अंकगणितीय प्रगति (पीए)

अंकगणितीय प्रगति (पीए) संख्याओं का एक क्रम है जहाँ दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर हमेशा समान होता है। इस निरंतर अंतर को पीए कहा जाता है।

इस प्रकार, अनुक्रम के दूसरे तत्व से, जो संख्याएँ दिखाई देती हैं, वे पिछले तत्व के मान के साथ स्थिरांक के योग का परिणाम होती हैं।

यह वही है जो इसे ज्यामितीय प्रगति (पीजी) से अलग करता है, क्योंकि इसमें संख्याओं को अनुपात से गुणा किया जाता है, जबकि अंकगणितीय प्रगति में उन्हें जोड़ा जाता है।

अंकगणितीय प्रगति में पदों की एक निश्चित संख्या (परिमित पीए) या अनंत संख्या में शब्द (अनंत पीए) हो सकते हैं।

यह इंगित करने के लिए कि एक क्रम अनिश्चित काल तक जारी रहता है, हम दीर्घवृत्त का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए:

• अनुक्रम (4, 7, 10, 13, 16, ...) एक अनंत P.A है।
• अनुक्रम (७०, ६०, ५०, ४०, ३०, २०, १०) एक परिमित पीए है।

पीए के प्रत्येक पद की पहचान उस स्थिति से होती है जो वह अनुक्रम में रखता है और प्रत्येक शब्द का प्रतिनिधित्व करने के लिए हम एक अक्षर (आमतौर पर अक्षर) का उपयोग करते हैं ) उसके बाद क्रम में अपनी स्थिति को दर्शाने वाली एक संख्या।

उदाहरण के लिए, शब्द ₄ पीए (2, 4, 6, 8, 10) में संख्या 8 है, क्योंकि यह वह संख्या है जो अनुक्रम में चौथा स्थान रखती है।

पीए का वर्गीकरण

अनुपात मान के अनुसार, अंकगणितीय प्रगति को इसमें वर्गीकृत किया गया है:

• लगातार: जब अनुपात शून्य के बराबर हो। उदाहरण के लिए: (4, 4, 4, 4, 4...), जहां r = 0.
• बढ़ रही है: जब अनुपात शून्य से अधिक हो। उदाहरण के लिए: (2, 4, 6, 8,10...), जहां r = 2.
• उतरते: जब अनुपात शून्य से कम हो (15, 10, 5, 0, - 5,...), जहां r = - 5

पीए गुण

पहली संपत्ति:

एक परिमित P.A. में, दो पदों का योग चरम से समान दूरी पर होता है, जो चरम सीमाओं के योग के बराबर होता है।

उदाहरण

दूसरी संपत्ति:

पीए के लगातार तीन पदों को ध्यान में रखते हुए, मध्य पद अन्य दो पदों के अंकगणितीय माध्य के बराबर होगा।

उदाहरण

तीसरी संपत्ति:

विषम संख्या वाले पदों वाले परिमित P.A में, केंद्रीय पद, इससे समदूरस्थ पदों के बीच के अंकगणितीय माध्य के बराबर होगा। यह संपत्ति पहले से प्राप्त होती है।

सामान्य शब्द सूत्र

कहा पे,

a: वह शब्द जिसकी हम गणना करना चाहते हैं
a1: पीए का पहला कार्यकाल
n: उस पद की स्थिति जिसे हम खोजना चाहते हैं
आर: कारण

सूत्र व्याख्या

चूंकि पीए का अनुपात स्थिर है, हम इसके मूल्य की गणना किसी भी क्रमागत पदों से कर सकते हैं, अर्थात्:

इसलिए, हम PA के दूसरे पद का मान ज्ञात कर सकते हैं:

तीसरा पद ज्ञात करने के लिए हम समान गणना का प्रयोग करेंगे:

a. का मान बदलना₂, जो हमने पहले पाया, हमारे पास है:

यदि हम उसी तर्क का अनुसरण करते हैं, तो हम पा सकते हैं:

पाए गए परिणामों को देखते हुए, हम देखते हैं कि प्रत्येक पद पहले पद के योग के बराबर होगा और अनुपात को पिछली स्थिति से गुणा किया जाएगा।

यह गणना पीए के सामान्य पद के सूत्र के माध्यम से व्यक्त की जाती है, जो हमें अंकगणितीय प्रगति के किसी भी तत्व को जानने की अनुमति देती है।

उदाहरण

पीए की 10वीं अवधि की गणना करें: (26, 31, 36, 41, ...)

