अनुपात कारणों के बीच एक समानता है। दो अनुपात आनुपातिक होते हैं जब पहले अनुपात के अंश और हर को विभाजित करने का परिणाम दूसरे को विभाजित करने के परिणाम के बराबर होता है।
कहा पे डब्ल्यू, डब्ल्यू, डब्ल्यू तथा डी वे शून्येतर संख्याएं हैं और उसी क्रम में वे एक अनुपात बनाते हैं।
हम निम्नलिखित तरीकों का अनुपात पढ़ते हैं:
- NS के लिए है बी उसी कारण से सी के लिए है डी;
- NS के लिए है बी जैसा सी के लिए है डी;
- NS तथा बी के समानुपाती हैं सी तथा डी.
ठीक अनुपात में:
उदाहरण
समानता सत्य है क्योंकि 4/2 = 2, साथ ही 12/6 = 2।
आनुपातिक गुण
गुण गणितीय उपकरण हैं जो समस्या समाधान की सुविधा प्रदान करते हैं। अनुपात के गुणों का उपयोग करके, हम अन्य अनुपात बना सकते हैं, जो समस्याओं को हल करने के लिए अधिक उपयोगी होते हैं।
अनुपात की मौलिक संपत्ति
साधनों का उत्पाद चरम सीमाओं के उत्पाद के बराबर होता है।
अनुपात होने के कारणों के बीच निम्नलिखित समानता,
तो यह सच है कि:
इस गुण को क्रॉस-गुणा कहना आम बात है। इस गुण का प्रयोग तीन के नियम नामक प्रक्रिया में किया जाता है।
उदाहरण
अन्य गुण
कुछ गुणों को विशेष नाम नहीं दिए गए हैं, हालांकि वे गणना में महत्वपूर्ण हैं।
संपत्ति 1
हरों को उनके अनुपातों के अंशों में जोड़ने (या घटाव) करने से अनुपात में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
अनुपात सच होने के नाते
तो यह इसके लायक है:
पहले अनुपात में हम हर b को जोड़ते या घटाते हैं और दूसरे अनुपात में हम हर d को जोड़ते या घटाते हैं।
उदाहरण
तो यह इसके लायक है:
संपत्ति 2
दूसरे अनुपात के अंशों और हरों का जोड़ (या घटाव) पहले अनुपात के अनुपात के बराबर होता है।
यदि अनुपात सत्य है:
तो यह इसके लायक है:
उदाहरण
यदि अनुपात सत्य है:
तो यह इसके लायक है:
अभ्यास
अभ्यास 1
एक नक्शा 1:3500 (1 से 3500) सेंटीमीटर के पैमाने को प्रस्तुत करता है। मानचित्र पर 8 सेंटीमीटर का माप किया गया था। मानचित्र पर यह माप कितने वास्तविक सेंटीमीटर को दर्शाता है?
पैमाने को कारण के रूप में लिखा जा सकता है .
इस कारण से, अंश मानचित्र पर सेंटीमीटर का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि हर वास्तविक सेंटीमीटर का प्रतिनिधित्व करता है।
उस क्रम में हम अज्ञात मान का कारण लिख सकते हैं।
मानचित्र पर मापे गए सेंटीमीटर अंश में हैं, जबकि वास्तविक सेंटीमीटर, जिसे हम निर्धारित करना चाहते हैं, हर में हैं।
इन दो कारणों के बीच अनुपात लिखने पर, हमारे पास है:
अज्ञात मूल्य निर्धारित करने के लिए, हम अनुपात की मौलिक संपत्ति का उपयोग करते हैं: चरम का उत्पाद साधनों के उत्पाद के बराबर होता है।
इसलिए, मानचित्र पर 8cm वास्तविक 28,000cm के बराबर है।
व्यायाम 2
कैटरीना अपने परिवार के लिए एक केक बनाने जा रही है और इसके लिए उसने एक ऐसी रेसिपी बनाई है जिसमें निम्नलिखित मात्राएँ बताई गई हैं:
चार अंडे;
2 कप चीनी;
300 ग्राम गेहूं का आटा।
चूंकि उसके पास 7 अंडे हैं और वह एक बार में उनका उपयोग करना चाहेगी, इसलिए नुस्खा में अंडे की मात्रा बढ़ाना, अन्य अवयवों की मात्रा को आनुपातिक रूप से बढ़ाना आवश्यक है। इसलिए इसकी तैयारी में अन्य सामग्री का कितना उपयोग करना चाहिए?
आइए प्रत्येक घटक की नई आनुपातिक मात्रा निर्धारित करें।
चीनी
मूल नुस्खा में, प्रत्येक 4 अंडे के लिए 2 कप चीनी का उपयोग किया जाता है।
नई तैयारी में, कैटरीना 7 अंडे का उपयोग करेगी और, हालांकि हमें अभी भी चीनी के कप की संख्या नहीं पता है, अभी के लिए, हम इसे x कहेंगे।
चूंकि इन अनुपातों को आनुपातिक होने की आवश्यकता है, हम उनका मिलान करेंगे।
x का मान निर्धारित करने के लिए, हम अनुपातों के मूल गुण का उपयोग करते हैं, जो कहता है कि चरम का गुणनफल साधनों के गुणनफल के बराबर होता है।
एक्स को समानता के बाईं ओर अलग करना:
इस तरह कैटरीना नई तैयारी में साढ़े तीन कप चीनी का इस्तेमाल करेगी।
गेहूं की मात्रा के लिए इसी तर्क के बाद, हमारे पास है:
इसलिए कैटरीना को अपने केक की नई तैयारी में 525 ग्राम गेहूं के आटे का उपयोग करना होगा।
इससे और जानें:
अनुपात और अनुपात
कारण और अनुपात में व्यायाम
समानता
आनुपातिक मात्रा
