न्यूटन का द्विपद क्या कोई द्विपद एक संख्या तक बढ़ा हुआ है नहीं न किस पर नहीं न यह एक प्राकृतिक संख्या है। भौतिक विज्ञानी के अध्ययन के लिए धन्यवाद आइजैक न्यूटन द्विपद की शक्तियों के बारे में, यह संभव था नियमितताओं की जाँच करें जो बहुपद के प्रतिनिधित्व की सुविधा प्रदान करते हैं द्विपद की शक्ति से उत्पन्न।
इन नियमितताओं का पालन करते हुए, यह भी संभव हो गया की शर्तों में से केवल एक खोजें बहुपद, एक द्विपद के सामान्य पद के सूत्र का उपयोग करके, यह सब गणना किए बिना। इसके अलावा, न्यूटन ने के बीच एक संबंध देखा संयुक्त विश्लेषणए और न्यूटन के द्विपद, क्या बना पास्कल का त्रिभुज न्यूटन द्विपद के अधिक व्यावहारिक विकास के लिए एक महान उपकरण।
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न्यूटन के द्विपद की परिभाषा
हम द्विपद के रूप में परिभाषित करते हैंबहुपद जिसमें दो पद हों। गणित और भौतिकी में कुछ अनुप्रयोगों में, द्विपद की शक्तियों की गणना करना आवश्यक है। प्रक्रिया को सुविधाजनक बनाने के लिए, आइजैक न्यूटन ने महत्वपूर्ण नियमितताओं को देखा जो हमें उस बहुपद को खोजने की अनुमति देता है जो एक द्विपद की शक्ति से उत्पन्न होता है।
कुछ मामलों के लिए, गणना काफी सरल है: बस प्रदर्शन करें वितरण संपत्ति का उपयोग करके द्विपद का गुणन स्वयं करें। क्रम ३ की शक्ति तक, हम बिना अधिक प्रयास के विकसित होते हैं, क्योंकि वे प्रसिद्ध हैं उल्लेखनीय उत्पाद, लेकिन उच्च शक्तियों के लिए, पद के गुणन से ही गणना करें नहीं न कभी-कभी यह बहुत काम होता है।
उदाहरण
याद रखें कि प्रत्येक संख्या को शून्य तक बढ़ाया गया 1 के बराबर है और प्रत्येक संख्या को 1 तक बढ़ा दिया गया है, जो कि द्विपद के लिए भी सत्य है।
न्यूटन ने देखा प्रत्येक पद के गुणांक और संयोजन के बीच संबंध relationship, जिसने निम्नलिखित सूत्र से अधिक सीधे एक द्विपद की शक्ति की गणना की अनुमति दी:
सूत्र को समझना:
आइए पहले प्रत्येक पद के शाब्दिक भाग को देखें, जो कि इसके घातांक वाला अक्षर है। ध्यान दें कि प्रत्येक पद के लिए. का घातांक “a” घट रहा था, n से शुरू होकर, फिर n – 1 पर जा रहा था, और इसी तरह यह अंतिम पद में 1 और अंतिम पद में 0 था (जिससे अक्षर “a” अंतिम पद में भी प्रकट नहीं होता)।
की पहचान और इसके प्रतिपादक:
अब आइए "बी" के घातांक का विश्लेषण करें, जो हमेशा बढ़ रहे हैं, पहले पद में 0 से शुरू (the .) जो अक्षर b को पहले पद में प्रकट नहीं करता है), दूसरे पद में १, और इसी तरह जब तक यह बराबर नहीं है नहीं नअंतिम कार्यकाल में।
की पहचान ख और इसके प्रतिपादक:
शाब्दिक भाग को समझते हुए आइए गुणांक का विश्लेषण करें, जो के सभी संयोजन हैं नहीं न तत्वों को 0 से 0, 1 से 1, 2 से 2 तक, और इसी तरह अंतिम पद तक लिया जाता है, जो कि का संयोजन है नहीं न taken से लिए गए तत्व नहीं न में नहीं न.
यह उल्लेखनीय है कि की गणना में महारत हासिल करना महत्वपूर्ण है संयोजनों गुणांक खोजने में सक्षम होने के लिए। याद रखें, संयोजनों की गणना करने के लिए, हमें यह करना होगा:
संयोजन प्रतिक्रिया हमेशा a होती है प्राकृतिक संख्या.
यह भी देखें: बहुपद विभाजन: इसे कैसे हल करें?
