नंबर: वे क्या हैं, इतिहास, संख्या सेट

आप नंबर वे आदिम मानव आवश्यकताओं के साथ मात्रा निर्धारित करने, गिनने और मापने के लिए हैं। इन आवश्यकताओं के कारण, संख्याओं और प्रतीकों का विचार बनाना आवश्यक हो गया जो उन्हें लेखन के माध्यम से प्रस्तुत करेंगे।

पूरे इतिहास में, कई सभ्यताओं ने संख्याओं की धारणा विकसित की और कई बार, शरीर को ही इस्तेमाल किया इसका प्रतिनिधित्व करते हैं और गिनती करते हैं, जब तक कि विभिन्न प्रतीकों के माध्यम से संख्याओं को चित्रित करना संभव न हो ताकि उनका प्रतिनिधित्व किया जा सके लिखित फॉर्म। आज हम भारतीय अंकों का प्रयोग करते हैंहे-अरबीएस, जो हमें दस अलग-अलग प्रतीकों {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} का उपयोग करके किसी भी संख्या को इंगित करने की अनुमति देता है।

समाज के विकास के साथ - और, परिणामस्वरूप, गणित के - पूरे इतिहास में संख्यात्मक सेट उभरे। क्या वे हैं:

• प्राकृतिक संख्याएं;

• पूर्णांक;

• परिमेय संख्या;

• अपरिमेय संख्या;

• वास्तविक संख्या।

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संख्याओं के बारे में सारांश

• संख्या की धारणा मनुष्य की गिनती और मापने की आवश्यकता को पूरा करने के लिए विकसित की गई थी।

• पूरे इतिहास में, अलग-अलग लोगों ने अलग-अलग संख्याएँ विकसित की हैं।

• आज हम जिन संख्याओं का उपयोग करते हैं, उन्हें संख्याओं के समूह में विभाजित किया जाता है, अर्थात्: प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ, अपरिमेय संख्याएँ और वास्तविक संख्याएँ।

संख्याएं क्या हैं?

संख्याएं हैं गणित की आदिम वस्तुएँ जो क्रम, माप या मात्रा को इंगित करने का काम करती हैं. हम निश्चित रूप से नहीं जानते कि मनुष्य ने मात्रा की धारणा कब विकसित की और इसके परिणामस्वरूप, संख्याओं की धारणा।

संख्या की अवधारणा, तब, मानवता के विकास के साथ होती है, और आज संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया जाता है हमारे समाज में {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} प्रतीकों द्वारा नंबरिंग संख्याएँ ऐसे तत्व हैं जो गणित को रेखांकित करते हैं और ध्वनि द्वारा, हमारे भाषण में या लिखकर व्यक्त किए जा सकते हैं।

संख्याओं का इतिहास

संख्या की अवधारणा मानवता में उसी क्षण से उभरती है जब भोजन और वस्तुओं को गिनने की जरूरत है. इसलिए, गुफाओं के अस्तित्व के दौरान, संख्याओं की धारणा को गिनना पहले से ही आवश्यक था, उदाहरण के लिए, पकड़ी गई मछलियों की मात्रा।

समय के साथ, कृषि के विकास के साथ, संख्याएँ फिर से आवश्यक हो गईं, ताकि एक झुंड में एकत्रित फलों या जानवरों की मात्रा की गणना करना संभव हो सके।

इस प्रकार, वर्षों से, समाज बदल रहा था, और मनुष्य को एहसास हुआ कि इसके लिए कितना आवश्यक था निम्न का विकासNS लिखना. सुमेरियों द्वारा लेखन के विकास के साथ, संख्याओं के प्रतिनिधित्व के लिए पहले आंकड़े भी सामने आए। अन्य लोगों के रिकॉर्ड हैं जिन्होंने नंबरिंग सिस्टम विकसित किया, जैसे मिस्र, माया, चीनी और हिंदू।

