रूट फ़ंक्शन: यह क्या है, इसकी गणना कैसे करें, उदाहरण

रूट फंक्शन वह फंक्शन है जिसमें रेडिकल के अंदर कम से कम एक वेरिएबल होता है। इसे एक अपरिमेय फलन भी कहा जाता है, जिनमें से सबसे आम है वर्गमूल, हालांकि अन्य भी हैं, जैसे कि क्यूब रूट फ़ंक्शन, अन्य संभावित सूचकांकों के बीच।

रूट फ़ंक्शन का डोमेन खोजने के लिए, इंडेक्स का विश्लेषण करना महत्वपूर्ण है. जब सूचकांक सम होता है, तो मूल के अस्तित्व की स्थिति के अनुसार मूलांक धनात्मक होना चाहिए। रूट फ़ंक्शन की सीमा है सेट वास्तविक संख्याओं का। बनाना भी संभव है किसी फ़ंक्शन का चित्रमय प्रतिनिधित्व स्रोत।

अधिक जानिए:डोमेन, को-डोमेन और इमेज—प्रत्येक क्या दर्शाता है?

रूट फ़ंक्शन सारांश

• पेशा जड़ वह है जिसमें मूलक के अंदर एक चर होता है।

• रूट फ़ंक्शन के डोमेन को खोजने के लिए, रेडिकल के सूचकांक का विश्लेषण करना आवश्यक है।

  • यदि मूल सूचकांक सम है, तो मूलांक में केवल धनात्मक वास्तविक मान होंगे।

  • यदि रूट इंडेक्स विषम है, तो डोमेन वास्तविक संख्या है।

• मूल कार्यों में वर्गमूल फलन सबसे आम है।

• वर्गमूल फलन का ग्राफ लगातार बढ़ता और धनात्मक होता है।

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रूट फंक्शन क्या है?

हम वर्गीकृत करते हैं

कोई समारोह रेडिकल के अंदर एक चर है रूट फ़ंक्शन के रूप में। समान रूप से, हम एक रूट फंक्शन के रूप में विचार कर सकते हैं जिसमें एक चर है जो एक घातांक के बराबर है a अंश स्वयं, जो भिन्न होते हैं जिनका अंश हर से छोटा होता है, क्योंकि जब भी आवश्यक हो हम एक कट्टरपंथी को एक में बदल सकते हैं शक्ति भिन्नात्मक घातांक के साथ।

• रूट फ़ंक्शन के उदाहरण:

रूट फ़ंक्शन की गणना कैसे करें

रूट फ़ंक्शन के गठन के नियम को जानने के बाद, किसी को फ़ंक्शन के संख्यात्मक मान की गणना करनी चाहिए। जैसा कि हमने सभी कार्यों का अध्ययन किया है, हम चर को वांछित मान से बदलकर फ़ंक्शन के संख्यात्मक मान की गणना करते हैं.

• रूट फ़ंक्शन की गणना करने का उदाहरण:

फलन f(x) = 1 + x को देखते हुए, इसका मान ज्ञात कीजिए:

ए) एफ (4)

x = 4 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

च (4) = 1 + 4

एफ(4) = 1 + 2

च(4) = 5

इन कार्यों को अपरिमेय के रूप में जाना जाता है। इस तथ्य से कि आपकी अधिकांश छवियां अपरिमेय संख्याएं हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम इसी फ़ंक्शन के लिए f(2), f(3) की गणना करते हैं:

बी) एफ (2) = 1 + √2

सी) एफ (3) = 1 + √3

हम इसे इस तरह से निरूपित करते हैं, जैसे a योग 1 और अपरिमेय संख्या के बीच। हालाँकि, जब आवश्यक हो, हम इनके लिए एक सन्निकटन का उपयोग कर सकते हैं गैर-सटीक जड़ें.

यह भी देखें: उलटा फ़ंक्शन - फ़ंक्शन का प्रकार जो फ़ंक्शन f(x) का ठीक उलटा करता है

रूट फ़ंक्शन का डोमेन और रेंज

जब हम एक रूट फंक्शन का अध्ययन करते हैं, मामले का विश्लेषण करना आवश्यक है, ताकि अच्छी तरह से परिभाषित किया जा सके आपका कार्यक्षेत्र. डोमेन सीधे रूट इंडेक्स पर निर्भर करता है और इसके रेडिकैंड में क्या है। रूट फ़ंक्शन की सीमा हमेशा होती है वास्तविक संख्याओं का समुच्चय.

यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• उदाहरण 1:

सबसे सामान्य और सरल रूट फ़ंक्शन से शुरू होकर, निम्न फ़ंक्शन:

एफ (एक्स) = √x

संदर्भ का विश्लेषण करते हुए, यह ध्यान दिया जाता है कि, चूंकि यह एक वर्गाकार फलन है और परास वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, सूचकांक के सम होने पर समुच्चय में कोई ऋणात्मक मूल नहीं होता है। इसलिए, फलन का प्रांत धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, अर्थात्:

डी = आर⁺

• उदाहरण 2:

चूँकि एक वर्गमूल है, इस फ़ंक्शन के लिए वास्तविक संख्याओं के सेट में मौजूद होना, या जड़ना होना चाहिए शून्य से अधिक या उसके बराबर. तो, हम गणना करते हैं:

एक्स - 4 0

एक्स 4

तो फ़ंक्शन का डोमेन है:

डी = {एक्स ∈ आर | एक्स 4}

• उदाहरण 3:

इस फ़ंक्शन में कोई प्रतिबंध नहीं है, क्योंकि रूट की अनुक्रमणिका विषम है, इसलिए मूलांक ऋणात्मक हो सकता है। इस प्रकार, इस फलन का प्रांत वास्तविक संख्याएँ होंगी:

डी = आर

साथ ही पहुंचें: रूटिंग — संख्यात्मक संक्रिया शक्ति के विपरीत

रूट फ़ंक्शन का ग्राफ़

x फलन के वर्गमूल में, आलेख हमेशा धनात्मक होता है. दूसरे शब्दों में, फ़ंक्शन की सीमा हमेशा एक सकारात्मक वास्तविक संख्या होती है, x जो मान ले सकता है वह हमेशा सकारात्मक होता है, और ग्राफ हमेशा बढ़ रहा है।

• वर्गमूल फ़ंक्शन का उदाहरण:

आइए x के वर्गमूल फलन के आलेखीय निरूपण को देखें।

• क्यूब रूट फ़ंक्शन का उदाहरण:

अब, हम एक विषम अनुक्रमणिका के साथ एक फलन का रेखांकन करेंगे। क्यूबिक फ़ंक्शंस जैसे अन्य रूट फ़ंक्शंस का प्रतिनिधित्व करना संभव है। इसके बाद, आइए x के घनमूल फलन के निरूपण को देखें। बता दें कि इस मामले में चूंकि रूट में एक विषम सूचकांक है, x नकारात्मक मान स्वीकार कर सकता है, और छवि भी नकारात्मक हो सकती है.

यह भी पढ़ें:किसी फ़ंक्शन का ग्राफ कैसे बनाएं?

रूट फंक्शन सॉल्व्ड एक्सरसाइज

प्रश्न 1

निम्नलिखित रूट फ़ंक्शन को देखते हुए, सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के सेट में डोमेन और वास्तविक संख्याओं के सेट में श्रेणी के साथ, x का मान क्या होना चाहिए ताकि f(x) = 13 हो?

ए) 3

बी 4

सी) 5

डी) 6

ई) 7

संकल्प:

वैकल्पिक सी

चूँकि फलन का प्रांत धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, इसलिए f(x) को 13 के बराबर करने वाला मान x = 5 है।

प्रश्न 2

फलन f(x) के बारे में, निम्नलिखित कथनों को आंकें।

I → इस फलन का प्रांत 5 से बड़ी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

II → इस फलन में, f(1) = 2.

III → इस फलन में, f( - 4) = 3।

सही विकल्प को चिह्नित करें:

ए) केवल कथन I गलत है।

बी) केवल कथन II गलत है।

सी) केवल कथन III गलत है।

डी) सभी कथन सत्य हैं।

संकल्प:

वैकल्पिक ए

मैं → असत्य

हम जानते हैं कि 5 - x> 0, इसलिए हमारे पास है:

- एक्स> - 5 (-1)

एक्स <5

इसलिए डोमेन वास्तविक संख्या 5 से कम है।

द्वितीय → सत्य

एफ (1) की गणना करते हुए, हमारे पास है:

III → सत्य

राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा. द्वारा
गणित अध्यापक