त्रिकोणमिति का मौलिक संबंध कहता है कि:
जहाँ x कोण का मान है।
x = 72º लेने और ज्या को पृथक करने पर, हमें प्राप्त होता है:
प्रश्न 8
व्हीलचेयर उपयोगकर्ताओं और कम गतिशीलता वाले लोगों के लिए पहुंच सुनिश्चित करने के लिए रैंप एक अच्छा तरीका है। इमारतों, फर्नीचर, रिक्त स्थान और शहरी उपकरणों तक पहुंच की गारंटी कानून द्वारा दी गई है।
ब्राजीलियाई एसोसिएशन ऑफ टेक्निकल नॉर्म्स (एबीएनटी), ब्राजीलियाई कानून के अनुसार व्यक्तियों को शामिल करने के लिए विकलांगता (13,146/2015), निर्माण को नियंत्रित करती है और रैंप के ढलान को परिभाषित करती है, साथ ही उनके लिए गणना भी करती है निर्माण। एबीएनटी गणना दिशानिर्देश 8.33% (1:12 अनुपात) की अधिकतम ढलान सीमा दर्शाते हैं। इसका मतलब है कि एक रैंप, 1 मीटर के अंतर को दूर करने के लिए, कम से कम 12 मीटर लंबा होना चाहिए और यह परिभाषित करता है कि क्षैतिज तल के संबंध में रैंप का ढलान कोण, से अधिक नहीं हो सकता है 7°.
पिछली जानकारी के अनुसार, ताकि एक रैंप, जिसकी लंबाई 14 मीटर के बराबर हो और जिसका झुकाव 7º इंच. हो विमान के संबंध में, एबीएनटी मानदंडों के भीतर है, इसे अधिकतम ऊंचाई के साथ एक अंतर को दूर करने के लिए काम करना चाहिए
उपयोग करें: पाप 7वां = 0.12; cos 7º = 0.99 और tan 7º = 0.12।
ए) 1.2 मीटर।
बी) 1.32 मीटर।
सी) 1.4 मीटर।
घ) 1.56 मीटर।
ई) 1.68 मीटर।
रैंप एक समकोण त्रिभुज बनाता है जहां लंबाई 14 मीटर है, जो क्षैतिज के संबंध में 7º का कोण बनाती है, जहां ऊंचाई कोण के विपरीत पक्ष है।
7° की ज्या का उपयोग करना:
रैंप को जिस ऊंचाई तक पहुंचना चाहिए वह 1.68 मीटर है।
प्रश्न 9
(Unesp 2012) एक ढलान वाले इलाके में एक अस्पताल भवन का निर्माण किया जा रहा है। निर्माण को अनुकूलित करने के लिए, जिम्मेदार वास्तुकार ने इमारत के तहखाने में भूमि की पिछली सड़क से प्रवेश द्वार के साथ पार्किंग स्थल तैयार किया। अस्पताल का रिसेप्शन पार्किंग के स्तर से 5 मीटर ऊपर है, जिसके लिए गतिशीलता की कठिनाइयों वाले रोगियों के लिए सीधी पहुंच रैंप के निर्माण की आवश्यकता होती है। यह आंकड़ा योजनाबद्ध रूप से इस रैंप (आर) का प्रतिनिधित्व करता है, जो बिंदु ए को जोड़ता है, स्वागत मंजिल पर, बिंदु बी तक, पार्किंग मंजिल पर, जिसमें न्यूनतम α झुकाव 30º और अधिकतम 45º होना चाहिए।
इन शर्तों के तहत और विचार , इस एक्सेस रैंप की लंबाई का अधिकतम और न्यूनतम मान मीटर में क्या होना चाहिए?
उत्तर: एक्सेस रैंप की लंबाई न्यूनतम 7 मीटर और अधिकतम 10 मीटर होगी।
परियोजना पहले से ही 5 मीटर की ऊंचाई तय करती है और निर्धारित करती है। हमें रैंप की लंबाई की गणना करने की आवश्यकता है, जो कि समकोण त्रिभुज का कर्ण है, 30° और 45° के कोणों के लिए।
गणना के लिए, हमने कोण की ज्या का उपयोग किया, जो विपरीत पक्ष, 5m और कर्ण r के बीच का अनुपात है, जो कि रैंप की लंबाई है।
उल्लेखनीय कोणों के लिए 30° और 45° ज्या मान हैं:
30°. के लिए
45°. तक
तर्कसंगत
के मान को प्रतिस्थापित करना
प्रश्न 10
(ईपीसीएआर 2020) रात में, ब्राजील की वायु सेना का एक हेलीकॉप्टर एक समतल क्षेत्र में उड़ान भरता है और एक यूएवी (वायु वाहन) को देखता है मानव रहित) वृत्ताकार आकार और नगण्य ऊँचाई का, जिसकी त्रिज्या 3 मीटर है जो जमीन के समानांतर 30 मीटर की दूरी पर खड़ी है। कद।
यूएवी हेलीकॉप्टर पर स्थापित सर्चलाइट से y मीटर की दूरी पर है।
यूएवी से गुजरने वाली सर्चलाइट से प्रकाश की किरण समतल क्षेत्र पर पड़ती है और केंद्र ओ और त्रिज्या आर के साथ एक गोलाकार छाया पैदा करती है।
छाया की परिधि की त्रिज्या R प्रकाश पुंज के साथ 60º का कोण बनाती है, जैसा कि निम्नलिखित आकृति में देखा गया है।
उस समय, एक व्यक्ति जो छाया की परिधि पर बिंदु A पर है, बिंदु O तक दौड़ता है, स्पॉटलाइट से समतल क्षेत्र तक खींचे गए लंबवत से पैर।
दूरी, मीटर में, कि यह व्यक्ति A से O तक की यात्रा करता है, के बीच की संख्या है
ए) 18 और 19
बी) 19 और 20
ग) 20 और 21
घ) 22 और 23
उद्देश्य
खंड की लंबाई निर्धारित करें , छाया के वृत्त की त्रिज्या।
जानकारी
- ओ से यूएवी की ऊंचाई 30 मीटर है।
- यूएवी की त्रिज्या 3 मीटर है।
60° स्पर्शरेखा का उपयोग करके हम निम्नलिखित छवि में लाल रंग में हाइलाइट किए गए भाग का निर्धारण करते हैं:
60° =. की स्पर्श रेखा को ध्यान में रखते हुए और स्पर्शरेखा कोण के विपरीत पक्ष और उसके आसन्न पक्ष के बीच का अनुपात है, हमारे पास है:
तर्कसंगत
लंबाई AO है
के मान के निकट
एओ खंड का अनुमानित माप 20.3 मीटर है, जो कि 20 और 21 के बीच का मान है।
इसके साथ भी अध्ययन करें:
- ज्या, कोसाइन और स्पर्शरेखा
- समकोण त्रिभुज में त्रिकोणमिति अभ्यास
- त्रिकोणमिति व्यायाम
- समकोण त्रिभुज में त्रिकोणमिति
- त्रिकोणमिति
- त्रिकोणमितीय पहचान
- त्रिकोणमितीय अनुपातों पर अभ्यास
- समकोण त्रिभुज में मीट्रिक संबंध
- त्रिकोणमितीय संबंध
- कोणों
- त्रिकोणमितीय अनुपात
- त्रिकोणमितीय तालिका
- त्रिकोणमितीय फलन
- त्रिकोणमितीय वृत्त
- साइन्स का नियम
- कोसाइन का नियम