बहुपद फलन: यह क्या है, उदाहरण, रेखांकन

एक समारोह कहा जाता है बहुपद फलन जब इसका निर्माण नियम a है बहुपद. बहुपद कार्यों को उनके बहुपद की डिग्री के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि फलन निर्माण नियम का वर्णन करने वाले बहुपद का घात दो है, तो हम कहते हैं कि यह द्वितीय घात का बहुपद फलन है।

एक बहुपद फलन के संख्यात्मक मान की गणना करने के लिए, बस वैरिएबल को वांछित मान से बदलें, बहुपद को एक संख्यात्मक व्यंजक में बदलना। बहुपद फलनों के अध्ययन में आलेखीय निरूपण काफी बार-बार होता है। प्रथम डिग्री बहुपद फलन में एक ग्राफ हमेशा एक सीधी रेखा के बराबर होता है। द्वितीय डिग्री फ़ंक्शन में एक परवलय के बराबर एक ग्राफ होता है।

यह भी पढ़ें: समीकरण और फ़ंक्शन के बीच अंतर क्या हैं?

एक बहुपद कार्य क्या है?

एक समारोह का ग्राफ।

एक समारोह एफ: R → R एक बहुपद फलन के रूप में जाना जाता है, जब इसका गठन नियम एक बहुपद है:

एफ (एक्स) = ए_{नहीं न}एक्स^{नहीं न} + द_एन-1एक्स^एन-1 + द_एन-2एक्स^एन-2 + … +₂एक्स² + द₁एक्स + ए₀

किस पर:

x → चर है।

n → एक है प्राकृतिक संख्या.

_{नहीं न}, ए_एन-1, ए_एन-2,... The₂,द₁ और यह₀ → गुणांक हैं।

गुणांक हैं वास्तविक संख्याये जो बहुपद चर के साथ है।

उदाहरण:

• एफ(एक्स) = एक्स⁵ + 3x⁴ - 3x³ + एक्स² - एक्स + 1

• एफ(एक्स) = -2x³ + एक्स - 7

• एफ(एक्स) = एक्स⁹

बहुपद फ़ंक्शन प्रकार का निर्धारण कैसे करें?

बहुपद फलन कई प्रकार के होते हैं। शे इस बहुपद की डिग्री के अनुसार वर्गीकृत। जब डिग्री 1 होती है, तो फ़ंक्शन को डिग्री 1 के बहुपद फलन या 1 डिग्री के बहुपद फलन के रूप में जाना जाता है, या एक एफ़िन फ़ंक्शन भी कहा जाता है। डिग्री 1 से डिग्री 6 तक के कार्यों के उदाहरणों के लिए नीचे देखें।

यह भी देखें: एक इंजेक्टर फ़ंक्शन क्या है?

बहुपद समारोह की डिग्री

बहुपद फलन की घात क्या परिभाषित करती है, बहुपद की घात है, इसलिए हमारे पास किसी भी डिग्री का बहुपद कार्य हो सकता है.

• डिग्री 1 बहुपद समारोह

एक बहुपद फलन के लिए या तो घात 1 या प्रथम घात बहुपद होना चाहिए, समारोह के गठन का कानून होना चाहिए एफ(एक्स) = कुल्हाड़ी + बी, जिसमें a और b वास्तविक संख्याएँ हैं और a 0 है। डिग्री 1 बहुपद समारोह इसे एक affine फ़ंक्शन के रूप में भी जाना जाता है।

उदाहरण:

• एफ(एक्स) = 2x - 3

• एफ(एक्स) = -एक्स + 4

• एफ(एक्स) = -3x

• डिग्री 2 बहुपद समारोह

एक बहुपद फलन के लिए 2 डिग्री बहुपद या 2 डिग्री बहुपद होने के लिए, समारोह गठन कानून होना चाहिएएफ(एक्स) = कुल्हाड़ी + बीएक्स + सी, जिसमें a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a 0 है। एक दूसरी डिग्री बहुपद समारोह इसे द्विघात फलन के रूप में भी जाना जा सकता है।

उदाहरण:

• एफ(एक्स) = 2x² - 3x + 1

• एफ(एक्स) = - एक्स² + 2x

• एफ(एक्स) = 3x² + 4

• एफ(एक्स) = एक्स²

• ग्रेड 3 बहुपद समारोह

एक बहुपद फलन के लिए ३ डिग्री या ३ डिग्री बहुपद होने के लिए, समारोह गठन कानून होना चाहिएएफ(एक्स) = कुल्हाड़ी + बीएक्स² + सीएक्स + डी, जिसमें a और b वास्तविक संख्याएँ हैं और a 0 है। डिग्री 3 के फलन को घन फलन भी कहा जा सकता है।

उदाहरण:

