समतल ज्यामिति: अवधारणाएँ, आकृतियाँ, सूत्र

समतल ज्यामिति यह हमारे दैनिक जीवन में हर समय मौजूद रहता है। जब हम अपने आस-पास की दुनिया को देखते हैं, तो हम विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों को नोटिस कर सकते हैं। जब ज्यामितीय आकृतियों के दो आयाम होते हैं, तो वे समतल ज्यामिति के अध्ययन का विषय होते हैं।.

कोणों की धारणा और अध्ययन के अलावा, बिंदु, रेखा और विमान समतल ज्यामिति में अध्ययन किए गए आदिम तत्व हैं। सपाट आंकड़े, जैसे वर्ग, त्रिभुज, आयत, समलंब, वृत्त और समचतुर्भुज। समतल ज्यामिति के अलावा, स्थानिक ज्यामिति भी है, जो का एक अन्य क्षेत्र है गणित, जो त्रि-आयामी ज्यामितीय आकृतियों का अध्ययन करता है। समतल ज्यामिति का अध्ययन हम जिस स्थान में रहते हैं उसे समझने के लिए आवश्यक है.

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समतल ज्यामिति का सारांश

• समतल ज्यामिति गणित का वह क्षेत्र है जो समतल आकृतियों का अध्ययन करता है।

• बिंदु, रेखा और तल इस ज्यामिति की आदिम अवधारणाएँ हैं।

• ऐसी महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं जो समतल ज्यामिति का आधार हैं और जिन्हें आदिम अवधारणाओं से विकसित किया गया है।

  • रे: एक बिंदु से बंधी रेखा का भाग है।

  • रेखा खंड: दो बिंदुओं से घिरी रेखा का भाग।

  • कोण: दो किरणों के बीच का क्षेत्र है।

  • बहुभुज: किरणों से घिरी समतल आकृतियाँ हैं।

  • क्षेत्र: एक समतल आकृति की सतह का माप है।

• कई समतल आकृतियों का अध्ययन समतल ज्यामिति में किया जाता है, जैसे त्रिभुज, समांतर चतुर्भुज, आयत, समचतुर्भुज, वर्ग, समलम्ब, परिधि और वृत्त।

• प्रत्येक समतल आकृतियों के माप की गणना के लिए महत्वपूर्ण सूत्र हैं, जैसे कि परिमाप, जो आकृति के समोच्च और क्षेत्र की गणना का योग है:

समतल ज्यामिति पर वीडियो पाठ

समतल ज्यामिति की महत्वपूर्ण अवधारणाएँ

समतल ज्यामिति के अध्ययन में, महत्वपूर्ण अवधारणाओं को विकसित किया गया था, आदिम अवधारणाओं से शुरू होता है, जो कि हैं बिंदु, रेखा और तल. इन वस्तुओं को आदिम के रूप में जाना जाता है क्योंकि वे अन्य अवधारणाओं, जैसे कोण, किरण, रेखा खंड, बहुभुज, क्षेत्र, आदि के विकास का आधार हैं। आइए उनमें से प्रत्येक को देखें।

• बिंदु, रेखा और समतल

बिंदु, रेखा और तल गणित के आदिम तत्व हैं, अर्थात्, उनकी कोई परिभाषा नहीं है, लेकिन वे वस्तुएं हैं जो हमारी कल्पना में हैं, सहज रूप से समझी जाती हैं, और समतल ज्यामिति की अवधारणाओं के निर्माण के लिए आवश्यक हैं।

ज्यामिति में बिंदु सबसे सरल वस्तु है. इसका कोई आयाम नहीं है, अर्थात यह आयामहीन है, और हमें विमान में स्थानों को सटीक रूप से खोजने में मदद करता है। उदाहरण के लिए, अनुप्रयोगों में जीपीएस स्थान का प्रतिनिधित्व करने के लिए इसका उपयोग आम है।

रेखा, बदले में, संरेखित बिंदुओं के एक समूह द्वारा बनाई गई है. एक तल में, ऐसे बिंदु होते हैं जो रेखा पर और रेखा के बाहर होते हैं। इसका केवल एक आयाम है, जिसकी चौड़ाई और गहराई नगण्य है। रेखाएं अनंत हैं और विमान में एक प्रक्षेपवक्र का प्रतिनिधित्व कर सकती हैं।

समतल एक सतह है जिसमें कोई वक्र नहीं हैअर्थात् यह एक द्वि-आयामी क्षेत्र है। समतल दोनों आयामों के लिए अनंत है, और इसमें हम अनंत रेखाएँ सम्मिलित कर सकते हैं। जब हम एक रेखा की कल्पना करते हैं, तो हम जानते हैं कि यह एक निश्चित सतह में समाहित है, जो कि समतल है।

इन आदिम तत्वों का प्रतिनिधित्व और नाम देना, हम निम्नलिखित संकेतन का उपयोग करते हैं:

