हम जानते हैं कि ग्रहों की कक्षाएँ अण्डाकार होती हैं, हालाँकि, के लिए केप्लर के तीसरे नियम की कटौती, आइए एक वृत्ताकार कक्षा पर विचार करें। यद्यपि निम्नलिखित प्रदर्शन वृत्ताकार कक्षाओं पर आधारित है, परिणाम अण्डाकार कक्षाओं के लिए भी मान्य हैं।
चित्र में हमारे पास सूर्य की परिक्रमा करने वाला एक ग्रह है। अभिकेन्द्र बल (Fc) सूर्य द्वारा लगाया गया आकर्षण बल है। ग्रहों और उपग्रहों के बीच लगाए गए आकर्षण बलों की उपेक्षा की जाती है, यह इस तथ्य के कारण है कि उनका द्रव्यमान सूर्य के द्रव्यमान से बहुत छोटा है।
द्रव्यमान के ग्रह की तरह (एम) सूर्य के चारों ओर एक वृत्ताकार गति में और कोणीय वेग ( ) के साथ परिक्रमा करता है, ग्रह पर परिणामी बल, जिसे अभिकेन्द्र बल (Fc) कहा जाता है, द्वारा दिया जाता है:
एफसी= एमω2 आर
किस पर:
एफसी:सेंट्ररपेटल फ़ोर्स;
मी: ग्रह का द्रव्यमान;
: ग्रह का कोणीय वेग;
r: ग्रह की कक्षा की त्रिज्या।
कोणीय वेग द्वारा दिया जाता है:
किस पर:
टी: ग्रह पर क्रांति की अवधि।
समीकरण 2 को समीकरण 1 में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है:
ध्यान दें कि केन्द्राभिमुख बल सूर्य और ग्रह के बीच आकर्षण का गुरुत्वाकर्षण बल है। इस प्रकार, सूर्य के द्रव्यमान को (M) और ग्रह की कक्षा त्रिज्या (r) के रूप में मानते हुए, जो कि सूर्य और ग्रह के बीच की दूरी है, सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम निम्नानुसार लिखा जा सकता है:
किस पर:
समीकरण 3 को 4 से समीकरण करने पर, हमारे पास होगा:
जल्दी:
समीकरण 5 को देखें और ध्यान दें कि पद 
स्थिर है, क्योंकि अज्ञात सार्वभौमिक स्थिरांक और सूर्य के द्रव्यमान को संदर्भित करता है, इसलिए समीकरण को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:
टी2=केआर3
किस पर:
के: आनुपातिकता स्थिरांक।
समीकरण 6 हमें बताता है कि किसी ग्रह के सूर्य के चारों ओर परिक्रमण काल का वर्ग उनके बीच की दूरी के घन के समानुपाती होता है।
उपरोक्त समीकरण से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि ग्रह सूर्य से जितना दूर होगा, उसकी परिक्रमा की अवधि उतनी ही लंबी होगी।
केपलर का तीसरा नियम, जिसे हमने अभी-अभी निकाला है, चंद्रमा और कृत्रिम उपग्रहों की गति के लिए पृथ्वी के संबंध में भी मान्य है।
नाथन ऑगस्टो. द्वारा
भौतिकी में स्नातक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/fisica/deducao-terceira-lei-kepler.htm