• एफ(एक्स) = 2x³ - 3x² + 2x + 1

• एफ(एक्स) = -5x³ + 4x² + 2x

• एफ(एक्स) = 3x³ + 8x - 4

• एफ(एक्स) = -7x³

• ग्रेड 4 बहुपद समारोह

घात 4 के बहुपद फलन के लिए और अन्य दोनों के लिए, तर्क समान है।

उदाहरण:

• एफ(एक्स) = 2x⁴ + x³ - 5x² + 2x + 1

• एफ(एक्स) = एक्स⁴ + 2x³ - x

• एफ(एक्स) = एक्स⁴

• ग्रेड 5 बहुपद समारोह

उदाहरण:

• एफ(एक्स) = एक्स⁵ - 2x⁴ + एक्स³ - 3x² + x + 9

• एफ(एक्स) = 3x⁵ + एक्स³ – 4

• एफ(एक्स) = -एक्स⁵

• घात 6. का बहुपद फलन

उदाहरण:

• एफ(एक्स) = 2x⁶ - 7x⁵ + एक्स⁴ - 5x³ + x² + 2x - 1

• एफ(एक्स) = -एक्स⁶ + 3x⁵ + 2x³ + 4x + 8

• एफ(एक्स) = 3x⁶ + 2x² + 5x

• एफ(एक्स) = एक्स⁶

फ़ंक्शन का संख्यात्मक मान

भूमिका निर्माण कानून को जानना एफ(x), के संख्यात्मक मान की गणना करने के लिए कब्जे एक मूल्य के लिए नहीं न, बस के मूल्य की गणना करें एफ(नहीं न). इसलिए, हमने गठन कानून में चर को बदल दिया.

उदाहरण:

समारोह दिया एफ(x) = x³ + 3x² - 5x + 4, हम x = 2 के लिए फलन का संख्यात्मक मान ज्ञात करते हैं।

का मान ज्ञात करने के लिए एफ(एक्स) जब एक्स = 2, हम करेंगे एफ(2).

एफ(2) = 2³ + 3 · 2² – 5 · 2 + 4
एफ(2) = 8 + 3 · 4 – 5 · 2 + 4
एफ(2) = 8 + 12 – 10 + 4
एफ(2) = 20 – 10 + 4
एफ(2) = 10 + 4
एफ(2) = 14

हम कह सकते हैं कि फ़ंक्शन की छवि या फ़ंक्शन का संख्यात्मक मान, जब x = 2, 14 के बराबर होता है।

यह भी देखें: प्रतिलोम फलन - फलन f (x) का प्रतिलोम होता है

बहुपद फलन रेखांकन

में प्रतिनिधित्व करने के लिए कार्तीय विमान फ़ंक्शन, हम x-अक्ष पर, x के मान और image की छवि का प्रतिनिधित्व करते हैं एफ(x), समतल में बिंदुओं द्वारा। कार्तीय तल पर स्थित बिंदु इस प्रकार के होते हैं (नहीं न, एफ(नहीं न)).

उदाहरण 1:

• एफ(एक्स) = 2x - 1

प्रथम डिग्री फलन का आलेख हमेशा a. होता है सीधे.

उदाहरण 2:

• एफ(एक्स) = एक्स² - 2x - 1

द्वितीय डिग्री फलन ग्राफ हमेशा a. होता है दृष्टांत.

उदाहरण 3:

• एफ(एक्स) = एक्स³ - एक्स

३ डिग्री फंक्शन के ग्राफ को क्यूबिक कहते हैं।

बहुपदों की समानता

दो बहुपदों के बराबर होने के लिए, यह आवश्यक है कि, करते समय तुलना के बीच में आप तो आप का शर्तें, गुणांक समान हैं।

उदाहरण:

निम्नलिखित बहुपद p(x) और g(x) को देखते हुए और यह जानते हुए कि p(x) = g(x), a, b, c, और d का मान ज्ञात कीजिए।

पी (एक्स) = 2x³ + 5x² + 3x - 4
जी (एक्स) = कुल्हाड़ी + (ए + बी) एक्स² + (सी - 2) एक्स + डी

चूंकि बहुपद समान हैं, इसलिए हमारे पास वह है:

कुल्हाड़ी = 2x³
(ए + बी) एक्स² = 5x²
(सी - 2)x = 3x
घ = -4

ध्यान दें कि हमारे पास पहले से ही d का मान है, क्योंकि d = -4 है। अब, प्रत्येक गुणांक की गणना करते हुए, हमें यह करना होगा:

कुल्हाड़ी = 2x³
ए = 2

a का मान जानने के बाद, आइए b का मान ज्ञात करें:

(ए + बी) एक्स² = 5x²
ए + बी = 5

ए = 2

2 + बी = 5
बी = 5 - 2
बी = 3

c का मान ज्ञात करना:

(सी - 2)x = 3x
सी - 2 = 3
सी = 3 + 2
सी = 5

यह भी देखें: बहुपद समीकरण - 0. के बराबर बहुपद होने की विशेषता वाला समीकरण

बहुपद संचालन

दो बहुपदों को देखते हुए, का संचालन करना संभव है जोड़, घटाव और इन बीजीय पदों के बीच गुणा।

• इसके अलावा

दो बहुपदों के योग की गणना द्वारा की जाती है की राशि आपआरसमान हाथ. दो शब्दों के समान होने के लिए, शाब्दिक भाग (घातांक के साथ अक्षर) समान होना चाहिए।

उदाहरण:

मान लीजिए p (x) = 3x² + 4x + 5 और q (x) = 4x² - 3x + 2, p (x) + q (x) के मान की गणना करें।

3x² + 4x + 5 + 4x² - 3x + 2

समान शब्दों को हाइलाइट करना:

3x² + 4 एक्स + 5 + 4x² – 3x + 2

आइए अब समान पदों के गुणांकों को जोड़ें:

(3 + 4)x² + (४ - ३)x + 7
7x² + x + 7

• बहुपद घटाव

घटाव जोड़ के समान है, हालांकि, ऑपरेशन करने से पहले, हम विपरीत बहुपद लिखते हैं.

उदाहरण:

डेटा: p (x) = 2x² + 4x + 3 और q (x) = 5x² - 2x + 1, p (x) - q (x) की गणना करें।

q (x) का विपरीत बहुपद -q (x) है, जो प्रत्येक पद के विपरीत बहुपद q (x) से अधिक कुछ नहीं है।

क्यू (एक्स) = 5x² - 2x + 1

-क्यू (एक्स) = -5x² + 2x - 1

तो, हम गणना करेंगे:

2x² + 4x + 3 - 5x² + 2x - 1

समान पदों को सरल करते हुए, हमारे पास है:

(2 - 5)x² + (4 + 2)x + (3 - 1)
-3x² + 6x + 2

• बहुपद गुणन

बहुपद को गुणा करने के लिए आवश्यक है वितरण संपत्ति का आवेदनअर्थात् हम पहले बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे पद के प्रत्येक पद से गुणा करते हैं।

उदाहरण:

(x + 1) · (x² + 2x - 2)

वितरण संपत्ति को लागू करते हुए, हमें यह करना होगा:

x · x² + x · 2x + x · (-2) + 1 · x² + 1 · 2x + 1 · (-2)

एक्स³ + 2x² + -2x - 2 + x² + 2x + -2

x³ + ३x² - ४

• बहुपद विभाजन

गणना करने के लिए दो बहुपदों के बीच विभाजन, हम उसी विधि का उपयोग करते हैं जिसका उपयोग हम दो संख्याओं के विभाजन की गणना करने के लिए करते हैं, कुंजी विधि।

उदाहरण:

पी (एक्स) की गणना करें: क्यू (एक्स), यह जानकर कि पी (एक्स) = 15x² + 11x + 2 और क्यू (एक्स) = 3x + 1।

यह भी पढ़ें: ब्रियोट-रफिनी हैंडी डिवाइस - बहुपदों के विभाजन की गणना के लिए एक और तरीका

हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1 - एक निश्चित मात्रा में भागों का उत्पादन करने के लिए ऑटोमोटिव पार्ट्स उद्योग की दैनिक उत्पादन लागत गठन कानून द्वारा दी गई है एफ(x) = 25x + 100, जहां x उस दिन उत्पादित टुकड़ों की संख्या है। यह जानते हुए कि, एक निश्चित दिन में, 80 पीस का उत्पादन किया गया था, इन टुकड़ों की उत्पादन लागत थी:

ए) बीआरएल 300

बी) बीआरएल 2100

सी) बीआरएल 2000

डी) बीआरएल 1800

ई) बीआरएल 1250

संकल्प

वैकल्पिक बी

एफ(80) = 25 · 80 + 100
एफ(80) = 2000 + 100
एफ(80) = 2100

प्रश्न 2 - फलन की घात h(x) = एफ(एक्स) · जी(एक्स), यह जानते हुए कि एफ (एक्स) = 2x² + 5x और जी(एक्स) = 4x - 5, है:

1

बी) 2

सी) 3

डी) 4

ई) 5

संकल्प

वैकल्पिक सी

पहले हम उस बहुपद को ज्ञात करेंगे जो. के बीच के गुणन का परिणाम है एफ(एक्स और जी(एक्स):

एफ(एक्स) · जी(x) = (2x² + 5x) · (4x - 5)
एफ(एक्स) · जी(एक्स) = 8x³ - 10x² + 20x - 25x

ध्यान दें कि यह एक बहुपद घात 3 का है, इसलिए फलन h(x) की घात 3 है।

राउल रॉड्रिक्स डी ओलिवेरा. द्वारा
गणित अध्यापक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-polinomial.htm