• बिंदु को हमारे वर्णमाला के बड़े अक्षर जैसे A, B, C द्वारा दर्शाया जाता है।

• रेखा को वर्णमाला के छोटे अक्षर जैसे r, s, t द्वारा दर्शाया जाता है।

• विमान को वर्णमाला के ग्रीक अक्षर, जैसे α, β द्वारा दर्शाया गया है।

बिंदु, रेखा और तल: समतल ज्यामिति की आदिम अवधारणाएँ।

• किरण और रेखा खंड

इन बुनियादी अवधारणाओं के आधार पर किरण और रेखा खंड जैसी महत्वपूर्ण अवधारणाओं को समझना संभव है। किरण एक सीधी रेखा का वह भाग है जिसका आरंभ तो होता है लेकिन अंत नहीं होता।एक किरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए, हम दो बिंदुओं का उपयोग करते हैं - पहला किरण का प्रारंभिक बिंदु है और दूसरा इससे संबंधित कोई भी बिंदु है। बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने वाले दो अक्षरों के ऊपर एक सांकेतिक तीर के साथ, यह दिखाया गया है कि एक किरण बिंदु A से शुरू होती है और बिंदु B: से गुजरती है।

किरण का कोई अंत नहीं है।

इसके अतिरिक्त, वहाँ है रेखा खंड, जो एक रेखा का भी हिस्सा है, लेकिन एक निश्चित शुरुआत और अंत है. रेखा खंड को आमतौर पर उन बिंदुओं के अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है जो इसे इसके ऊपर एक डैश के साथ सीमित करते हैं। उदाहरण के लिए, ।

रेखा खंड, किरण के विपरीत, एक अंत है।

• कोण

रेखा, किरण और रेखा खंड से संबंधित अवधारणाओं को अच्छी तरह से समझकर, कोण के विचार को समझना संभव है। रेखाओं के बीच के क्षेत्र को के रूप में जाना जाएगा कोण जब भी हो दो रेखाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं जिसे शीर्ष कहते हैं.

एक कोण एक शीर्ष पर दो रेखाओं का मिलन है।

• कोणों का वर्गीकरण

कोणों की माप के अनुसार, उन्हें इस प्रकार वर्गीकृत किया जा सकता है:

• तीव्र कोण: यदि माप 90° से कम है;

• सीधा कोण: यदि माप 90 डिग्री के बराबर है;

• अधिक कोण: यदि माप 90° से अधिक और 180° से कम है;

• उथला कोण: यदि माप 180° के बराबर है।

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उनके माप की गणना करने के लिए समतल ज्यामिति के आंकड़े और सूत्र

सपाट आंकड़े एक समतल पर प्रदर्शित ज्यामितीय आकृतियाँ हैं. कुछ सपाट आकृतियों का गहराई से अध्ययन किया गया, जिससे क्षेत्र और परिधि जैसी महत्वपूर्ण अवधारणाएँ उत्पन्न हुईं। इसके अलावा, प्रत्येक आंकड़े की अपनी विशेषताओं का अध्ययन किया गया है।

एक समतल आकृति के सापेक्ष, क्षेत्रफल इसकी सतह का माप है और परिधि आकृति के समोच्च की लंबाई है, अर्थात्, का योग लंबाई अपनी तरफ से। उनके क्षेत्रफल और परिधि की गणना के लिए मुख्य समतल आकृतियों और सूत्रों के लिए नीचे देखें।

• त्रिभुज

हम जानते हैं कि कैसे त्रिकोण फ्लैट आंकड़ा कि तीन पक्ष हैं. इसके क्षेत्रफल का मान ज्ञात करने के लिए, हम आधार की लंबाई, ऊंचाई की लंबाई के गुणनफल की गणना करते हैं और 2 से विभाजित करते हैं। इसका परिमाप भुजाओं को जोड़कर ज्ञात किया जाता है।

त्रिभुज के क्षेत्रफल और परिधि की गणना के लिए सूत्र।

• समानांतर चतुर्भुज

हम जानते हैं कि कैसे समानांतर चतुर्भुज फ्लैट आंकड़ा कि इसकी चार समानांतर भुजाएँ हैं दो बटा दो. एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का मान ज्ञात करने के लिए, बस उसके आधार और ऊँचाई के गुणनफल की गणना करें। इसकी सभी भुजाओं को जोड़कर इसका परिमाप ज्ञात किया जाता है। चूँकि समानांतर भुजाएँ सर्वांगसम हैं, समांतर चतुर्भुज की परिधि की गणना करने का सूत्र आधार का योग है और तिरछी भुजा को 2 से गुणा किया जाता है।

 समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल और परिधि की गणना के लिए सूत्र।

• आयत

आयत है a चौतरफा सपाट आकृति जिसमें सभी समकोण हों. आयत के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम आधार को ऊंचाई से गुणा करते हैं। परिमाप का मान उसकी भुजाओं के योग के बराबर होता है। चूँकि इस आकृति में दो बटा दो सर्वांगसम भुजाएँ हैं, इसलिए इसकी परिधि की गणना करने के लिए एक सूत्र है, जो कि लंबी भुजा का योग है और लंबी भुजा को 2 से गुणा किया जाता है।