वर्तमान में, हम इंड नंबरिंग सिस्टम का उपयोग करते हैंहे-अरबी, जिसका आधार 10 है और हमें दो नंबरों के बीच संचालन को आसानी से करने की अनुमति देता है। जैसे-जैसे गणित की आवश्यकता बढ़ती गई, जिसमें मनुष्य ने दैनिक जीवन में महारत हासिल की, संख्यात्मक सेट उभर कर सामने आए।

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संख्यात्मक सेट

आप संख्यात्मक सेट पूरे इतिहास में उभर रहे हैं आबादी की नई मांगों को पूरा करने के लिए। हमें ज्ञात पहला संख्यात्मक समुच्चय प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है, और अन्य भी हैं, जैसे का समुच्चय पूर्ण संख्याएँ, परिमेय संख्याओं का समुच्चय, अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय और अंत में वास्तविक संख्याओं का समुच्चय।

• प्राकृत संख्याओं का समुच्चय (N)

आप प्राकृतिक संख्याएं मनुष्यों द्वारा सबसे पहले इस्तेमाल किए जाने वाले थे।एसपूर्णांक और सकारात्मक नहीं, जिसे हम अपने दैनिक जीवन में गिनने और छाँटने के लिए उपयोग करते हैं।

एन = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…}

प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में अनंत अवयव होते हैं। प्रत्येक संख्या का हमेशा एक सुपरिभाषित उत्तराधिकारी होता है, क्योंकि किसी प्राकृत संख्या का उत्तराधिकारी ज्ञात करने के लिए इस संख्या में केवल 1 जोड़ें।

• पूर्णांकों का समुच्चय (Z)

का समूह पूर्ण संख्याएं प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का विस्तार है, जैसे प्रत्येक प्राकृत संख्या भी एक पूर्णांक होती है. यह सेट नकारात्मक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने की मानवीय आवश्यकता से बनाया गया है। उदाहरण के लिए, आज तापमान माप में नकारात्मक संख्याएँ देखना काफी आम है। पूर्णांक हैं:

Z = {…– 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4,…}

हे पूर्णांकों का समुच्चय भी अनंत है, लेकिन दोनों पक्षों के लिए, यानी अनंत ऋणात्मक और धनात्मक संख्याएँ हैं।

• परिमेय संख्याओं का समुच्चय (Q)

का समूह परिमेय संख्या अधिक सटीक माप की आवश्यकता से उत्पन्न होता है। पूर्ण संख्याओं का उपयोग करके किसी माप को निरूपित करना हमेशा संभव नहीं होता। यह तब था जब दशमलव संख्याओं के अस्तित्व की शुद्धता और भी अंशों.

अतः परिमेय संख्याओं का समुच्चय पूर्ण संख्याओं का इज़ाफ़ा भी है, अर्थात प्रत्येक पूर्ण संख्या परिमेय होती है, लेकिन जो परिवर्तन होता है वह यह है कि उन संख्याओं में वृद्धि होती है जिन्हें भिन्नों द्वारा दर्शाया जा सकता है।

सूची में इन नंबरों के सेट का प्रतिनिधित्व करना अव्यावहारिक है, जैसा कि पिछले मामलों में था, क्योंकि संख्याएं परिमेय को भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिससे दशमलव संख्याएं भी इसे एकीकृत करती हैं सेट। इसलिए, जितना हमारे पास एक अच्छी तरह से परिभाषित ऑर्डर संबंध है, यानी हम जानते हैं कि तुलना करने पर कौन सी संख्या अधिक या कम है, फिर भी परिमेय संख्याओं के समुच्चय में यह परिभाषित करना संभव नहीं है कि दी गई संख्या का उत्तराधिकारी कौन है.

