हे पास्कल का त्रिभुज यह एक बहुत पुराना गणित उपकरण है। पूरे इतिहास में, इसे कई नाम मिले हैं, लेकिन आज सबसे ज्यादा अपनाए गए हैं अंकगणित त्रिभुज और पास्कल का त्रिकोण। दूसरा नाम उस गणितज्ञ को श्रद्धांजलि है जिसने इस त्रिभुज के अध्ययन में कई योगदान दिए। इसका मतलब है कि त्रिकोण का आविष्कार उनके द्वारा किया गया था, लेकिन उन्होंने ही इसका गहन अध्ययन किया था उपकरण।
पास्कल त्रिभुज के गुणों से, इसे तार्किक रूप से बनाना संभव है। साथ ही आपका के साथ संबंध संयोजनों संयोजक विश्लेषण में अध्ययन किया. पास्कल त्रिभुज के पद भी द्विपद गुणांकों के अनुरूप होते हैं और इसलिए, यह किसी भी न्यूटन द्विपद की गणना के लिए बहुत उपयोगी है।
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पास्कल त्रिभुज की रचना
पास्कल का त्रिभुज संयोजनों के परिणाम से उत्पन्न होता है, हालांकि एक व्यावहारिक तरीका है जो इसे बनाने के तरीके को सुविधाजनक बनाता है। पहली पंक्ति और पहले स्तंभ को पंक्ति शून्य और स्तंभ शून्य के रूप में गिना जाता है। हम जितनी आवश्यकता हो उतनी पंक्तियों का उपयोग कर सकते हैं इस रचना में, इसलिए त्रिभुज में अनंत रेखाएँ हो सकती हैं। पंक्तियों के विस्तार का तर्क हमेशा एक ही होता है। नज़र:
हम वह जानते हैं त्रिभुज शब्द संयोजन हैं, में अध्ययन किया संयुक्त विश्लेषण. पास्कल के त्रिभुज को संख्यात्मक मानों से बदलने के लिए, हम जानते हैं कि शून्य वाली संख्या और स्वयं के साथ एक संख्या का संयोजन हमेशा 1 के बराबर होता है। इसलिए, पहला और आखिरी मान हमेशा 1 होता है।
दूसरों को खोजने के लिए, हम लाइन 2 से शुरू करते हैं, क्योंकि लाइन 0 और लाइन 1 पहले ही पूरी हो चुकी हैं। पंक्ति 2 में, ऊपर की पंक्ति में, यानी पंक्ति 1 में 2 से 1 के संयोजन को खोजने के लिए, आइए इसके ऊपर के पद को उसी कॉलम में और इसके ऊपर के पद को पिछले कॉलम में जोड़ें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है :
लाइन 2 के निर्माण के बाद, उसी प्रक्रिया को करते हुए लाइन 3 का निर्माण संभव है।
इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हम सभी शर्तें पाएंगे - इस मामले में, पंक्ति 5 तक - लेकिन जितनी आवश्यक हो उतनी लाइनें बनाना संभव है।
पास्कल त्रिभुज के गुण
कुछ हैं पास्कल त्रिभुज के गुण, इसके निर्माण में नियमितता के कारण। ये गुण संयोजनों के साथ काम करने, त्रिभुज रेखाओं के निर्माण और रेखाओं, स्तंभों और विकर्णों के योग के लिए उपयोगी हैं।
पहली संपत्ति
पहली संपत्ति वह थी जिसका उपयोग हम त्रिभुज बनाने के लिए करते थे। ऐसा करने के लिए पास्कल त्रिभुज में एक पद ज्ञात कीजिए, बस उस शब्द को जोड़ें जो इसके ऊपर की पंक्ति में है और उसी कॉलम को उस शब्द के साथ जोड़ें जो उसके पहले कॉलम और पंक्ति में है। इस संपत्ति को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:
इस संपत्ति के रूप में जाना जाता है स्टिफ़ेल का रिश्ता और त्रिभुज के निर्माण को सुविधाजनक बनाना और प्रत्येक पंक्ति के मूल्यों का पता लगाना महत्वपूर्ण है।
दूसरी संपत्ति
एक पंक्ति में सभी पदों के योग की गणना निम्न द्वारा की जाती है:
एसनहीं=2नहीं, किस पर नहीं लाइन नंबर है।
उदाहरण:
इस संपत्ति के साथ, यह जानना संभव है एक पंक्ति के सभी पदों का योग आवश्यक रूप से पास्कल त्रिभुज का निर्माण किए बिना। उदाहरण के लिए, पंक्ति 10 का योग 2. द्वारा परिकलित किया जा सकता है10 = 1024. हालांकि सभी शब्द ज्ञात नहीं हैं, फिर भी पूरी लाइन का योग मूल्य जानना पहले से ही संभव है।
तीसरी संपत्ति
किसी दिए गए कॉलम की शुरुआत से अनुक्रम करने वाले शब्दों का योग के लिये एक निश्चित लाइन तक नहीं लाइन पर शब्द के समान है एन+1 पीछे और स्तंभ पी+1 बाद में, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:
चौथी संपत्ति
एक विकर्ण का योग जो कॉलम 0 से शुरू होता है और कॉलम पी और पंक्ति एन में शब्द तक जाता है, उसी कॉलम (पी) में शब्द के बराबर होता है, लेकिन नीचे की पंक्ति (एन + 1) में, जैसा कि छवि में दिखाया गया है :
5वीं संपत्ति
पास्कल त्रिभुज की रेखाओं में सममिति होती है। पहला और दूसरा पद समान है, दूसरा और अंतिम पद समान है, और इसी तरह आगे भी।
उदाहरण:
पंक्ति 6: 1615 20 156 1.
