का गुणनखंडन बहुआयामी पद बहुपद को फिर से लिखने के लिए विकसित विधियों के होते हैं बहुपदों के बीच एक उत्पाद के रूप में। बहुपद को के रूप में लिखिए गुणा दो या दो से अधिक कारकों के बीच बीजीय व्यंजकों को सरल बनाने और एक बहुपद को समझने में मदद करता है।
फैक्टरिंग के विभिन्न मामले हैं, और उनमें से प्रत्येक के लिए विशिष्ट तकनीकें हैं।. मौजूदा मामले हैं: साक्ष्य में सामान्य कारक द्वारा फैक्टरिंग, समूह द्वारा फैक्टरिंग, दो वर्गों के बीच का अंतर, पूर्ण वर्ग ट्रिनोमियल, दो घनों का योग और दो घनों का अंतर।
अधिक पढ़ें:बहुपद क्या है?
गुणनखंडन बहुपद पर सारांश
बहुपदों का गुणनखंडन बहुपद को बहुपदों के बीच उत्पाद के रूप में निरूपित करने के लिए उपयोग की जाने वाली तकनीकें हैं।
हम इस गुणनखंड का उपयोग सरल बनाने के लिए करते हैं बीजीय व्यंजक.
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फैक्टरिंग मामले हैं:
साक्ष्य में सामान्य कारक द्वारा फैक्टरिंग;
समूहन द्वारा फैक्टरिंग;
पूर्ण वर्ग त्रिपद;
दो वर्गों का अंतर;
दो घनों का योग;
दो घनों का अंतर.
बहुपद फैक्टरिंग मामले
एक बहुपद का गुणनखंड करने के लिए, यह विश्लेषण करना आवश्यक है कि किस फैक्टरिंग मामले में स्थिति फिट बैठती है, जा रहा है: साक्ष्य में सामान्य कारक द्वारा फैक्टरिंग, समूह द्वारा फैक्टरिंग, दो वर्गों के बीच का अंतर, पूर्ण वर्ग ट्रिनोमियल, दो क्यूब्स का योग और दो क्यूब्स का अंतर। आइए देखें कि उनमें से प्रत्येक में गुणनखंडन कैसे करें।
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साक्ष्य में सामान्य कारक
हम इस गुणन विधि का उपयोग तब करते हैं जब बहुपद के सभी पदों में एक समान गुणनखंड हो. इस सामान्य कारक को एक कारक के रूप में हाइलाइट किया जाएगा, और दूसरे कारक, के परिणाम के रूप में विभाजन उस सामान्य कारक द्वारा शर्तों को कोष्ठक के अंदर रखा जाएगा।
उदाहरण 1:
20xy + 12x² + 8xy²
इस बहुपद के प्रत्येक पद का विश्लेषण करने पर यह देखा जा सकता है कि x सभी पदों में दोहराया जाता है। साथ ही, सभी गुणांक (20, 12, और 8) 4 के गुणज हैं, इसलिए सभी पदों के लिए सामान्य गुणनखंड 4x है।
प्रत्येक पद को उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
20xy: 4x = 5y
12x²: 4x = 3x
8xy²: 4x = 2y²
अब, हम सार्व गुणनखंड को साक्ष्य में रखते हुए गुणनखंडन लिखेंगे और योग कोष्ठक में पाए गए परिणामों में से:
4x (5y + 3x + 2y²)
उदाहरण 2:
2a²b² + 3a³b – 4a5ब
प्रत्येक पद के शाब्दिक भाग का विश्लेषण करने पर यह देखा जा सकता है कि उन सभी में a²b की पुनरावृत्ति होती है। ध्यान दें कि ऐसी कोई संख्या नहीं है जो एक ही समय में 2, 3 और - 4 को विभाजित करती हो। अतः उभयनिष्ठ गुणनखंड केवल a²b होगा।
2a²b²: a²b = 2b
3a³b: a²b = 3a
45बी³: ए²बी = 4ए³
इस प्रकार, इस बहुपद का गुणनखंडन होगा:
a²b (2b + 3a + 4a³)
यह भी देखें: बहुपदों का जोड़, घटाव और गुणा — समझें कि वे कैसे किए जाते हैं
समूहीकरण
यह तरीका है जब बहुपद के सभी पदों के लिए कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो. इस मामले में, हम उन शब्दों की पहचान करते हैं जिन्हें एक सामान्य कारक के साथ समूहीकृत किया जा सकता है और उन्हें हाइलाइट किया जा सकता है।
उदाहरण:
निम्नलिखित बहुपद का गुणनखंड कीजिए:
कुल्हाड़ी + 4बी + बीएक्स + 4ए
हम उन पदों को समूहित करेंगे जिनमें a और b एक उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में हैं:
कुल्हाड़ी + 4ए + बीएक्स + 4बी
ए और बी को दो बटा दो के रूप में प्रमाण में रखने पर, हमारे पास है:
ए(एक्स+4)+बी(एक्स+4)
ध्यान दें कि कोष्ठक के अंदर गुणनखंड समान हैं, इसलिए हम इस बहुपद को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं:
(ए + बी) (एक्स + 4)
पूर्ण वर्ग त्रिपद
त्रिपद 3 पदों वाले बहुपद हैं। एक बहुपद को पूर्ण वर्ग त्रिपद के रूप में जाना जाता है, जब वह होता है चुकता योग या अंतर चुकता परिणाम, अर्थात्:
a² + 2ab + b² = (a + b)
a² – 2ab + b² = (a – b)
जरूरी: हर बार तीन पद नहीं होने पर यह बहुपद एक पूर्ण वर्ग त्रिपद होगा। इसलिए, गुणनखंड करने से पहले, यह सत्यापित किया जाना चाहिए कि क्या इस मामले में त्रिपद फिट बैठता है।
उदाहरण:
गुणनखंड, यदि संभव हो तो, बहुपद
x² + 10x + 25
इस त्रिपद का विश्लेषण करने के बाद, हम इसे निकालेंगे वर्गमूल पहला और आखिरी कार्यकाल:
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\sqrt{25}=5\)
यह सत्यापित करना महत्वपूर्ण है कि केंद्रीय पद, यानी 10x, बराबर है \(2\cdot\ x\cdot5\). ध्यान दें कि यह वास्तव में वही है। तो यह एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है, जिसके द्वारा गुणनखंड किया जा सकता है:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
दो वर्गों का अंतर
जब हमारे पास दो वर्गों का अंतर होता है, हम इस बहुपद को योग और अंतर के गुणनफल के रूप में फिर से लिखकर गुणनखंड कर सकते हैं.