उदाहरण: न्यूटन के द्विपद (a+b) को चतुर्थ घात तक परिकलित करें।
पहला कदम: सूत्र का प्रयोग कर बहुपद लिखिए।
दूसरा चरण: संयोजनों की गणना करें।
संयोजनों को प्रतिस्थापित करने पर, पाया जाने वाला बहुपद होगा:
आप देख सकते हैं कि इस तरह के मामलों को हल करना अभी भी घातांक के आधार पर श्रमसाध्य है, लेकिन फिर भी यह वितरण संपत्ति का उपयोग करके गणना करने से तेज़ है। एक उपकरण जो इस गणना में मदद कर सकता है वह है पास्कल का त्रिकोण।
पास्कल का त्रिभुज
पास्कल त्रिभुज को संयोजनों के अध्ययन के दौरान ब्लेज़ पास्कल द्वारा विकसित किया गया था। वह है एक तरीका जो संयोजनों की गणना को आसान बनाता है. पास्कल त्रिभुज का उपयोग करने से सभी संयोजनों की गणना किए बिना न्यूटन द्विपद के शाब्दिक भागों के गुणांकों को खोजना तेज़ और आसान हो जाता है।
पास्कल के त्रिभुज को सीधे बनाने के लिए, आइए दो स्थितियों को याद करें जहां संयोजन गणना 1 के बराबर है।
अत: सभी रेखाओं का प्रथम और अंतिम पद सदैव 1 के बराबर होता है। केंद्रीय शब्द इसके ऊपर के पद के योग और पिछले कॉलम से उसके पड़ोसी के योग से बनाए गए हैं, जैसा कि नीचे दिए गए प्रतिनिधित्व में है:
अगली पंक्तियाँ बनाने के लिए, बस याद रखें कि पहला पद 1 है और अंतिम भी। फिर केंद्रीय शर्तों को खोजने के लिए रकम करना पर्याप्त है।
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उदाहरण: छठी शक्ति के लिए (a+b) की गणना करें।
पहला कदम: द्विपद का सूत्र लागू करें।
दूसरा चरण: पास्कल के त्रिभुज को छठी पंक्ति तक बनाएँ।
तीसरा चरण: संयोजनों को पंक्ति ६ के मानों से बदलें, जो द्विपद के प्रत्येक पद के गुणांक हैं।
यह निर्धारित करता है कि हम द्विपद से कितनी रेखाएँ बनाने जा रहे हैं, n का मान है। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि पहली पंक्ति शून्य है।
न्यूटन का द्विपद सामान्य पद
न्यूटन का सामान्य पद द्विपद एक सूत्र है जो हमें संपूर्ण बहुपद को विकसित किए बिना द्विपद के एक पद की गणना करने की अनुमति देता है, अर्थात हम कर सकते हैं पहले से अंतिम तक किसी भी शब्द की पहचान करें। सूत्र के साथ, हम सीधे उस शब्द की गणना करते हैं जिसे हम ढूंढ रहे हैं।
द: पहले कार्यकाल
बी: दूसरी पारी
एन: प्रतिपादक
पी+1: जाँच अवधि
उदाहरण: द्विपद का 11वाँ पद ज्ञात कीजिए (a + b)12.
संकल्प:
यह भी देखें: प्रदर्शनों के माध्यम से बीजगणितीय कलन का
हल किए गए व्यायाम
प्रश्न 1 - (सेसग्रानरियो) x. का गुणांक4 बहुपद में P(x) = (x + 2)6:
क) 64
बी) 60
ग) 12
घ) 4
ई) 24
संकल्प
हम द्विपद को हल करने में एक विशिष्ट शब्द खोजना चाहते हैं; इसके लिए हमें p का मान ज्ञात करना होगा।
हम जानते हैं कि इस मामले में पहला पद x के बराबर है, इसलिए n - p = 4, n = 6 के रूप में, हमारे पास है:
इसलिए, गुणांक 60 (वैकल्पिक बी) है।
प्रश्न 2 - (यूनिफ़ोर) यदि द्विपद विकास का केंद्रीय पद (4x + ky)10 8064x. के लिए5आप5, तो k के मान के संगत विकल्प होगा:
ए) 1/4
बी) 1/2
ग) 1
घ) 2
ई 4
संकल्प: हम जानते हैं कि केंद्रीय पद के गुणांक समान हैं (p= 5)। आइए, p+1=6 के बाद से छठा पद ज्ञात करें। इसके अलावा, हमारे पास a = 4x; बी = के और एन = 10, तो:
वैकल्पिक डी.
राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा द्वारा
गणित अध्यापक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/binomio-de-newton.htm