समाधान

सबसे पहले, हमें इसकी पहचान करनी चाहिए:

₁ = 26
आर = 31 - 26 = 5
एन = 10 (10 वां कार्यकाल)।

इन मानों को सामान्य पद के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है:

_{नहीं न} = द₁ + (एन -1)। आर
₁₀ = 26 + (10-1). 5
₁₀ = 26 + 9 .5
₁₀ = 71

इसलिए, संकेतित अंकगणितीय प्रगति का दसवां पद 71 के बराबर है।

किसी भी k पद से सामान्य पद सूत्र

अक्सर, किसी भी सामान्य शब्द को परिभाषित करने के लिए, जिसे हम a कहते हैं, हमारे पास पहला पद a1 नहीं होता है, लेकिन हम कोई अन्य शब्द जानते हैं, जिसे हम ak कहते हैं।

हम किसी भी k पद से सामान्य पद सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

ध्यान दें कि पहले सूत्र में सूचकांक 1 से दूसरे में k में परिवर्तन केवल अंतर था।

होना,

a: PA का n-वाँ पद (किसी भी n स्थिति में एक पद)
ak: पीए का k-वाँ पद (किसी भी k स्थिति पर एक पद)
आर: कारण

पीए की शर्तों का योग

एक परिमित पीए की शर्तों का योग खोजने के लिए, बस सूत्र का उपयोग करें:

कहा पे,

रों_{नहीं न}: पीए की पहली एन शर्तों का योग।
₁: पीए का पहला कार्यकाल
_{नहीं न}: अनुक्रम में nवां स्थान रखता है (स्थिति n में एक पद)
नहीं न: टर्म पोजीशन

इसके बारे में भी पढ़ें पीए और पीजी.

व्यायाम हल

अभ्यास 1

पीयूसी/आरजे - 2018

यह जानते हुए कि अनुक्रम में संख्याएँ (y, 7, z, 15) अंकगणितीय प्रगति में हैं, योग y + z का मूल्य क्या है?

ए) 20
बी) 14
ग) 7
घ) 3.5
ई) 2

उत्तर देखो

z का मान ज्ञात करने के लिए, हम उस गुण का उपयोग कर सकते हैं जो कहता है कि जब हमारे पास तीन क्रमागत पद हों तो मध्य पद अन्य दो के समांतर माध्य के बराबर होगा। तो हमारे पास:

यदि z 11 के बराबर है, तो अनुपात बराबर होगा:

आर = 11 - 7 = 4

इस प्रकार, y इसके बराबर होगा:

वाई = 7 - 4 = 3

इसलिए:

वाई+जेड = 3 + 11 = 14

वैकल्पिक: बी) 14

व्यायाम २

आईएफआरएस - 2017

नीचे दिए गए चित्र में, हमारे पास आयतों का एक क्रम है, सभी ऊँचाई a. पहले आयत का आधार b है और बाद के आयत पिछले एक का आधार मान और माप की एक इकाई है। इस प्रकार, दूसरे आयत का आधार b+1 है और तीसरा b+2 है और इसी तरह आगे भी।