 आयत के क्षेत्रफल और परिधि की गणना के लिए सूत्र।

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• हीरा

हीरा एक सपाट आकृति है, जो पिछले वाले के विपरीत, चार सर्वांगसम पक्ष हैं. इसके क्षेत्रफल की गणना करने के लिए इसकी लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है विकर्णों, जहां डी प्रमुख विकर्ण का प्रतिनिधित्व करता है और डी मामूली विकर्ण का प्रतिनिधित्व करता है। चूँकि सभी भुजाएँ सर्वांगसम हैं, समचतुर्भुज की परिधि की गणना करने के लिए, बस भुजा की लंबाई को 4 से गुणा करें।

हीरा

• वर्ग

वर्ग समचतुर्भुज और आयत का एक विशेष मामला है, क्योंकि यह सभी 4 भुजाएँ सर्वांगसम हैं और सभी कोण भी सर्वांगसम हैं. इसके क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, बस इसके आधार को इसकी ऊंचाई से गुणा करें। चूँकि भुजाएँ सर्वांगसम हैं, केवल भुजा के वर्ग की गणना करें। इस प्रकार, इस आकृति में, समलम्ब चतुर्भुज की तरह, सभी सर्वांगसम पक्ष हैं। इसलिए, इसकी परिधि की गणना तब की जाती है जब हम भुजा की लंबाई को 4 से गुणा करते हैं।

वर्ग के क्षेत्रफल और परिधि की गणना के लिए सूत्र।

• ट्रापेज़

ट्रैपेज़ a. है चतुष्कोष क्या इसकी दो समानांतर भुजाएँ हैं और अन्य दो गैर-समानांतर भुजाएँ हैं. इसके क्षेत्रफल की गणना करने के लिए बड़े आधार की लंबाई, छोटे आधार और ऊंचाई को जानना आवश्यक है। इसका परिमाप ज्ञात करने के लिए कोई विशिष्ट सूत्र नहीं है, जिसकी गणना इसके आधारों को तिरछी भुजाओं से जोड़कर की जाती है।

समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल और परिधि की गणना के लिए सूत्र।

• परिधि और वृत्त

• परिधि बिंदुओं के समूह द्वारा बनाई गई आकृति है जो केंद्र के रूप में ज्ञात बिंदु से समान दूरी (r) है।

• वृत्त परिधि से घिरा क्षेत्र है।

क्षेत्रफल और की गणना करने के लिए सर्कल की लंबाई, हम निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करते हैं:

क्षेत्रफल और वृत्त की लंबाई की गणना के लिए सूत्र।

समतल ज्यामिति और स्थानिक ज्यामिति के बीच अंतर

जैसा कि हमने देखा, समतल ज्यामिति समतल पर ज्यामितीय आकृतियों और वस्तुओं का अध्ययन है। फिर, यह दो आयामों तक सीमित है। इसमें समतल आकृतियों का अध्ययन किया जाता है, जैसे वर्ग, आयत और त्रिभुज। पहले से स्थानिक ज्यामिति त्रि-आयामी ब्रह्मांड में तत्वों का अध्ययन करती है. फिर, हमने का अध्ययन किया ज्यामितीय ठोस, जो घन हैं, the पिरामिड, क्षेत्र, दूसरों के बीच में। समतल ज्यामिति स्थानिक ज्यामिति के अध्ययन का आधार है।

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समतल ज्यामिति पर हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1

एक फुटबॉल का मैदान 70 मीटर चौड़ा और 110 मीटर लंबा होता है। यदि वार्म-अप के दौरान कोई एथलीट इस क्षेत्र में 10 लैप पूरे करता है, तो वह कुल वॉक करेगा:

ए) 180 मीटर

बी) 360 मीटर

सी) 1800 मीटर

डी) 3600 मीटर

ई) 7200 मीटर

संकल्प:

वैकल्पिक डी

सबसे पहले, हम इस भूखंड की परिधि की गणना करेंगे:

पी = 2 (70 + 110)

पी = 2 · 180

पी = 360

जैसे ही उन्होंने 10 गोद पूरे किए:

360 · 10 = 3600 मीटर

प्रश्न 2

एक वर्ग का एक गोलाकार आकार होता है, जिसकी त्रिज्या 8 मीटर होती है। = 3 का प्रयोग करने पर इस वर्ग का क्षेत्रफल है :

ए) 158 वर्ग मीटर

बी) 163 वर्ग मीटर

सी) 192 वर्ग मीटर

डी) 210 वर्ग मीटर

ई) 250 वर्ग मीटर

संकल्प:

वैकल्पिक सी

क्षेत्र की गणना करते हुए, हमारे पास है:

ए = r²

ए = 3 · 8²

ए = 3 · 64

ए = 192 एम²