ध्यान दें कि केंद्रीय पद को छोड़कर, पद दो से दो के बराबर हैं।
यह भी देखें: बहुपद विभाजन: इसे कैसे हल करें?
न्यूटन का द्विपद
हम न्यूटन के द्विपद को परिभाषित करते हैं a एक की शक्ति बहुपद जिसके दो पद हैं. एक द्विपद की गणना पास्कल त्रिभुज से संबंधित है, जो कि हम द्विपद गुणांक कहलाते हैं, इसकी गणना के लिए एक तंत्र बन जाता है। द्विपद की गणना करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:
ध्यान दें कि का घातांक मान NS यह तब तक घटता है जब तक कि अंतिम अवधि में यह बराबर नहीं हो जाता NS0. हम जानते हैं कि प्रत्येक संख्या को बढ़ाकर 0 करने पर वह 1 के बराबर होती है, इसलिए पद NS अंतिम अवधि में प्रकट नहीं होता है। यह भी ध्यान दें कि का घातांक बी साथ शुरू होता है बी0, जल्द ही बी पहले कार्यकाल में प्रकट नहीं होता है और पहुंचने तक बढ़ता है बीनहीं, अंतिम कार्यकाल में।
इसके अलावा, प्रत्येक पद के साथ आने वाली संख्या वह है जिसे हम एक गुणांक कहते हैं - इस मामले में एक द्विपद गुणांक के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार के द्विपद को कैसे हल किया जाए, इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए, हमारे पाठ तक पहुँचें: न्यूटन का द्विपद.
द्विपद गुणांक
द्विपद गुणांक संयोजन से अधिक कुछ नहीं है, जिसकी गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:
हालांकि, न्यूटन के द्विपद की गणना को सुविधाजनक बनाने के लिए, पास्कल त्रिकोण का उपयोग करना आवश्यक है, क्योंकि यह हमें संयोजन का परिणाम तेजी से देता है।
उदाहरण:
द्विपद गुणांक का परिणाम ज्ञात करने के लिए, आइए पास्कल त्रिभुज की पंक्ति 5 के मान ज्ञात करें, जो {1,5,10,10,5,1} हैं।
(एक्स+वाई)5= 1x5+5x4वाई+10x3आप2+ 10x2आप3 + 5xy4+1y5
सीधे शब्दों में कहें:
(एक्स+वाई)5= एक्स5+5x4वाई+10x3आप2+ 10x2आप3 + 5xy4+y5
हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1 - नीचे दिए गए व्यंजक का मान है?
ए) 8
बी) 16
सी) 2
डी) 32
ई) 24
संकल्प
वैकल्पिक ए.
सकारात्मक और नकारात्मक मूल्यों को फिर से समूहित करना, हमें यह करना होगा:
ध्यान दें कि हम वास्तव में पास्कल के त्रिभुज की रेखा 4 और रेखा 3 के बीच घटाव की गणना कर रहे हैं। संपत्ति से, हम जानते हैं कि:
एस4 = 24 = 16
एस3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
प्रश्न 2 - नीचे दिए गए व्यंजक का मान क्या है?
ए) 32
बी) 28
सी) 256
डी) 24
ई) 54
संकल्प
वैकल्पिक बी.
ध्यान दें कि हम पास्कल त्रिभुज के कॉलम 1 से पंक्ति 7 में, फिर तीसरे में पदों को जोड़ रहे हैं संपत्ति, इस राशि का मूल्य उस पद के बराबर है जो पंक्ति 7+1 और स्तंभ 1+1 पर कब्जा करता है, अर्थात पंक्ति 8, कॉलम 2. चूँकि हम केवल एक मान चाहते हैं, इसलिए संपूर्ण पास्कल त्रिभुज बनाना सुविधाजनक नहीं है।
राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा. द्वारा
गणित शिक्षक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-pascal.htm