• अपरिमेय संख्याएं (I)

आप अपरिमेय संख्या वे पिछले सेटों का विस्तार नहीं हैं, बल्कि एक नया संख्यात्मक सेट हैं। कुछ समस्याओं के समाधान के दौरान, पाया गया परिणाम एक सटीक जड़ था और तब से, एक नए सेट की आवश्यकता थी।
अपरिमेय संख्याएं हैं अचूक जड़ों से बना और गैर-आवधिक दशमांश भी। इसके अलावा, एक संख्या कभी भी एक ही समय में परिमेय और अपरिमेय नहीं होगी, क्योंकि अपरिमेय होने के कारण संख्या को भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। संख्या √2, उदाहरण के लिए, अपरिमेय है क्योंकि इसका वर्गमूल सटीक नहीं है, एक गैर-आवधिक दशमलव उत्पन्न करता है।

• वास्तविक संख्याएं (आर)

का समूह वास्तविक संख्या कुछ और नहीं बल्कि एकता डीअपरिमेय संख्याएं और डीपरिमेय संख्या, एक नया सेट बना रहा है, जो वर्तमान में अन्य विषयों के बीच कार्यों के अध्ययन में सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

संख्यात्मक सेट पर वीडियो पाठ

अन्य नंबर

• सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय (C)

प्रस्तुत सेट के अलावा, का सेट भी है जटिल आंकड़े (सी)। यह विशेषज्ञों द्वारा अध्ययन किए गए गहन गणित के लिए किया गया वर्गीकरण है। हालांकि कम आम, जटिल संख्याओं का बहुत महत्व है। हम सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जानते हैं ऋणात्मक संख्याओं की जड़ेंहम किसी भी सम्मिश्र संख्या को निरूपित करने के लिए i = -1 को निरूपित करते हैं। उदाहरण के लिए, 1 + – 4 ​​को 1 + 2i द्वारा दर्शाया जाता है।

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संख्याओं पर हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 01

संख्याओं के बारे में, हम जानते हैं कि वे समुच्चयों में विभाजित होती हैं, जिन्हें संख्या समुच्चय कहा जाता है। इस ज्ञान के आधार पर, निम्नलिखित कथनों का न्याय कीजिए:

I → प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है।

II → प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्णांक होती है।

III → प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक परिमेय संख्या होती है।

सही विकल्प को चिह्नित करें:
ए) केवल मैं सच है।

बी) केवल II सत्य है।

सी) केवल III सत्य है।

डी) सभी झूठे हैं।

संकल्प:

वैकल्पिक ए

I → सत्य, क्योंकि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय परिमेय के साथ परिमेय के मिलन से बनता है।

II → असत्य, क्योंकि ऐसी संख्याएँ हैं जो परिमेय हैं और जो पूर्णांक नहीं हैं।

III → असत्य, क्योंकि एक संख्या एक ही समय में अपरिमेय और परिमेय नहीं हो सकती है।

प्रश्न 02

संख्याओं के आविष्कार के बारे में, निम्नलिखित कथनों को आंकें:

ए) संख्याएं एक आधुनिक रचना हैं, क्योंकि जब पुरुष खानाबदोश थे, तो संख्याओं का उपयोग करना आवश्यक नहीं था, क्योंकि वे केवल शिकार और मछली पकड़ने में व्यस्त थे। तो, संख्या की धारणा केवल कृषि के साथ आई।

बी) वाणिज्य के आगमन से पुरुषों द्वारा संख्याओं का आविष्कार किया गया था, क्योंकि उन्हें उचित आदान-प्रदान करने की आवश्यकता थी। इससे पहले, पुरुषों द्वारा संख्याओं के उपयोग का कोई रिकॉर्ड नहीं है।

सी) संख्याओं का आविष्कार मनुष्य ने तब किया जब उसने खानाबदोश होना बंद कर दिया और झुंडों को पालना शुरू कर दिया और अपनी फसलों के चक्र को नियंत्रित करने में मदद करने के लिए खुद को वृक्षारोपण के लिए समर्पित कर दिया।

डी) हालांकि हम जिस नंबरिंग सिस्टम का उपयोग करते हैं, वह सबसे पहले आविष्कार नहीं किया गया था, संख्या का विचार यह गुफाओं के समय से मनुष्य के साथ रहा है, भोजन की मात्रा के लिए खाते की आवश्यकता के साथ, दूसरों के बीच अनुप्रयोग।

संकल्प:

वैकल्पिक डी

संख्याओं के आविष्कार के इतिहास का सबसे अच्छा वर्णन करने वाला विकल्प वैकल्पिक डी है।

राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा. द्वारा
गणित शिक्षक