आंतरिक द्विभाजक प्रमेय: यह क्या है, प्रमाण

आंतरिक द्विभाजक प्रमेय को विशेष रूप से विकसित किया गया था त्रिभुज और दिखाता है कि जब हम त्रिभुज के कोण के आंतरिक द्विभाजक का पता लगाते हैं, तो समद्विभाजक का मिलन बिंदु इसके विपरीत पक्ष के साथ उस पक्ष को विभाजित करता है रेखा खंड उस कोण की आसन्न भुजाओं के समानुपाती होता है। आंतरिक द्विभाजक प्रमेय के आवेदन के साथ त्रिभुज की भुजा या खंडों के बीच के अनुपात का उपयोग करके उनका मान निर्धारित करना संभव है.

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आंतरिक द्विभाजक प्रमेय के बारे में सारांश:

• द्विभाजक है a रे जो कोण को दो सर्वांगसम कोणों में विभाजित करता है।

• आंतरिक द्विभाजक प्रमेय त्रिभुजों के लिए विशिष्ट है।

• यह प्रमेय सिद्ध करता है कि समद्विभाजक विपरीत भुजा को विभाजित करता है आनुपातिक खंड से सटे पक्षों के लिए कोण.

आंतरिक द्विभाजक प्रमेय पर वीडियो पाठ

द्विभाजक प्रमेय क्या है?

इससे पहले कि हम समझें कि आंतरिक द्विभाजक प्रमेय क्या कहता है, यह जानना महत्वपूर्ण है कि क्या है एक कोण का द्विभाजक। यह एक किरण है जो कोण को दो सर्वांगसम भागों में विभाजित करती है।, अर्थात्, दो भाग जिनका माप समान है।

कोण के द्विभाजक AD का सीमांकन।

यह समझते हुए कि समद्विभाजक क्या है, हम देखते हैं कि यह त्रिभुज के आंतरिक कोण पर मौजूद है। जब हम त्रिभुज के एक कोण के समद्विभाजक को चित्रित करते हैं, तो यह विपरीत भुजा को दो खंडों में विभाजित करेगा। आंतरिक द्विभाजक के संबंध में, इसका प्रमेय कहता है कि इसके द्वारा विभाजित दो खंड कोण के आसन्न पक्षों के समानुपाती होते हैं.

ध्यान दें कि द्विभाजक भुजा AC को दो खंडों AD और DC में विभाजित करता है। द्विभाजक प्रमेय से पता चलता है कि:

\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)

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आंतरिक द्विभाजक प्रमेय का प्रमाण

नीचे त्रिभुज ABC में, हम खंड BD का सीमांकन करेंगे, जो इस त्रिभुज का समद्विभाजक है। इसके अलावा, हम इसके पार्श्व CB और खंड AE, BD के समानांतर के विस्तार का पता लगाएंगे:

कोण AEB कोण DBC के सर्वांगसम है, क्योंकि सीई एक है सीधा समानांतर खंडों AE और BD के लिए अनुप्रस्थ।

लागू करना थेल्स प्रमेय, हमने निष्कर्ष निकाला कि:

\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)

अब हम यह दिखाना बाकी है कि BE = AB.

चूँकि x कोण ABD और DBC का माप है, कोण ABE का विश्लेषण करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एबीई = 180 - 2x

यदि y कोण EAB का माप है, तो हमें निम्नलिखित स्थिति प्राप्त होती है:

हम जानते हैं कि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग एबीई 180 डिग्री है, इसलिए हम गणना कर सकते हैं:

180 - 2x + x + y = 180

- एक्स + वाई = 180 - 180

- एक्स + वाई = 0

वाई = एक्स

यदि कोण x और कोण y का माप समान है, तो त्रिभुज ABE है समद्विबाहु. अत: भुजा AB = AE है।

चूँकि त्रिभुज के अन्तः कोणों का योग सदैव 180° के बराबर होता है, त्रिभुज ACE में हमें प्राप्त होता है:

एक्स + 180 - 2x + वाई = 180

- एक्स + वाई = 180 - 180

- एक्स + वाई = 0

वाई = एक्स

चूँकि y = x, त्रिभुज ACE समद्विबाहु है. इसलिए, खंड AE और AC सर्वांगसम हैं। एसी के लिए एई की अदला-बदली कारण, यह साबित होता है कि:

\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)

उदाहरण:

निम्नलिखित त्रिभुज में x का मान ज्ञात कीजिए:

त्रिभुज का विश्लेषण करने पर हमें निम्नलिखित अनुपात प्राप्त होता है:

\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)

क्रॉस-गुणा:

6x = 8 ⋅ 3

6x = 24

\(x=\frac{24}{6}\)

एक्स = 4

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आंतरिक द्विभाजक प्रमेय पर हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1

नीचे दिए गए त्रिभुज को देखकर हम कह सकते हैं कि x का मान है:

ए) 9

बी) 10

सी) 11

डी) 12

ई) 13

संकल्प:
वैकल्पिक डी

आंतरिक द्विभाजक प्रमेय को लागू करने पर, हम निम्नलिखित गणना प्राप्त करते हैं:

\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)

क्रॉस-गुणा:

\(27x=18\ \बाएं (30-x\दाएं)\)

\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)

\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)

\(45x\ =\ 540\ \)

\(x=\frac{540}{45}\)

\(x\ =\ 12\)

प्रश्न 2

निम्नलिखित त्रिभुज का विश्लेषण करें, यह जानते हुए कि आपके माप सेंटीमीटर में दिए गए थे।

त्रिभुज ABC का परिमाप बराबर है:

ए) 75 सेमी

बी) 56 सेमी

सी) 48 सेमी

डी) 24 सेमी

ई) 7.5 सेमी

संकल्प:

वैकल्पिक सी

द्विभाजक प्रमेय को लागू करने पर, हम पहले x का मान ज्ञात करेंगे:

\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)

\(5\ \बाएं (4x-9\दाएं)=2x\cdot7\)

\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)

\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)

\(6x\ =\ 45\ \)

\(x=\frac{45}{6}\)

\(x\ =\ 7.5\)

इस प्रकार, अज्ञात पक्ष मापते हैं:

\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)

\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)

याद है कि लंबाई गेज इस्तेमाल किया गया था सेमी, the परिमाप इस त्रिभुज के बराबर है:

पी = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 सेमी

राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा. द्वारा
गणित शिक्षक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm