आयत: तत्व, गुण, सूत्र

आयत में से एक है सपाट आंकड़े हमारे दैनिक जीवन में अधिक उपस्थित होते हैं। हम आयताकार फलक वाले बक्सों, दीवारों, मेजों और कई अन्य वस्तुओं का अवलोकन कर सकते हैं। एक आयत एक चार भुजाओं वाला बहुभुज है और इसका नाम इसलिए पड़ा क्योंकि इसमें सभी समकोण होते हैं, अर्थात 90° का माप होता है। एक आयत के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम उसके आधार को उसकी ऊँचाई से गुणा करते हैं। परिमाप इसकी सभी भुजाओं के योग के बराबर है।

यह आकृति 4 शीर्षों और 4 भुजाओं से बनी है। एक आयत में, हम दो विकर्ण खींच सकते हैं, और इन विकर्णों की लंबाई की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है। समकोण समलम्ब और समकोण त्रिभुज भी हैं, जिनका नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि उनके समकोण हैं।

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आयत के बारे में सारांश

• आयत है a बहुभुज जिसमें 4 समकोण हैं।

• एक आयत के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम उसके आधार और ऊँचाई को गुणा करते हैं।

• एक आयत का परिमाप उसकी सभी भुजाओं के योग के बराबर होता है।

• एक आयत में हम दो विकर्ण खींच सकते हैं।

• आयत का विकर्ण आयत को दो त्रिभुजों में विभाजित करता है, इसलिए पाइथागोरस प्रमेय लागू किया जा सकता है।

• यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज के दो समकोण हों, तो उसे समकोण समलम्ब कहा जाता है।

• यदि हम आयत को उसके एक विकर्ण से आधा भाग दें, तो हमें एक समकोण त्रिभुज मिलता है।

एक आयत के तत्व

हमारे दैनिक जीवन में ज्यामितीय आकृतियाँ हमें घेर लेती हैं, और आयत एक बहुत ही सामान्य आकृति है। आयत चार समकोण हैंअर्थात् इसके आंतरिक कोणों की माप 90° है।

आयत में 4 समकोण हैं।

एक आयत में उसके 4 समकोणों के अलावा अन्य महत्वपूर्ण तत्व होते हैं। क्या वे हैं:

• उनके शीर्ष;

• इसके किनारे;

• इसके विकर्ण।

जैसा कि ऊपर चित्र में देखा जा सकता है,

• A, B, C और D आयत के शीर्ष हैं;

• AB, AD, BC और CD आयत की भुजाएँ हैं;

• AC और BC आयत के विकर्ण हैं।

आयत गुण

आयत यह हैविपरीत पक्ष समानांतर, जो इसे a. के रूप में वर्गीकृत करता है समानांतर चतुर्भुज. क्योंकि यह एक समांतर चतुर्भुज है, इसमें महत्वपूर्ण गुण हैं। क्या वे हैं:

• सर्वांगसम विपरीत पक्ष;

• 90° मापने वाले आंतरिक कोण;

• बाहरी कोण जो 90° भी मापते हैं;

• सर्वांगसम विकर्ण;

• विकर्ण जो मध्य बिंदु पर मिलते हैं।

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आयत सूत्र

आयतों से जुड़े महत्वपूर्ण सूत्र हैं, जिनका उपयोग उनके क्षेत्र, परिधि और विकर्णों के माप की गणना के लिए किया जाता है।

• आयत क्षेत्र

एक आयत की सतह के माप की गणना करने के लिए, यानी उसका क्षेत्रफल, हम प्रदर्शन करते हैं गुणा आधार से ऊंचाई तक:

\(ए\ =\ बी\ \cdot एच\ \)

बी आयत आधार

एच आयत ऊंचाई

जरूरी: ध्यान दें कि एक आयत में ऊँचाई AB और DC की भुजाओं की लंबाई के साथ मेल खाती है।

→ आयत के क्षेत्रफल की गणना का उदाहरण

भूमि के एक भूखंड में एक आयताकार आकार होता है जिसका आधार 7.5 मीटर और ऊंचाई 5 मीटर होती है। इस भूमि का क्षेत्रफल कितना है?

संकल्प:

क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, बस 7.5 और 5 के बीच गुणा करें:

\(ए\ =\ 7.5\ \cdot5\)

\(ए=37.5मी^2\)

यह भी पता है: समतल आकृतियों के क्षेत्रफल — प्रत्येक ज्यामितीय आकृति के अनुसार सूत्र

• आयत का परिमाप

की गणना परिमाप किसी भी समतल आकृति के द्वारा दिया जाता है योग अपनी तरफ से. एक आयत में, क्योंकि विपरीत भुजाएँ सर्वांगसम होती हैं, हम सूत्र का उपयोग करके परिमाप की गणना कर सकते हैं:

\(पी=2\बाएं (बी+एच\दाएं)\)

→ एक आयत के परिमाप की गणना का उदाहरण

एक आयताकार भूमि का परिमाप क्या है जिसकी भुजाएँ 7.5 मीटर और 5 मीटर मापी गई हैं?

संकल्प:

हम जानते हैं कि परिधि सभी पक्षों का योग है, इसलिए हमारे पास है:

\(पी=2\ \बाएं (7.5+5\दाएं)\)

\(पी\ =\ 2\ \cdot12,5\ \)

\(पी\ =\ 25\ एम\)

• आयत विकर्ण

एक आयत के विकर्ण को ट्रेस करते समय, हम देखते हैं कि यह आयत को दो त्रिभुजों में विभाजित करता है। वहां से यह संभव है लगा देना पाइथागोरस प्रमेय समकोण त्रिभुज में बनता है.

→ आयत के विकर्ण की गणना का उदाहरण

एक आयत का विकर्ण क्या है जिसका आधार 8 सेमी और ऊँचाई 6 सेमी है?

संकल्प:

विकर्ण की गणना:

डी² = 8² + 6²

डी² = 64 + 36

डी² = 100

डी = \(\sqrt{100}\)

डी = 10 सेमी

आयत समलम्ब चतुर्भुज

आयताकार समलम्ब चतुर्भुज का नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि इसमें दो समकोण होते हैं।

एक समलम्ब चतुर्भुज एक बहुभुज है जिसमें चार भुजाएँ होती हैं, जिनमें से दो समानांतर होती हैं और अन्य दो नहीं होती हैं। एक समलम्ब चतुर्भुज को समकोण समलम्बाकार कहा जाता है जब इसके दो समकोण हैं.

सही त्रिकोण

समकोण त्रिभुज ने कई प्रमेयों के उद्भव को संभव बनाया।

त्रिकोण आयत का गहराई से अध्ययन किया जाता है समतल ज्यामिति, के अध्ययन के अलावा, पाइथागोरस प्रमेय जैसे महत्वपूर्ण प्रमेयों के विकास को संभव बनाना त्रिकोणमिति. जैसा कि हमने पहले देखा, यदि हम आयत को उसके एक विकर्ण से आधा भाग दें, तो हम पाएंगे कि a सही त्रिकोण, क्योंकि त्रिभुज को एक समकोण त्रिभुज माना जाता है जब यह 90°. का आंतरिक कोण होता है.

• समतल ज्यामिति पर वीडियो पाठ

आयत पर हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1

सेउ जोआओ के खेत में एक आयत के आकार का एक क्षेत्र मकई की खेती के लिए अलग रखा गया था। रोपण से पहले, सेउ जोआओ ने इस क्षेत्र को कांटेदार तार के 4 छोरों से घेरने का फैसला किया, ताकि जानवरों और लोगों का प्रवेश करना मुश्किल हो जाए। यह जानते हुए कि खेती का क्षेत्र 22 मीटर चौड़ा और 18 मीटर लंबा है, इस क्षेत्र की बाड़ लगाने के लिए आवश्यक न्यूनतम तार की मात्रा क्या है?

ए) 80 मीटर

बी) 160 मीटर

सी) 240 मीटर

डी) 320 मीटर

संकल्प:

वैकल्पिक डी

सबसे पहले, हम इस क्षेत्र की परिधि की गणना करेंगे:

\(P=2\cdot\बाएं (22+18\दाएं)\)

\(पी\ =\ 2\cdot40\ \)

\(पी\ =\ 80\ एम\ \)

यह जानते हुए कि परिधि 80 मीटर है, हम 80 को 4 से गुणा करेंगे, क्योंकि 4 मोड़ होंगे:

\(80\ \cdot4\ =\ 320\ एम\ \)

प्रश्न 2

निम्नलिखित आयत का क्षेत्रफल क्या है, यह देखते हुए कि इसकी भुजाएँ मीटर में मापी गई हैं?

ए) 45 वर्ग मीटर

बी) 180 वर्ग मीटर

सी) 240 वर्ग मीटर

डी) 252 वर्ग मीटर

संकल्प:

वैकल्पिक डी

हम जानते हैं कि विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं। तो, x का मान ज्ञात करने के लिए, हमारे पास है:

\(3x\ -\ 1\ =\ 2x\ +\ 4\ \)

\(3x\ -\ 2x\ \ =\ 4\ +\ 1\ \)

\(x\ =\ 5\ \)

अब, हम y का मान ज्ञात करेंगे:

\(3y\ -\ 3\ =\ y\ +\ 6\ \)

\(3y\ -\ y\ =\ 6\ +\ 3\ \)

\(2y\ =\ 9\)

\(y=\frac{9}{2}\)

\(y\ =\ 4.5\ \)

क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको भुजाओं की लंबाई ज्ञात करनी होगी। इसलिए, हम आधार समीकरण में x के लिए पाए गए मान और ऊंचाई समीकरण में y के लिए पाए गए मान को प्रतिस्थापित करेंगे।

\(2x\ +\ 4\ =\ 2\ \cdot10\ +\ 4\ =\ 20\ +\ 4\ =\ 24\ \)

\(y\ +\ 6\ =\ 4.5\ +\ 6\ =\ 10.5\ \)

क्षेत्र की गणना करते हुए, हमारे पास है:

\(ए\ =\ बी\ \cdot एच\)

\(ए\ =\ 24\ \cdot10,5\ \)

\(ए=252\ एम^2\)