नीचे दिए गए कथनों पर विचार करें।

I - आयत क्षेत्रों का अनुक्रम अनुपात 1 की अंकगणितीय प्रगति है।
II - आयतों के क्षेत्रफलों का क्रम अनुपात a की अंकगणितीय प्रगति है।
III - आयतों के क्षेत्रफलों का क्रम अनुपात की एक ज्यामितीय प्रगति है।
IV - nवें आयत का क्षेत्रफल (A .)_{नहीं न}) सूत्र A. द्वारा प्राप्त किया जा सकता है_{नहीं न} = ए. (बी + एन -1)।

उस विकल्प की जाँच करें जिसमें सही कथन है।

क्या आप वहां मौजूद हैं।
बी) द्वितीय।
ग) तृतीय।
डी) द्वितीय और चतुर्थ।
ई) III और IV।

उत्तर देखो

आयतों के क्षेत्रफल की गणना करते हुए, हमारे पास है:

ए = ए। ख
₁ = ए. (बी + 1) = ए। बी + ए
₂ = ए. (बी + 2) = ए। बी + दूसरा
₃ = ए. (बी + 3) = ए। बी + 3ए

पाए गए व्यंजकों से, हम देखते हैं कि अनुक्रम के बराबर अनुपात का एक पीए बनाता है द. क्रम को जारी रखते हुए, हम nवें आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे, जो निम्न द्वारा दिया गया है:

_{नहीं न}= ए. बी + (एन -1) .ए
_{नहीं न} = ए. बी + ए। पर

डाल रहा हूँ सबूत में, हमारे पास है:

_{नहीं न} = ए (बी + एन -1)

वैकल्पिक: डी) द्वितीय और चतुर्थ।

व्यायाम 3

उर्जो

एक फुटबॉल चैंपियनशिप के आयोजन को स्वीकार करें जिसमें एथलीटों द्वारा प्राप्त चेतावनियों को केवल पीले कार्ड द्वारा दर्शाया जाता है। इन कार्डों को निम्नलिखित मानदंडों के अनुसार जुर्माने में परिवर्तित किया जाता है:

• प्राप्त पहले दो कार्ड जुर्माना उत्पन्न नहीं करते हैं;
• तीसरा कार्ड R$500.00 का जुर्माना उत्पन्न करता है।
• निम्नलिखित कार्ड जुर्माना उत्पन्न करते हैं जिनका मूल्य हमेशा पिछले जुर्माने के मूल्य के संबंध में R$500.00 से बढ़ाया जाता है।

तालिका एक एथलीट पर लागू होने वाले पहले पांच कार्ड से संबंधित जुर्माना दिखाती है।

एक एथलीट पर विचार करें जिसने चैंपियनशिप के दौरान 13 पीले कार्ड प्राप्त किए। इन सभी कार्डों द्वारा सृजित जुर्माने की कुल राशि है:

ए) 30,000
बी) 33 000
सी) 36 000
घ) 39 000

उत्तर देखो

सही उत्तर: बी) 33 000

तीसरे पीले कार्ड के बाद से, पीए में जुर्माना की राशि R$500.00 के अनुपात के साथ बढ़ जाती है। पहले टर्म को ध्यान में रखते हुए, a1, तीसरे कार्ड के मूल्य के साथ, R$500.00।

जुर्माने की कुल राशि का निर्धारण करने के लिए, हमें पीए की शर्तों के योग के सूत्र का उपयोग करना चाहिए।

जैसा कि एथलीट के पास 13 पीले कार्ड हैं, लेकिन पहले दो में जुर्माना नहीं लगता है, हम 13-2 शब्दों का पीए बना देंगे, यानी 11 शब्द।

इस प्रकार, हमारे पास निम्नलिखित मान हैं:

ए1 = 500
एन = 11
आर = 500

nवें पद a11 का मान ज्ञात करने के लिए हम सामान्य पद सूत्र का प्रयोग करते हैं।

एक = a1 + (n-1).r
a21 = ५०० +(११-१) x ५००
a21 = ५०० + १० x ५००
ए २१ = ५५००

पीए की शर्तों के योग के सूत्र को लागू करना।

इसमें और अभ्यास हल करें:

अंकगणितीय प्रगति - अभ्यास

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