ज्यामितीय आकृतियों की तुलना करते समय, कुछ संभावित निष्कर्ष होते हैं: आकृतियाँ सर्वांगसम होती हैं, अर्थात् उनकी भुजाओं और कोणों का माप समान होता है; आकृतियाँ भिन्न हैं या आकृतियाँ समान हैं, अर्थात् उनके समान माप वाले संगत कोण हैं और समानुपाती मापों वाली संगत भुजाएँ हैं।
थेल्स ऑफ मिलेटस नामक गणितज्ञ ने देखा कि अनुप्रस्थ रेखाओं द्वारा काटी गई समानांतर रेखाओं के एक बंडल द्वारा बनने वाली सीधी रेखाओं के बीच आनुपातिकता होती है। निम्न छवि को देखें:
टेल्स द्वारा देखी गई वैध आनुपातिकता समानता की है:
एम.एन. = चूंकि = पर
एमओ पीआर क्यूआर
यह महत्वपूर्ण खोज जल्द ही त्रिभुजों में देखी गई। जब एक त्रिभुज ABC को उसकी दो भुजाओं, AB और AC पर एक रेखा r द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है और यह रेखा त्रिभुज की शेष भुजा, BC के समानांतर होती है, तो ये समान आनुपातिकताएँ लागू होती हैं।, क्योंकि इस त्रिभुज के शीर्ष A को r के समानांतर एक रेखा के बिंदु के रूप में भी देखा जा सकता है। घड़ी:
इस त्रिभुज में, निम्नलिखित आनुपातिकताएँ लागू होती हैं:
ऐ = ए एफ = ईबी
एबी एसी एफसी
एक बार इन समानुपातिकताओं को देख लेने के बाद, और त्रिभुजों AEF और ABC को अलग-अलग त्रिभुजों के रूप में देखते हुए, यह देखने के लिए पर्याप्त है कि कोण आंतरिक शीर्ष ए दो त्रिभुजों के लिए सामान्य है, यह दावा करने के लिए कि वे समान हैं, समानता के मामले में साइड-एंगल-साइड (एलएएल)। अधिक विशेष रूप से:
शीर्ष A का आंतरिक कोण दो त्रिभुजों में उभयनिष्ठ होता है, इसलिए दोनों की तुलना करते समय यह समान होता है।
त्रिभुज AEF से संबंधित भुजाएँ AE और AF त्रिभुज ABC की भुजाओं AC और AB के समानुपाती हैं।
इसलिए, त्रिभुज समरूपता के LAL मामले से, त्रिभुज समरूप होते हैं।
संक्षेप में, किसी त्रिभुज को आधार मानकर आप निम्नलिखित गुण प्राप्त कर सकते हैं: एक त्रिभुज ABC में, एक रेखा r भुजाओं AB और AC को बिंदु E और F पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है कि रेखा r भुजा BC के समानांतर है। अत: त्रिभुज ABC और AEF समरूप हैं।
यह गुण समानता के मौलिक प्रमेय के रूप में जाना जाने लगा।
लुइज़ पाउलो मोरेरा. द्वारा
गणित में स्नातक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-fundamental-semelhanca.htm