उदाहरण:
बहुपद का गुणनखंड करें:
4x² - 36y²
सबसे पहले, हम इसके प्रत्येक पद के वर्गमूल की गणना करेंगे:
\(\sqrt{4x^2}=2x\)
\(\sqrt{36y^2}=6y\)
अब, हम इस बहुपद को पाए गए मूलों के योग और अंतर के गुणनफल के रूप में फिर से लिखेंगे:
4x² - 36y² = (2x + 6y) (2x - 6y)
यह भी पढ़ें: बीजीय गणना में एकपदी शामिल है — जानें कि चार संक्रियाएं कैसे होती हैं
दो घनों का योग
दो घनों का योग, अर्थात् a³ + b³, के रूप में विभाजित किया जा सकता है:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
उदाहरण:
बहुपद का गुणनखंड करें:
एक्स³ + 8
हम जानते हैं कि 8 = 2³, इसलिए:
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)
दो घनों का अंतर
दो घनों का अंतर, अर्थात् a³ – b³, दो घनों के योग के विपरीत नहीं, के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है:
a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)
उदाहरण:
बहुपद का गुणनखंड करें
8x³ - 27
हम जानते हैं कि:
8x³ = (2x)
27 = 3³
तो हमें करना होगा:
\(8x^3-27=\बाएं (2x-3\दाएं)\)
\(8x^3-27=\बाएं (2x-3\दाएं)\बाएं (4x^2+6x+9\दाएं)\)
गुणनखंडन बहुपदों पर हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1
बीजीय व्यंजक को सरल बनाने के लिए बहुपद गुणनखंड का उपयोग करना \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), हम ढूंढ लेंगे:
ए) एक्स + 2
बी) एक्स - 2
सी) \(\frac{x-2}{x+2}\)
डी) \(\frac{x+2}{x-2}\)
ई) (एक्स - 2) (एक्स + 2)
संकल्प:
वैकल्पिक डी
अंश को देखते हुए, हम देखते हैं कि x² + 4x + 4 एक पूर्ण वर्ग त्रिपद का एक मामला है और इसे इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
अंश x² – 4 दो वर्गों का अंतर है और इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
x² - 4 = (x + 2) (x - 2)
इसलिए:
\(\frac{\बाएं (x+2\दाएं)^2}{\बाएं (x+2\दाएं)\बाएं (x-2\दाएं)}\)
ध्यान दें कि पद x + 2 अंश और हर दोनों में प्रकट होता है, इसलिए इसका सरलीकरण निम्न द्वारा दिया गया है:
\(\frac{x+2}{x-2}\)
प्रश्न 2
(यूनिफिल इंस्टीट्यूट) यह मानते हुए कि दो संख्याएँ, x और y, ऐसी हैं कि x + y = 9 और x² - y² = 27, x का मान बराबर है:
ए) 4
बी) 5
सी) 6
डी) 7
संकल्प:
वैकल्पिक सी
ध्यान दें कि x² - y² दो वर्गों के बीच का अंतर है और योग और अंतर के उत्पाद के रूप में इसका गुणनखंड किया जा सकता है:
x² - y² = (x + y) (x - y)
हम जानते हैं कि x + y = 9:
(एक्स + वाई) (एक्स - वाई) = 27
9 (एक्स - वाई) = 27
एक्स - वाई = 27: 9
एक्स - वाई = 3
तब हम एक सेट कर सकते हैं समीकरण प्रणाली:
दो पंक्तियों को जोड़ना:
2x + 0 y = 12
2x = 12
एक्स = \(\frac{12}{2}\)
एक्स = 6
राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा. द्वारा
गणित अध्यापक
